北理工随机信号分析实验报告

本科实验报告

实验名称： 随机信号分析实验

课程名称： 随机信号分析实验 任课教师： 实验教师： 学生姓名： 学号/班级： 学 院： 专 业：

实验时间： 实验地点： □ 原理验证 实验类型： □ 综合设计 □ 自主创新 组 号： 同组搭档： 成 绩：

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实验一 随机序列的产生及数字特征估计

一、实验目的

1、学习和掌握随机数的产生方法。 2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理

1、随机数的产生

随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：

y01,ynkyn1(modN)

xnyn/N

序列xn为产生的(0，1)均匀分布随机数。 下面给出了上式的3组常用参数：

71、N10,k7，周期510；

82、（IBM 随机数发生器）N2,k23,周期510； 93、（ran0）N21,k7,周期210；

315311610由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有

XFx1(R)

由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变

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换得到。

2、MATLAB 中产生随机序列的函数

（1）(0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand 用法：x = rand(m,n)

功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。 （2）正态分布的随机序列 函数：randn 用法：x = randn(m,n)

功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从N(,)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。 （3）其他分布的随机序列

MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。

MATLAB 中产生随机数的一些函数

2

3、随机序列的数字特征估计

对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列 X (n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n=0,1,2，…，N-1。那么，X (n)的均值、方差和自相关函数的估计为

.\\

利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。 （1）均值函数 函数：mean 用法：m = mean(x)

功能：返回按上面第一式估计X (n)的均值，其中x 为样本序列x(n)。 （2）方差函数 函数：var

用法：sigma2 = var(x)

功能：返回按上面第二式估计X (n)的方差，其中x 为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。

（3）互相关函数 函数：xcorr 用法：c = xcorr(x,y)

c = xcorr(x)

c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition')

功能：xcorr(x,y)计算 X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算 X (n)的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计，即

'unbiased' 无偏估计，即按上面第三式估计。 'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。

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三、实验内容

1、采用线性同余法产生均匀分布随机数1000 个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。 num=input('num='); n=2^31; k=2^16+3;

y=zeros(1,num); x=zeros(1,num); y(1)=1; for i=2:num

y(i)=mod(k*y(i-1),num); end

x=y/num; m=mean(x); si=var(x); plot(x,'k'); xlabel('n'); ylabel('x(n)');

axis tight;

已知理论值均值为0.5 方差为0.0833

Num=1000

.\\

m =

0.4900 >> si si =

0.0834 NUM=5000 m m =

0.4950 >> si si =

0.0834 Num=3000 m m =

0.4833 >> si si =

0.0832 Num=5000 m m =

0.4980 >> si

.\\

si =

0.0833

2、参数为的指数分布的分布函数为

Fx1ex

利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数1000 个，测试其方差和相关函数。

R=rand(1,1000); lambda=0.5;

x=-log(1-R)/lambda; Dx=var(x); [Rm,m]=xcorr(x); subplot(211);

plot(x,'k');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis tight;

subplot(212);plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight;

Dx Dx =

4.0781

理论上方差的值为1/(0.5^2)=4，实际值为4.1201，因为取样个数有限，导致存在一定偏差。但大体相近。

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3、产生一组N(1,4)分布的高斯随机数（1000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。

x=normrnd(1,2,[1,1000]); Mx=mean(x); Dx=var(x); [Rm,m]=xcorr(x); subplot(211);

plot(x,'k');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis tight;

subplot(212);plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight;

Mx Mx =

1.0934 >> Dx Dx =

4.1071

理论上的均值为1，方差为4。而在实验中得到的均值为1.0934，方差为 4.1071。考虑到取样点有限，误差可以接受，理论值和实验值基本相同。

四、实验体会

本次实验内容是随机序列的产生及数字特征估计，通过实验我学习和掌握随机数的产生方法，比如线性同余法，生成已知分布函数的随机数，rand 函数等，也实现了对随机序列数字特征的估计，初步达到了实验的预期目的。

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实验二 随机过程的模拟与数字特征

一、实验目的

1、学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法。 2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。

二、实验原理

1、正态分布白噪声序列的产生

MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。

函数：randn

用法：x = randn(m,n)

功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从N(,)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果N(0,1)，则X~N(,2)。

22、相关函数估计

MATLAB 提供了函数xcorr 用于自相关函数的估计。 函数：xcorr

用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x)

c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition')

功能：xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X (n)的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。

'coeff' m=0 时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。

3、功率谱估计

MATLAB 函数periodogram 实现了周期图法的功率谱估计。 函数：periodogram

用法：[Pxx,w] = periodogram(x) [Pxx,w] = periodogram(x,window) [Pxx,w] = periodogram(x,window,nfft) [Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(...)

功能：实现周期图法的功率谱估计。其中：

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Pxx 为输出的功率谱估计值； f 为频率向量； w 为归一化的频率向量；

window 代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，下图列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。

nfft设定FFT算法的长度； fs表示采样频率；

三、实验内容

1、按如下模型产生一组随机序列

x(n)0.8x(n1)(n)

其中(n)是均值为1，方差为 4的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数和功率谱。

y=1+2*randn(1,2000); %产生均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列 x(1)=y(1); n=2000; for i=2:1:n

x(i)=0.8*x(i-1)+y(i); %按题目要求产生随机序列x(n)=0.8x(n-1)+w(n) end

plot(x); %画出随机序列x的图形 title('x(n)');

.\\

y=1+2*randn(1,2000); %产生均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列 x(1)=y(1); n=2000; for i=2:1:n

x(i)=0.8*x(i-1)+y(i); %按题目要求产生随机序列x(n)=0.8x(n-1)+w(n) end

subplot(211);

c=xcorr(x); %画出x的自相关函数 plot(c); title('R(n)'); p=periodogram(x); subplot(212); plot(p);%画出x的功率谱 title('S(w)');

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2、设信号为

其中 f10.05,f20.12，w(n)为正态分布白噪声序列，试在N =256和N=1024点时，分别产生随机序列x(n)，画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。

（1）N=256时

N=256;

w=randn(1,N); %产生一长度为256的随机序列 n=1:1:N;

x=sin(2*pi*0.05*n)+2*cos(2*pi*0.12*n)+w(n);

R=xcorr(x); %求x的自相关函数 p=periodogram(x); %求x的功率谱 subplot(311);

plot(x); title('x(n)'); subplot(312); plot(R); title('R(n)'); subplot(313); plot(p); title('S(w)');

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（2）N=1024时

N=1024;

w=randn(1,N); %产生一长度为256的随机序列 n=1:1:N;

x=sin(2*pi*0.05*n)+2*cos(2*pi*0.12*n)+w(n);

R=xcorr(x); %求x的自相关函数 p=periodogram(x); %求x的功率谱 subplot(311);

plot(x); title('x(n)'); subplot(312); plot(R); title('R(n)'); subplot(313); plot(p); title('S(w)');

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四、实验体会

此次试验通过随机过程的模拟和数字特征分析，让我对随机过程、自相关函数、功率谱密度等概念有了更加深刻的认识，我学会了如何使用matlab产生随机序列的自相关函数和功率谱密度的波形。

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实验三 随机过程通过线性系统的分析

一、实验目的

1、理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。

2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。

二、实验原理

1、白噪声通过线性系统

设连续线性系统的传递函数为H( )或H(s)，输入白噪声的功率谱密度为SX( )=N0/2，那么系统输出的功率谱密度为

SY ()=|H()|2

输出自相关函数为

RY ()=

输出相关系数为

（3.3）

输出相关时间为

0=

（3.1）

H()|2 （3.2）

（3.4）

输出平均功率为

E

（3.5）

上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|H()|决定，不再是常数。

=

H()|2

2、等效噪声带宽

在实际中， 常常用一个理想系统等效代替实际系统的H()，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

实际系统的等效噪声带宽为

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=

或

=

H()|2 （3.6）

（3.7）

3、线性系统输出端随机过程的概率分布

（1）正态随机过程通过线性系统

若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。 （2）随机过程的正态化

随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。

三、实验内容

1、仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统，白噪声为高斯分布，带通系统的两个截止频率分别为3kHz和4kHz，估计输出的自相关函数和功率谱密度函数。（假设采样频率为10kHz） Fs=10000; %抽样频率为10kHz

x=randn(1000,1); %产生随机序列 figure(1); subplot(311); plot(x);grid on; xlabel('t'); subplot(312);

c=xcorr(x,'unbiased'); %计算相关函数 plot(c);grid on; subplot(313);

[pyy,fy]=periodogram(x); %计算功率谱密度 plot(fy,pyy);grid on;

figure(2); subplot(211);

[x_pdf,x1]=ksdensity(x); %高斯白噪声的一维概率密度函数 plot(x1,x_pdf);grid on; subplot(212); f=(0:999)/1000*Fs; X=fft(x);

mag=abs(X); %随机序列频谱

plot(f(1:1000/2),mag(1:1000/2));grid on; xlabel('f/Hz');

.\\

figure(3); subplot(311);

[b,a]=ellip(10,0.5,50,[3000,4000]*2/Fs); [H,fy]=freqz(b,a); %带通滤波器

plot(fy*Fs/(2*pi),abs(H));grid on; xlabel('f/Hz'); ylabel('H(w)'); subplot(312); y=filter(b,a,x);

[y_pdf,y1]=ksdensity(y); %滤波后的概率密度 plot(y1,y_pdf);grid on; subplot(313);

c2=xcorr(y,'unbiased'); %滤波后的自相关函数 plot(c2);grid on;

figure(4); Y=fft(y);

magY=abs(Y); %随机序列滤波后频谱 subplot(211);

plot(f(1:1000/2),magY(1:1000/2));grid on; xlabel('f/Hz'); subplot(212); nfft=1024;

index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs.*nfft; window=boxcar(length(c2));

[pyy,fy]=periodogram(c2,window,nfft,Fs); %计算滤波后功率谱密度 y_py=pyy(index+1); plot(ky,y_py);grid on;

.\\

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2、设白噪声通过下图所示的RC 电路，分析输出的统计特性。

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（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。

（2）采用MATLAB 模拟正态分布白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输

出噪声的概率密度。

（3）模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声

的概率密度。

（4）改变RC 电路的参数（电路的RC 值），重做（2）和（3），与之前的结果进行比较。

（1）由图中所示电路，根据电路分析的相关知识，可推导出

输出功率谱密度为： S(w)N 22222wCRNRCe 相关函数为： R4RC相关时间为： RC 等效噪声带宽为： B（2）实验代码及结果：

R=100; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500; h=b*exp(-n*b);

x=randn(1,1000);%产生一正态分布的白噪声 y=conv(x,h);%求输出噪声

[fy,yi]=ksdensity(y);%求输出噪声的概率密度 subplot(311); plot(x); title('x(n)'); subplot(312); plot(y);

 2RC.\\

title('y(n)'); subplot(313); plot(fy);

title('输出噪声的概率密度');

（3）实验代码及结果：

R=100; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500; h=b*exp(-n*b);

x=rand(1,1000);%产生一均匀分布的白噪声 y=conv(x,h);%求输出噪声

[fy,yi]=ksdensity(y);%求输出噪声的概率密度 subplot(311); plot(x); title('x(n)'); subplot(312); plot(y); title('y(n)'); subplot(313); plot(fy);

title('输出噪声的概率密度（均匀分布）');

.\\

（4）改变RC值 R=1000，C=0.01;

%正态分布时 R=1000; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500; h=b*exp(-n*b); x=randn(1,1000); y=conv(x,h);

[fy,yi]=ksdensity(y); subplot(311); plot(x); title('x(n)'); subplot(312); plot(y); title('y(n)'); subplot(313); plot(fy);

title('输出噪声的概率密度');

.\\

%均匀分布时 R=1000; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500; h=b*exp(-n*b); x=rand(1,1000); y=conv(x,h);

[fy,yi]=ksdensity(y); subplot(311); plot(x); title('x(n)'); subplot(312); plot(y); title('y(n)'); subplot(313); plot(fy);

title('输出噪声的概率密度');

.\\

改变R、C的值为：R=10，C=0.01;

%正态分布时 R=10; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500; h=b*exp(-n*b); x=randn(1,1000); y=conv(x,h);

[fy,yi]=ksdensity(y); subplot(311); plot(x); title('x(n)'); subplot(312); plot(y); title('y(n)'); subplot(313); plot(fy);

title('输出噪声的概率密度');

.\\

%均匀分布时 R=10; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500; h=b*exp(-n*b); x=rand(1,1000); y=conv(x,h);

[fy,yi]=ksdensity(y); subplot(311); plot(x); title('x(n)'); subplot(312); plot(y); title('y(n)'); subplot(313); plot(fy);

title('输出噪声的概率密度');

.\\

由图可得，系统相关时间与系统带宽成反比。另外，由输入输出波形可以看出，正态随机过程通过一个线性系统后，输出仍服从正态分布。而对于任意分布的白噪声，通过一个线性系统后，输出也服从正态分布。

四、实验体会

本次实验内容是随机过程通过线性系统的分析。通过这次试验我对白噪声通过线性系统后输出的特性有了更加深刻的理解，并且学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证了随机过程的正态化问题，对matlab的使用也有了更深的体会。

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实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试

一、实验目的

1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。

2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。

二、实验原理

1.窄带随机过程的莱斯表达式

任何一个实平稳窄带随机过程X (t)都可以表示为

上式称为莱斯表达式，根据上式可以模拟产生窄带随机过程，具体过程下图所示。

2.窄带随机过程包络与相位的概率密度 包络的概率密度为

，服从瑞利分布。

相位的概率密度为，呈均匀分布。

3.窄带随机过程包络平方的概率密度 包络平方的概率密度为

0，为指数概率密度函数。

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三、实验内容

1、按上图所示结构框图，基于随机过程的莱斯表达式，用MATLAB产生一满足条件的窄带随机过程。 n=1:1:1000;

h=exp(-n); %低通滤波器

c1=randn(1,1000); %正态分布的高斯白噪声 a=conv(c1,h); %通过低通滤波器 c2=randn(1,1000); %正态分布的高斯白噪声 b=conv(c2,h); %通过低通滤波器 fc=10000; x=zeros(1,1000); for i=1:1000

x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i); %与正弦或余弦函数卷积再相加 end plot(x);

title('窄带随机过程');

2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。

.\\

.\\

3、编写MATLAB程序计算该随机过程的均值函数、自相关函数、功率谱、包络、包络平方及相位的一维概率密度，画出相应的图形并给出解释。 n=1:1:1000;

h=exp(-n); %低通滤波器

.\\

c1=randn(1,1000); %正态分布的高斯白噪声 a=conv(c1,h); %通过低通滤波器 c2=randn(1,1000); %正态分布的高斯白噪声 b=conv(c2,h); %通过低通滤波器 fc=10000; x=zeros(1,1000); for i=1:1000

x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i); %与正弦或余弦函数卷积再相加 end %均值函数 m=mean(x); subplot(321) plot(m); title('均值') %自相关函数 R=xcorr(x); subplot(322) plot(R);

title('自相关函数') %功率谱密度

[S,w]=periodogram(x); subplot(323) plot(S);

title('功率谱密度') %包络

B=zeros(1,1000); for i=1:1000

B(i)=sqrt(a(i)^2+b(i)^2); end

[fB2,j]=ksdensity(B); subplot(324) plot(fB2); title('包络') %包络平方

B=zeros(1,1000); for i=1:1000

B(i)=(a(i)^2+b(i)^2); end

[fB2,j]=ksdensity(B); subplot(325) plot(fB2); title('包络平方') %相位

.\\

for i=1:1000

fai(i)=atan(b(i)/a(i)); end

[fp,j]=ksdensity(fai); subplot(326) plot(fp); title('相位')

m =

0.0045

分析：生成的两个高斯白噪声，分别通过低通滤波器得到a(t)和b(t)。用莱斯表达式的原理产生一个窄带随机过程。由实验结果可以看出，窄带随机过程的均值为零，包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布，而包络的平方呈指数型分布。

四、实验体会

在这次试验中我主要掌握了用基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程以及窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。

这四次实验使我对课堂上的知识有了更深的了解，也对matlab工具的使用更加熟练。实验使我从操作的方面理解课堂知识，深切感受到不同方面产生的影响，对我的学习提供了很大帮助。