渐开线齿轮轮廓曲线方程

渐开线齿轮轮廓线方程的建立 摘要

根据范成法齿轮切削原理，利用包络线法推导出渐开线圆柱齿轮轮齿齿廓线参数方程。并且给出了确定渐开线段和过渡线段的参数变化范围的算法。该算法已在MATLAB中编程验证。利用该参数方程，可以精确建立齿轮的三维模型，以进行后续的刚度、强度分析。

关键词：范成法；包络线；渐开线齿轮；过渡曲线

引言

渐开线齿轮广泛应用于各行各业。对齿轮的性能要求越来越高，需要对其建立三维模型进行动力学，静力学分析等等。在进行运动学和动力学分析时，需要知道轮齿齿廓曲线方程。渐开线齿轮轮齿齿廓分为两部分：渐开线部分和过渡曲线部分。渐开线部分主要用于传递运动，其曲线方程容易求到；过渡曲线部分不传递运动，但是对轮齿强度有很大影响，然而鲜有文献介绍其具体方程，一般都是近似处理，这样势必会降低分析的准确性。本文根据范成法制造齿轮的过程，采用包络曲线法建立渐开线部分和过渡曲线部分的方程，提高后续的建模分析精度。

范成法

近代齿轮的加工方法很多，有铸造法、热轧法，冲压法、模锻法和切齿法等。其中最常用的是切削方法，就其原理可以概括分为仿形法和范成法两大类。范成法是最常用的一种方法。利用一对齿轮互相啮合传动时，两轮的齿廓互为包络线的原理来加工的。将一对互相

啮合传动的齿轮之一变为刀具，而另一个作为轮坯，并使二者仍按照原传动比进行运动。在传动过程中，刀具的齿廓在轮坯上形成一系列的曲线族，该曲线族的包络线便为所切齿

轮的轮廓，如下图所示：

图 1 齿条刀具轮廓曲线族

常用的刀具有齿轮插刀，齿条插刀和齿轮滚刀。齿条刀具几何轮廓线简单，其在展成运动中的曲线族方程容易得到。因此本文以齿条刀具展成切削齿轮过程为例，先求出齿条刀具轮廓在展成运动中的曲线族方程，再根据包络线法求出其曲线族的包络线方程，即可得到齿轮轮廓线方程。

包络线简介

在几何学中，某个曲线族的包络线，是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）

一般地，设一个曲线族的每条曲线CS可表示为t数t是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由下的方程求得：

yxyxhssh

sxs,t,ys,t，其中s是曲线族的参

xs,hs,ys,hs得出，其中hs以

若曲线族以隐函数形式Fx,y,s0表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去s得到。

Fx,y,s0Fx,y,s0s

轮廓曲线方程的建立

vy1Πm/4A2m0.38mo1y2dmBwCx10.25mo2x2

图 2 刀具齿轮坯坐标系

建立如图2所示的齿条刀具和齿轮坯的坐标系。曲线ABC为齿条刀具齿廓，其中AB段为直线，BC段位圆弧。m为齿轮模数，z为即将切出的齿轮齿数。d为齿条刀具节线与齿轮轮坯中心间的距离。设齿轮的变位系数为x，则d=m（z/2+x）。坐标系1与齿条刀具固连，坐标系2与齿轮坯固连。为了求取齿轮轮齿齿廓曲线方程，可将展成运动简化成如下运动：齿条刀具沿x1方向以速度v平动，齿轮坯绕自身原点以角速度w转动。v与w之间满足：

mz2

若以齿轮坯坐标系为参考坐标系，则展成运动可看成齿条刀具绕着坐标系2的原点转动，同时沿着切线方向平动。在运动过程中，AB线段曲线族的包络线就是齿轮轮齿的渐开线部分，BC段圆弧曲线族的包络线就是过渡线部分。

初始状态时，AB段曲线在坐标系1中的参数方程为：

mtan()x49ymmm

BC段曲线在坐标系1中的参数方程为：

mxmtan()0.38mcos0.38mcos499y0.38msin0.38msin992

渐开线曲线方程的建立

时刻t时，AB段线段在坐标系2中的曲线族参数方程为：

mtan()xcos(t)sin(t)010vt49ysin(t)cos(t)001dmm00001111m(tan()vt)cos(t)(d)sin(t)49m(tan()vt)sin(t)(d)cos(t)491

mz2，AB段线段在坐标系2中的曲线族参数方程可变为：

令t，则

vmmzx(tan())cos(d)sin492y(mtan()mz)sin(d)cos492

消去得到

x(tan9sincos)y(tan9cossin)4mmzdtan29 （1）

在方程（1）两边对求偏导得到：

9x(sintancos)y(tan9sincos)mz2 (2)

联立式（1），式（2）可得：

xyp1p3p2p49p2p3p1p41tan21tan29

其中，

9p1tansincos，

p2tan9cossin，

p34mmzmzdtanp429 ，2

过渡曲线方程的建立

同理可得，BC段圆弧在展成运动过程中形成的曲线族在坐标系2中的参数方程：

x(aRcosr)cos(bRsin)siny(raRcos)sin(bRsin)cos

其中，

a4mmtan90.38mcos9，

b0.38msin9dm，R0.38m，

rmz2

消去，可得：

x(ar)cosbsiny(ra)sinbcos22R2 （3）

方程两边对求偏导，可得：

(xl1)l2(yl3)l40 （4）

其中，l1(ar)cosbsin，l2(br)cos(ra)sin，

l3(ra)sinbcos，l4(rb)sin(ra)cos

联立上述两个方程求解可得到

l4Rxl1l22l42yll2R3l22l42

在消去的过程中引入了多余的根，所以上述四组解中有三组是不符合要求的，通过实际作图判断，可以得到合理的一组解，作为过渡曲线在坐标系2中的参数方程。

经验证，过渡曲线参数方程应为

l4Rxl122ll24yll2R3l22l42

渐开线和过渡曲线参数取值范围

要得到齿轮轮齿的轮廓曲线，还需要知道其参数方程中参数的取值范围。渐开线的起始点为：渐开线与齿顶圆的交点(此时，1)；渐开线与过渡曲线的切点(此时，2)。过渡曲线的起始点为：渐开线与过渡曲线的切点(此时，2)；过渡曲线与齿根圆的切点(3)。由于各切点方程和交点方程都是超越方程，其解析解不易求得，因此采用数值解法。

首先，确定参数的大致范围。参数的物理意义是，齿轮坯旋转的角度。外啮合齿轮

4444,,zzzz模数为1，213的重合度小于2，因此，，必定落在区间内。当

齿数为41的齿轮轮齿渐开线和过渡曲线如图6所示。

齿顶圆的半径ra为定值，渐开线与齿顶圆只有一个交点，直接采用二分法，搜索1，使得1时，渐开线曲线上的点到原点的距离与齿顶圆半径足够接近。其求解流程如图3。

开始f44ezz1fdx2(1)y2(1)ra d的绝对值足够接近0？否是d0否f1是结束e11fe2

图3 1求解流程图

开始f44,ezzt1f2(ef)ef,t2f33d1x2(t1)y2(t1)rfd2x2(t2)y2(t2)rfdmin(d1,d2)di,tti d的绝对值足够接近0？否否i1?是ft1是3tiet2结束

图 4 3求解流程图

44,zz内由小到大变化时，随着参数在区间过渡曲线上的点到原点的距离先变小

后变大，因此可以采取三分法，搜索过渡曲线与齿根圆相切的点。其计算流程如图4。

过渡曲线与渐开线的切点求法流程如图5。

开始f3,e4z2fe,dyj(2)yg(2)2 d的绝对值足够接近0？否否d0?是e3是结束f3

图 5 2求解流程图

图6 确定参数范围前的渐开线，过渡曲线

模数为1、齿数为41

图7 确定参数范围后的渐开线，过渡曲线

模数为1、齿数为41

结语

本文根据范成法原理，利用包络线法，导出了直齿圆柱齿轮轮齿齿廓的曲线参数方程，并给出了参数取值范围的数值解法。

渐开线段参数方程物理意义明确，其参数为齿轮加工过程中齿轮坯的旋转角度，该参数对齿轮传动运动学分析极为有利。过渡曲线参数方程，精确描述了齿轮过渡线部分的轮廓，利用该方程很容易建立齿轮轮齿的三维精确模型，能提高后续齿轮的强度和刚度分析精度。

参考文献

[1]方昆凡主编，公差与配合实用手册，北京：机械工业出版社，2005

[2]傅则绍主编，微分几何与齿轮啮合原理，东营：石油大学出版社，1999

[3]刘鹄然, 赵东福, 宋德玉著，现代啮合理论，杭州：浙江大学出版社，2008

[4]张训福，黄康，陈奇，渐开线齿轮齿根过渡曲线方程的建立及三维精确建模，设计与研究，2008（2）：1-3

[5]于萌，在Auto CAD中渐开线齿廓的精确绘制，CAD/CAM与制造业信息化，2001（12）：

[6]高屏，刘玉如，Inventor中渐开线齿轮精确造型的研究，机电工程，2003 20（4）

[7]代素梅，李允旺，唐兵，渐开线圆柱齿轮精确廓线绘制方法的研究，煤矿机械，2004（12）