高中数学必修二知识体系整合

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

一、平面

1、含义：平面是无限延展的 2、“3个公理”

公理 内容 如果一条直线上的两点在一个公理1 平面内，那么这条直线在此平面内 图形 符号 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒l⊂α A，B，C三点不共过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理2 线⇒存在唯一的α,使A，B，C∈α 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 如果两个不重合的平面有一个公公理3 共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，P∈β ⇒α∩β＝l，且P∈l 二、空间中点、直线、面的位置关系（“3种关系”） 1、空间两条直线的位置关系

位置关系 共面 相交 平行 特 点 同一平面内，有且只有一个公共点 同一平面内，没有公共点 不同在任何一个平面内，没有公共点 异面直线 第 1 页

异面直线的画法 1.异面直线所成角θ的范围是【锐角(或直角)】 00<θ≤900 2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； 2.直线与平面的位置关系

位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线a在平面α内 无数个公共点 a⊂α 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 一个公共点 a∩α＝A 没有公共点 a∥α 3.两个平面的位置关系

位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 α∥β 没有公共点 有无数个公共两平面相交

α∩β＝l 点(在一条直线上)

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三、平行（3种） 线线平行 线面平行 面面平行  babp//a//b//a a∥αa⊂β⇒a∥b α∩β＝b a⊄αb⊂α⇒a∥α a∥bα∥βα∩γ＝a⇒a∥b β∩γ＝b//a// ababpm//nmnQa//nb//ma a⊥α l// l垂直于同一条直线 的两平面平行 ⇒a∥b b⊥α垂直于同一平面的 两直线平行

a∥b⇒a∥c. b∥c //// //第 3 页

四、垂直（3种） 线线垂直 线面垂直 面面垂直 lla ababplla lb al l 异面直线所成角 α⊥βα∩β＝l⇒a⊥β a⊂αa⊥l// ba a//b五、角（3种）

直线与平面所成角度 第 4 页

二面角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 范围：(0,90] 范围：[0,90] 当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°. 当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°. 范围：[0,180]

第三章 直线与方程

一、倾斜角和斜率

1、倾斜角：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

2、斜率：k ＝ tan α ＝

y2－y1

(x≠x) x2－x112

直线 倾斜角 斜率

0°<α<90° >0 α＝90° 不存在 90°<α<180° <0 α＝0° 0 二、直线的位置关系

直线方程 ykxb l1:A1xB1yC10（A1,B1不同时为0）， l2:A2xB2yC20（A2,B2不同时为0） 第 5 页

l1//l2k1k2,b1b2l1∥l2⇔l1，l2斜率都不存在 平行 l1//l2A1B1C1A2B2C2 A1B2A2B1与直线l:AxByC0平行的直线， 可设所求方程为AxByC10（c1c） l1l2k1k21. 垂直 l1l2A1A2B1B20 与直线AxByC0垂直的直线，可设所求方程为BxAyC10. 一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零 l1与l2相交A1B1. A2B2l1与l2相交A1B2A2B10. l1与l2重合A1B2A2B10,AC12A2B10； 相交 l1与l2相交⇔k1≠k2. 重合 l1//l2k1k2,b1b2 l1与l2重合A1B1C1 A2B2C2三、直线的方程

1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为yy0k(xx0). 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为ykxb. 3.两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为

yy1xx1（x1x2,y1y2） y2y1x2x1xay1（不过原点的直线） b4. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为5.一般式：AxByC0（A、B不同时为0）

直线一般式方程AxByC0(B0)化为斜截式方程yx为C的直线. BABCA，表示斜率为，y轴上截距

BB四、解含有参数的直线恒过定点的问题

xx00(1)方法一：化为点斜式yy0k(xx0).令，直线必过定点(x0，y0)

yy00(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为

A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数， A1x＋B1y＋C1＝0，

联立解得．

A2x＋B2y＋C2＝0

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五、距离公式

1、两点间的距离公式：|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22 2、点到直线的距离：

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离公式为d3、两平行线距离

两条平行直线l1:AxByC10，l2:AxByC20之间的距离公式d|C1C2|AB22|Ax0By0C|AB22

六、对称问题

1、点关于点对称

点A(a,b)关于点P(x0,y0)对称，求A坐标

acx0 解：设A(c,d)，则联立2求得

bdy022、点关于线对称

点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由 y－y0A

－B＝－1AB≠0x－x0·

方程组

x＋x0y＋y0A·＋B·22＋C＝0

求得．

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