转体桥混凝土球铰磨心接触应力参数分析

第３７卷第１期２０２０年２月　

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＭａｎａｇｅｍｅｎｔ

土木工程与管理学报

Ｖｏｌ.３７Ｎｏ.１Ｆｅｂ.２０２０

转体桥混凝土球铰磨心接触应力参数分析

范剑锋ꎬ　刘　涛ꎬ　彭自强ꎬ　尹耀霄ꎬ　王　佶

(武汉理工大学　土木工程与建筑学院ꎬ湖北　武汉　４３００７０)

摘　要:混凝土球铰磨心是转体桥梁的关键构件ꎬ对表面接触应力的准确分析与掌握直接影响工程设计以及施工阶段的质量与安全ꎮ以球铰磨心表面接触应力为目标ꎬ基于非赫兹接触的理论解法及有限元数值模拟ꎬ对球铰接触应力进行计算ꎬ做出球铰接触应力分布曲线ꎬ对比不同球铰设计参数的最大接触应力值ꎬ分析球铰设计参数与最大接触应力的关系ꎮ

关键词:转体桥ꎻ　球铰ꎻ　非赫兹接触ꎻ　接触应力ꎻ　参数分析

中图分类号:Ｕ４４１＋.５　　文献标识码:Ａ　　文章编号:２０９５￣０９８５(２０２０)０１￣００７０￣０５

ＡｎａｌｙｓｉｓｏｎＣｏｎｔａｃｔＳｔｒｅｓｓＰａｒａｍｅｔｅｒｓ

ｏｆＣｏｎｃｒｅｔｅＳｐｈｅｒｉｃａｌＨｉｎｇｅＧｒｉｎｄｉｎｇＣｅｎｔｅｒｏｆＳｗｉｎｇＢｒｉｄｇｅ

(ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅꎬＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬ

Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｔｈｅｇｒｉｎｄｉｎｇｃｅｎｔｅｒｏｆｃｏｎｃｒｅｔｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｈｉｎｇｅｉｓｔｈｅｋｅｙｃｏｍｐｏｎｅｎｔｏｆｔｈｅｓｗｉｎｇｂｒｉｄｇｅꎬａｎｄｔｈｅａｃｃｕｒａｔｅａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｇｒａｓｐｏｆｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓｗｉｌｌｄｉｒｅｃｔｌｙａｆｆｅｃｔｔｈｅｑｕａｌｉｔｙａｎｄｓａｆｅｔｙｏｆｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｄｅｓｉｇｎａｎｄｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓｔａｇｅ.Ｓｅｔｔｉｎｇｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓｏｆｓｐｈｅｒｉｃａｌｊｏｉｎｔｍａｄｅ.Ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓｖａｌｕｅｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｄｅｓｉｇｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｈｉｎｇｅａｒｅｃｏｍｐａｒｅｄꎬａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｄｅｓｉｇｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｈｉｎｇｅａｎｄｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓｉｓａｎａｌｙｚｅｄ.

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｗｉｎｇｂｒｉｄｇｅꎻｓｐｈｅｒｉｃａｌｊｏｉｎｔꎻＮｏｎ￣ＨｅｒｔｚＣｏｎｔａｃｔꎻｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓꎻｐａｒａｍｅｔｅｒａｎａｌｙｓｉｓ　　桥梁转体施工[１ꎬ２]适合跨越既有铁路线、深谷等施工条件受限的场地ꎮ转体桥球铰[３]是此类结构最关键的结构构件ꎮ转体球铰分为钢球铰和混凝土球铰ꎬ钢球铰以其制作精度高ꎬ运输吊装工艺成熟而多用于城市及交通便利地区ꎮ混凝土球铰因为不需要大型运输吊装器械ꎬ在山区大跨桥梁建设中广泛运用[４]ꎮ混凝土球铰的设计要考虑到与模架施工、转动体系布置、转体施工准备及转体稳定性控制ꎬ是桥梁转体施工中的关键技术[５]ꎮ球铰的正常工作需保证表面接触应力处于准确受控状态ꎬ但对球铰磨心设计参数的研究

收稿日期:２０１９￣０４￣３０　修回日期:２０１９￣０８￣１６

作者简介:范剑锋(１９７６￣)ꎬ男ꎬ江苏宜兴人ꎬ博士ꎬ副研究员ꎬ研究方向为桥梁仿真模拟(Ｅｍａｉｌ:Ｆｊｅｆｆ＿ｄｊ＠１２６.ｃｏｍ)通讯作者:刘　涛(１９９３￣)ꎬ男ꎬ安徽合肥人ꎬ博士研究生ꎬ研究方向为桥梁仿真模拟(Ｅｍａｉｌ:Ｃｙｇｎｕｓ＿ｌｉｕ＠ｗｈｕｔ.ｅｄｕ.ｃｎ)

ＦＡＮＪｉａｎ￣ｆｅｎｇꎬＬＩＵＴａｏꎬＰＥＮＧＺｉ￣ｑｉａｎｇꎬＹＩＮＹａｏ￣ｘｉａｏꎬＷＡＮＧＪｉ

Ｗｕｈａｎ４３００７０ꎬＣｈｉｎａ)

ａｓｔｈｅｇｏａｌꎬｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＮｏｎ￣ＨｅｒｔｚｉａｎＣｏｎｔａｃｔｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎꎬｔｈｅｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓｏｆｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｈｉｎｇｅｉｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄꎬａｎｄｔｈｅｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｃｕｒｖｅｉｓ

较少ꎮ在以往的转体桥球铰设计中ꎬ都是先将球这样带来最大的误差就是球铰表面接触应力计算不精确ꎮ车晓军等[７]通过球铰表面应力差来预估转体桥的不平衡力矩ꎮ左敏等[８]基于弹性半空间理论推导了球铰接触应力的计算公式ꎬ验证

铰的球面假定为平面ꎬ进行平面的尺寸设计[６]ꎬ

了球铰强度理论相比于规范简化算法的优越性ꎮ范剑锋等[９]提出基于非赫兹接触理论的磨心表面接触应力公式ꎮ傅贤超等[１０]通过对比平面铰和球铰ꎬ论证了平面铰受力性能更加合理ꎮ

综上研究成果ꎬ球铰的设计、监控中有如下不

　第１期范剑锋等:转体桥混凝土球铰磨心接触应力参数分析

􀅰７１􀅰

足之处:(１)球铰简化为平面进行参数设计带来球铰接触应力采用弹性半空间理论进行计算ꎬ虽结果相近ꎬ却不具有代表性ꎻ(３)球铰设计参数研究较少ꎮ

由于在球铰参数设计角度上ꎬ缺少参考性研究成果ꎬ因此本文运用基于非赫兹接触的理论解法与有限元模拟软件ꎬ对球铰矢高变化、球铰半径变化及同一矢径比不同球铰半径变化进行了理论

误差ꎻ(２)弹性半空间理论适用于非协调接触[１１]ꎬ

参考公式ꎮ其中ꎬ实际球铰磨心尺寸如图１ꎬ其材料力学参数如表１ꎮ

26002600700800R8500R1300.00R1300.00计算和有限元模拟ꎬ以球铰表面接触应力为目标ꎬR8500对比分析了不同设计参数下ꎬ球铰磨心接触应力的分布ꎬ并分析球铰磨心参数的敏感性ꎮ

１　非赫兹接触理论应力计算

范剑锋等

[９]

在基于非赫兹接触理论的基础

上ꎬ提出了磨心表面接触应力的公式ꎬ合力Ｆ和应力分布ｐ(ｘ)为:

Ｆ＝６４

(１)

ｐ(ｘ)＝１２８Ｅ∗９πＡ２ｒ３􀅰１５Ｅ∗Ａ２ｒ５

éêêæçｘö÷２＋１

ùúú２

û

(ｒ２－ｘ２)１

２２

(２)Ｅ１∗＝１ë－èＥμｒø１＋

１－２

Ｅμ２

(３)ＡＲ１

３２＝８Ｒ２－３２３Ｒ１

１Ｒ３

２

(４)

式中:Ｆ为总荷载ꎻｒ为接触带宽ꎻＥ∗为当量弹性模量ꎻＡ系数ꎻＥ２为非赫兹接触应力Ｓｔｅｕｅｒｍａｎｎ模型中的１ꎬＥ２分别为两弹性体的弹性模量ꎻμ分别为两弹性体的泊松比ꎻＲ１面的上、下半径ꎮ

１ꎬＲ２分别为两接触ꎬμ２０.００２４ｌｎ若上下两接触面Ｒ１＝Ｒ２ꎬ取Ｒ１＝Ｒ２(１.０２０７－接触带宽Ｒ２)ꎮ

ｒ为:

ｒ＝

５

６４１５Ｅ∗ＦＡ(５)

式(１)为轴对称共形接触(２

即协调接触)结构

荷载函数ꎬ式(２)为轴对称共形接触应力分布值ꎮ

２　混凝土球铰磨心参数分析

本文以南渡江转体拱桥为依托ꎬ转体桥球铰磨心作为研究对象ꎬ以球铰磨心上表面应力为参数目标ꎬ对球铰尺寸参数进行敏感性分析ꎮ通过有限元模拟方式进行参数敏感性分析ꎬ并将结果与理论解进行对比分析ꎬ拟合出球铰参数敏感性

图１　球铰磨心尺寸/ｍｍ表１　材料力学参数

材料球铰磨盖、磨心Ｃ５０

钢销轴弹性模量/ＭＰａ

３３５００２０００００泊松比

０.２

０.３

　心模型　运用通用有限元软件ꎬ由于ＡＢＡＱＵＳ无固定量纲ＡＢＡＱＵＳꎬ建立球铰磨模型长度单位取ｍｍꎬ力取Ｎꎬ则相应的应力单位为ＭＰａꎮ采用径向六面体分割单元ꎮ全桥重量为５６９００ｋＮꎬ施加在球铰磨盖上表面ꎮ施加作用力时ꎬ分为两步ꎬ第一步施加１０ｋＮ的力ꎬ以防止直接施加全桥重量导致计算不收敛ꎻ第二步施加全桥重量ꎮ球铰下磨盘底部边界全部约束ꎮ选择ＣＰＲＥＳＳ查看球铰磨心上表面应力ꎮ上磨盖、下磨心与定位销轴模型如图２所示ꎮ

(a)(b)

图２　有限元模型

球铰的力学模型示意图如图３所示(图中:１为上转盘ꎻ２为下转盘ꎻ３为撑脚ꎻ４为上球铰ꎻ５为下球铰ꎻＲ为球铰半径ꎻＲ、为球铰平面半径ꎻα为球铰支撑圆心角或球铰外边缘圆心角ꎻθ为球铰径向角度)ꎮ

143R、2R5O图３　球铰尺寸参数示意

　􀅰　７　２􀅰　　　　　　　　　　　　　　土木

工程与管理学报　　　　　　　　　　　　　２０２０年表２　球铰参数与最大接触应力

２.１　球铰矢高变化对球铰受力的影响

在同样的荷载作用下ꎬ进行球铰矢高参数分析ꎬ保持球铰平面半径不变ꎬ因此球铰半径会随之变化ꎬ在ＡＢＡＱＵＳ中设置Ｐａｔｈ路径ꎬ从球铰一端至另一端ꎬ用来查看球铰磨心表面接触应力ꎬ查看组如图４ꎬ５所示ꎮ

３３.８１２５１６.９２５８.５

球铰半径Ｒ/ｍ

０.０２５０.０５０.１０球铰矢高ｆ/ｍ

球铰最大接触平面半径应力σＲ/ｍ/ＭＰａ１.３００１.３００１.３００１１.１６６１１.２７８１１.６５２理论解最大

接触应力σ/ＭＰａ９.５５３９.８６９

１０.４１５+1.16510

1

+1.06810

1

+9.71110

0

+8.74010

0

+7.76910

0

+6.79810

0

+5.82610

0

+4.85510

0

+3.88410

0

+2.91310

0

+1.94210

0

+9.71110

-1

+0.00010

0

图４　Ｐａｔｈ路径设置

-1300O1300图５　查看节点示意

球铰接触应力统计见图６ꎮ由图６可知ꎬ球铰表面接触应力变化趋势不因球铰矢高的变化而变化ꎬ球铰表面接触应力都从磨心圆点开始ꎬ沿着径向先增加ꎬ后减小ꎮ同时从图６可以看出ꎬ球铰矢高越小时ꎬ即球铰越平缓时ꎬ表面接触应力分布更加均匀ꎬ因为此时更加接*面ꎮ

141210

aPM8/640.025󰀀m0.05󰀀m20.10󰀀m0.15󰀀m00.20󰀀m

-2

-1500-1000-500

0

500

10001500

/mm

图６　同一球铰半径不同矢高自重荷载下

球铰接触应力值统计

将应力最大值进行统计ꎬ并将计算参数代入公式(２)中ꎬ运用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ计算软件得到应力理论解ꎬ并取出最大值ꎮ结果统计于表２中ꎮ

５.７０８　４.３２５０.１５０.２０

１.３００１.３００

１２.０９７１２.６９３

１１.１２５１１.１５０

于图　将不同矢高下的球铰表面最大接触应力统计７中ꎮ

1614aPpM1(x)=8.701x+10.864/12R2=0.982610p2(x)=9.7934x+9.39418R2=0.942960.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200.22/m图７　不同矢高最大接触应力结果统计

在自重荷载作用下ꎬ当球铰平面半径不变时ꎬ

球铰矢高变化导致球铰半径变化ꎮ由图７可知ꎬ此时将有限元数值模拟结果与理论解结果进行统计ꎬ并拟合出最大接触应力对矢高变化的公式ꎮ图中可明显看出ꎬ两者计算结果都呈现出随着矢

高增加而最大接触应力增加的上升趋势ꎮ

有限元数值计算结果呈明显线性趋势ꎬ其最大接触应力拟合曲线为理论解计算结果也呈明显线性趋势)＝８.７０１:

ｐ１(ｘｘ＋１０.８６４

ꎬ其最大(６)接触应力拟合曲线为２.２　球铰半径变化对球铰受力的影响

)＝９:

ｐ２(ｘ.７９３４ｘ＋９.３９４１

(７)

在同样的荷载作用下ꎬ进行球铰半径参数分析ꎬ其矢高保持不变ꎮ球铰磨心表面接触应力变化规律不变18ꎬ结果如图８所示ꎮ

1614a12PM/108

67.0󰀀m48.0m28.5󰀀m9.0󰀀m010.0󰀀m-2

-1500-1000-500

0

500

10001500

/mm

图８　同一矢高不同球铰半径自重荷载下

球铰接触应力值统计

　第１期范剑锋等:转体桥混凝土球铰磨心接触应力参数分析

18161412108647 m,8m,8.5 m,􀅰７３􀅰

由图８可知ꎬ球铰表面接触应力变化趋势符合非赫兹接触理论ꎬ不因球铰半径的变化而变化ꎬ先增加ꎬ后减小ꎮ球铰半径越小ꎬ其最大接触应力值越大ꎮ将接触应力最大值进行统计ꎬ可以得到表３ꎮ

/MPa球铰表面接触应力都从磨心圆点开始ꎬ沿着径向

0.082 m0.094 m0.1 m表３　球铰参数与最大接触应力

球铰球铰球铰最大接触理论解最大

半径Ｒ/矢高平面半径接触应力７.０ｍ８.００.１０ｆ/ｍ１.１７９Ｒ/ｍ应力σ１６.０２２/ＭＰａσ８.５０.１００.１０１.２６１１５.７１９/ＭＰａ１.３００１２.５３１１３.０２９１０.０９.０

０.１００.１０

１.３３８１１.６５２１０.４１５１.４１１

１０.９５５９.８９８

９.９６８　半径变化导致球铰平面半径变化　在自重荷载作用下ꎬ当球铰矢高不变时９.５１５

ꎮ由图９ꎬ可知球铰ꎬ

此时将有限元数值模拟结果与理论解结果进行统计ꎬ并拟合出最大接触应力对球铰半径变化的公式ꎮ图中可明显看出ꎬ两者计算结果都呈现出随球铰半径增加而最大接触应力减小的趋势ꎮ

171615

aPp1(x)=0.5969x2

12.141x+71.693M14/R2

=0.9954

1312

11p(x)=0.739x2214.73x+82.80510R2=0.96399

7.0

7.5

8.0

8.5

9.09.5

10.0

/m

图９　不同球铰半径最大接触应力结果统计

有限元数值计算结果呈弱非线性趋势ꎬ其最大接触应力拟合曲线为理论解计算结果也呈弱非线性趋势)＝０.５９６９ｘ:

ｐ１(ｘ２－１２.１４１ｘ＋７１.６９ꎬ其最大

(８)接触应力拟合曲线为对式(８)(９)＝０求导得.７３９:

ｐ２(ｘ)ｘ２－:

１４.７３ｘ＋８２.８０５(９)ｐ１′(ｘ)＝１.１９３８ｘ－１２.１４１(１０)２.３　球铰矢高及球铰半径同步变化ｐ２′(ｘ)＝１.４７８ｘ－１４.７３

(矢径比不

(１１)

变)对球铰受力的影响

在同样矢径比及相同荷载作用下ꎬ进行球铰半径参数分析ꎬ结果如图１０所示ꎮ

由图１０可知ꎬ球铰表面接触应力变化趋势符合非赫兹接触理论ꎬ不因球铰半径的变化而变化ꎬ球铰表面接触应力都是从磨心圆点开始ꎬ沿着径

20

9 m,10 m，0.106 m0.118 m

-2000-2

-1500-1000-500

0

500100015002000

/mm

图１０　同一矢径比自重荷载下球铰接触应力值统计

向先增加ꎬ后减小ꎮ由于保持同一矢径比ꎬ球铰半径小会导致球铰平面半径小ꎬ因而最大接触应力会高于球铰半径大的研究对象ꎮ

将应力最大值进行统计ꎬ可以得到表４ꎮ

表４　球铰参数与最大接触应力

球铰球铰球铰平面半径Ｒ/矢高ｆ/ｍ半径Ｒ

、ｆ/Ｒ最大接触理论解最大

应力σ７.０ｍ８.００.０８２８.５０.０９４１.０６８/ｍ

１１/８５１７.２１０/ＭＰａ接触应力１８.１３９/ＭＰａσ０.１００１.２２３１０.０９.０

０.１０６１.３００１/８５１４.３６７１３.６８３０.１１８

１.３７７１.５３２

１/８５１１.６５２１０.４１５１//８５８５

１０.３５１８.５５９

１０.５４５　径比相同时　由图１１ꎬ球铰半径变化与最大接触应力的变可知ꎬ在自重荷载作用下ꎬ当球铰矢８.６５６

化呈现较明显的线性关系ꎮ图中可明显看出ꎬ矢径比相同时ꎬ半径越大ꎬ最大接触应力越大ꎬ增大半径对降低接触应力的作用明显ꎮ并且有限元数值模拟最大接触应力均大于理论解最大接触应力ꎮ

1816

a14Pp1(x)=-2.9969x+37.901MR2

=0.9655

/12p2(x)=-3.1587x+39.13710R2=0.892186

7.0

7.5

8.0

8.5

9.09.510.0

/m

图１１　相同矢径比最大接触应力结果统计

有限元数值计算结果呈明显线性趋势ꎬ其最大接触应力拟合曲线为:

ｐ理论解计算结果也呈明显线性趋势１(ｘ)＝－２.９９６９ｘ＋３７.９０１ꎬ其最大(１２)

接触应力拟合曲线为根据图７ꎬ９ꎬ１１ꎬ)＝－:

ｐ２(ｘ计算拟合的式３.１５８７ｘ＋３９.１３７(６)~(１３)ꎬ(１３)

结

果统计如表５ꎬ６所示ꎮ

　􀅰　７　４􀅰　　　　　　　　　　　　　　土木

表５　线性拟合统计结果

工程与管理学报　　　　　　　　　　　　　２０２０年

参

考

文

献

水平半径不变ꎬ变化

有限元拟理论计算有限元模拟其余

参数变化

合变化拟合变化结果与理论计误差

情况

斜率斜率算最大误差/％/％

８.７０１

９.７９３４－３.１５８７

１４.４１０.６

<１２<５

[１]　刘崇亮.宜万铁路宜昌长江大桥钢管拱拼装和竖转[２]　袁海庆ꎬ李　盛.开口薄壁箱半跨转体拱桥施工阶

(６):１６￣１８.

施工技术[Ｊ].铁道标准设计ꎬ２０１０ꎬ(８):１５８￣１６３.

矢径比不变ꎬ

球铰半径－２.９９６９变化

段受力性能研究[Ｊ].中南公路工程ꎬ２００６ꎬ３１

[３]　高　涛.转体桥施工监控及安全性分析[Ｄ].北京:[４]　程　飞ꎬ张琪峰ꎬ王景全.我国桥梁转体施工技术北京交通大学ꎬ２０１２.

表６　非线性拟合统计结果

有限元理论计算有限元模拟其余

参数变化

的发展现状与前景[Ｊ].铁道标准设计ꎬ２０１１ꎬ

情况

拟合变化拟合变化结果与理论计误差

加速度加速度算最大误差/％矢高不变ꎬ

％

球铰半径变化

１.１９３８

１.４７８

１０.６

<９

４　结　论

应力表面分布符合非赫兹接触理论(１)从有限元计算结果可以看出ꎬ应力分布曲ꎬ球铰接触

线规律呈现Ｍ形ꎬ即球铰圆心及边缘处应力相较于球铰水平半径中间部位低ꎮ

矢高变化呈明显线性关系(２)球铰水平半径不变时ꎻ球铰矢径比不变时ꎬ最大接触应力与ꎬ最大接触应力与球铰半径变化呈明显的线性关系ꎻ矢高不变时ꎬ最大接触应力与球铰半径变化呈弱非线性关系ꎮ其中球铰矢高变化系数最大ꎬ其影响敏感性最大ꎮ

拟最大接触应力值与理论解最大接触应力值接(３)在分析球铰半径变化时ꎬ有限元数值模

近ꎬ误差最大值为１２％ꎮ

[５]　车晓军(６):６７￣７０.

覆性能ꎬ[Ｊ].张谢东中国公路学报.大吨位Ｔꎬ形刚构桥转体过程抗倾２０１４ꎬ２７(８):６６￣７２.[６]　周体设计　勇ꎬ、施工关键技术许志刚ꎬ王宏伟[Ｊ]..大跨度连续梁球铰法转

公路交通科技(应用技术版)ꎬ２０１０ꎬ(４):１１８￣１２２.

[７]　车晓军构转体桥不平衡力矩预估ꎬ张谢东ꎬ朱海清.[Ｊ].基于球铰应力差法的桥梁建设ꎬ２０１４ꎬ４４Ｔ

[８]　(４):左算方法研究　敏５７￣６１.

ꎬ江克斌[Ｊ]..转体桥平转球铰转体过程应力计铁道标准设计ꎬ２０１５ꎬ５９(１２):

[９]　范剑锋３６￣３９.

论下转体桥球铰磨心应力分布分析ꎬ刘　涛ꎬ彭自强ꎬ等.基于非赫兹接触理

[Ｊ].武汉理工大学学报ꎬ２０１８ꎬ４０(１):４８￣５２.

[１０]傅贤超与球铰的对比分析ꎬ唐　英ꎬ曹[Ｊ].　文铁道建筑.桥梁转体施工中平面铰ꎬ２０１６ꎬ(４):３５￣

[１１]Ｌｉｕ３７.ｓｅｓｔｕｒｅ[Ｊ].ｏｆＳꎬｄｏｕｂｌｅＣｈｅｎＷｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇＷ.Ｔｗｏ￣ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃｏｎｔａｃｔｓｗｉｔｈｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｆｆｅｃｔｏｆａｎａｌｙ￣

ｃｕｒｖａ￣２０１２ꎬ４９:Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ１３６５￣１３７４.

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｌｉｄｓａｎｄＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓꎬ