2021年中考复习数学《新定义问题》专项检测(含答案)

1. 定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[－3.6]＝－4.对于任意实数x，下列式子中错误的是( )

A. [x]＝x(x为整数) B. 0≤x－[x]<1 C. [x＋y]≤[x]＋[y] D. [n＋x]＝n＋[x](n为整数)

2.对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如：max{2，4}＝4.按照这个规定，方程max{x，－x}2x＋1

＝x的解为( )

A. 1－2 B. 2－2 C. 1－2或1＋2 D. 1＋2或－1

3.定义运算：a⊗b＝a(1－b)．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2(－2)＝6；②ab＝ba；③(aa)＋(bb)＝2ab；④若ab＝0，则a＝0或b＝1.其中结论正确的序号是( )

A. ①④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②④

4. 对于实数m，n，定义一种运算“※”：m※n＝m2－mn－3.下列说法错误的是( )

A. 0※1＝－3

B. 方程x※2＝0的根为x1＝－1，x2＝3

1※t＜0

C. 不等式组无解

（－3）※t＜0

D. 函数y＝x※(－2)的顶点坐标是(1，－4)

5. 用“♥”定义一种新运算．对于任意实数m，n和抛物线y＝ax2，

当y＝ax2♥(m，n)后都可以得到y＝a(x－m)2＋n.当y＝2x2♥(3，4)后都可以得到y＝2(x－3)2＋4.函数y＝x2♥(1，n)得到的函数如图所示，n＝

________． 第5题图

a b

，我们称之为二阶行列式．规6. 4个数a，b，c，d排列成

c dx＋3 x－3a b＝ad－bc，若定它的运算法则为：＝12，则c dx－3 x＋3

x＝________．

7. 新定义[a，b]为一次函数y＝ax＋b(其中a≠0，且a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[3，m＋2]所对应的一次函数是正比例函数，11

则关于x的方程＋＝1的解为________．

x－1m8. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为x

，即当n为非负

11

整数时，若n－2≤x给出下列关于x的结论： ①1.4931； ②2x2x； ③若

1x14，则实数x的取值范围是9≤x<11; 2④当x≥0，m为非负整数时，有m2013xm2013x⑤xyxy．

其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)．

；

9.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”. 以下关于倍根方程的说法，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

①方程x2－x－2＝0是倍根方程；

②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0； 2

③若点(p，q)在反比例函数y＝x的图象上，则关于x的方程px2

＋3x＋q＝0是倍根方程；

④若方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一5个根为4. 10.在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)，给出如下定

y（x≥0）

义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”．

－y（x<0）

例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3)．

(1)若点(－1，－2)是一次函数y＝x＋3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为________．

(2)若点P在函数y＝－x2＋16(－5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是－16≤y′≤16，则实数a的取值范围是________．

【答案】

专题四 新定义问题

1. C 【解析】对于A选项，取x＝2，[2]＝2，成立；对于B选项，取x＝3.5，3.5－[3.5]＝3.5－3＝0.5<1，成立；对于C选项，x＝2.5，y＝3.5，则[x＋y]＝[6]＝6，[x]＋[y]＝2＋3＝5，6＞5，故选项C错误；对于D选项，n＝2，x＝3.5, [2＋3.5]＝[5.5]＝5，2＋[3.5]＝2＋3＝5，成立．故答案选择C.

2. D 【解析】分类讨论：(1)当x＞－x，即x＞0时，max{x，－x}

2x＋1

＝x，即x＝x，∴x2－2x－1＝0，解得x1＝1－2＜0(舍去)，x2

2x＋1

＝1＋2；(2)当x＜－x，即x＜0时，max{x，－x}＝－x，即－x＝x，∴x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1＜0，符合题意．综上所述，符合题意的方程的解是1＋2或－1. 3. A 【解析】 序号 逐项分析 正误 ① 2(－2)＝2×(1＋2)＝6 √ ② ab＝a(1－b)，ba＝b(1－a)，故ab不一定等于ba × aa＝a(1－a)，bb＝b(1－b)，则(aa)＋(bb)＝a－③ × a2＋b－b2＝a＋b－a2－b2≠2ab ④ ab＝a(1－b)，即a(1－b)＝0，则a＝0或b＝1 √ 4. D 【解析】A. 0※1＝02－0×1－3＝－3，正确，故本选项不符合题意；B. 方程x※2＝0即为x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，正

1※t＜0

确，故本选项不符合题意；C.不等式组即为

（－3）※t＜01－t－3＜0t＞－2

，即无解，正确，故本选项不符合题意；D. 函9＋3t－3＜0t＜－2

数y＝x※(－2)即为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，顶点坐标为(－1，－4)，错误，故本选项符合题意．

5. 2 【解析】根据题意得y＝x2♥(1，n)是函数y＝(x－1)2＋n；由图

象得此函数的顶点坐标为(1，2)，∴此函数的解析式为y＝(x－1)2＋2.∴n＝2.

x＋3 x－3

2

6. 1 【解析】根据新定义规定的算法：＝12，即(x＋3)x－3 x＋3



－(x－3)2＝12，整理得12x＝12，解得x＝1.

5

7. x＝3 【解析】根据“关联数”[3，m＋2]所对应的一次函数是正比例函数，得到y＝3x＋m＋2为正比例函数，即m＋2＝0，解得m

11

＝－2，则分式方程为－2＝1，去分母得：2－(x－1)＝2(x－1)，

x－1

55

去括号得：2－x＋1＝2x－2，解得x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．

8. ①③④ 【解析】

序号 ① ② 逐项分析 正误 〈1.493〉＝1四舍五入取整数部分为1 √ 反例：x＝1.6时，〈2x〉＝〈2×1.6 〉＝〈3.2〉＝3；2〈x〉＝2× 〈1.6〉＝2×2＝4 111利用信息中的“若n－2≤x＜n＋2，则〈x〉＝n”由〈2x－1〉＝4，√ 1得3.5≤2x－1＜4.5，解得：9≤x＜11 m为非负整数时，〈m＋N〉＝〈m〉＋〈N〉(N为任意非负数) √ 反例：x＝1.7，y＝3.6时，〈x＋y〉＝〈1.7＋3.6〉＝〈5.3〉＝5；× 〈x〉＋〈y〉＝〈1.7〉＋〈3.6〉＝2＋4＝6 ③ ④ ⑤

9. ②③ 【解析】 序号 逐项分析 方程x2－x－2＝0的两个根是x1＝2，x2＝－1，x1≠2x2，① 不满足题意 n2n方程的两个根是x1＝2，x2＝－m，则2＝－m，得n＝－n② m；或者－m＝4，得n＝－4m，将以上两式代入4m2＋5mn＋n2＝0，满足题意 22∵点(p，q)在函数y＝x的图象上，∴q＝p，将其代入px2③ ＋3x＋q＝0，整理，得2x2＋3qx＋q2＝0，解得x1＝－q，qx2＝－2，∴x1＝2x2，满足题意 1＋t＋4－t＝2x1＋x22.5，设两个根为x1，x2，根据题意，得x1＝2x2或2x1＝x2，2510105＝2.5，解得x1＝3，x2＝3或x1＝3，x2＝3，不满足题意 根据抛物线经过点M，N，则该抛物线的对称轴为x＝正误 × √ √ ④ × 10. (－1，2)；－5≤a≤42 【解析】(1)根据“可控变点”定义知它们的横坐标不变，∴M点的横坐标为－1.当横坐标为负数时，它们的纵坐标互为相反数．∴M(－1，2)；(2)当P点的横坐标为负数时，其纵坐标的取值范围是－9≤y<16，则其“可控变点”的纵坐标为－16