练习七 构造法之胡不归问题

有一则历史故事:说的是一个身在A地的小伙子得知在B地的父亲病危的消息后,便日夜赶路回家。由于思念心切，他选择了全是砂砾地带的直线路径AB,而放弃了走一段驿道的AC先走一段的想法，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时,老人刚刚咽气了。邻居告诉他,在弥留之际,老人在不断喃喃叨念:“胡不归?胡不归?……”，并用很可惜的问道：“你为什么不先沿驿道走一段呢？”这就是“胡不归问题”。

由上述传说，引发了人们的思索，小伙子到底要怎么走，才能提前到家。在此，我们可以把这个问题转化成数学问题。不妨假设在驿道上行走的速度（V1）是砂砾地带行走速度(V2)的两倍,即，V1＝2 V2。

如图，设直接从A到B的时间t1，

从A 走到 C然后走 B的时间为t2 ,则t1AB， V1t2ACV2BCV1AC2V1BCV11AC(BC) V12AC联想到直角三角形中，30所对的直角

22边是斜边的一半，于是作DAD'=30°，然后构造直角三角形△ACE。

∵

当

ACBC最小时,t2最小。由

1ACACCE，∴BCCEBC ∴t2（CEBC), 22V1∴当E、B、C三点共线且BE垂直AD'时，显然t1t2，此时所用时间最少。 如果V1＝

nn V2 ,则只须构造sin∠DAD/=,其它的就完全相同了。 mm“胡不归问题”模型归纳：如图，P是直线AD上的动点(点A是定点)，点B是直线AD外的一个定点，求PBnnPA的形式（＜1）的最小值。 mmnnPA（＜1）形式； mm解题步骤：第一步，将所求的线段和改写成PBn； m第三步，过点B作第二步所构成的角一边的垂线，该垂线段的长度就是所求最小值；第四步，计算。 例1.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，求AP+BP+CP的最小值。

例2.已知A（0，3），C（3，0），D（2，0）。设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从

第二步，在AD的一侧，与AB的异侧，构造一个角，使得sin=

点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

例3.已知A（-3,0）、B（1,0），两点，经过点A的直线AD：y3xb，点D的横坐标为2。（1）求b的值及点D的坐标；

（2）设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒

12个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒3个单3位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？

例4.（2017广州中考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED． （1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）连接AE，若AB=6cm，BC5cm．

①求sin∠EAD的值； ②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间。

练习1.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,ABC=150°,则PA+PB+PD的最小值为 。

2.如图，ABC在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，22），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，求点D的坐标.

3.在ABC中，C90，A30，BC2，点P是ABC内的一点，求2PAPBPC的最小值.