第3章习题答案

x(n)rx(n7r)

求X(k)，并作图表示x(n)，X(k)。（于2 89 2.1）

解：X(k)%(n)exn0N1j2knNen00j2kn7e01

x(n)-707n

3.2求下列序列的傅里叶变换，并分别给出其幅频特性和相频特性。 （1）x1(n)(nn0) （2）x2(n)3() n3 （3）x3(n)au(n)u(nN)

n13n（4）x4(n)anu(n2) a1 解：（1）对x1(n)，有

X1(e)j幅频响应为X(e)ejn0jn(nn)e0jnejn0

1，想频响应为()n0

（2）对x2(n)，有

3

X2(e)j1njn 3()e3n33其中

n33ejn36cos6cos26cos3

1111()nejn1ej3ejej29ej2ej327ej3

3927n33将上述两项相加即得X2(ej)

（3）对x3(n)an[u(n)u(nN)]，有

3X3(e)aejn0njnaenNnjnaen0N1njn1aNejN 1aej幅频特性为

1aNejN1a2N2aNcosNX3(e)

21aej1a2acosj相频特性为

aNsin(N)asin()()arctan()arctan() j1ae1acos()

（4）对x4(n)au(n2),a1，有

nX4(ej)幅频特性为

nau(n2)ejnnn2aa2nejnae2j 1aej2X(e)相频特性为

ja2e2jj21ae

1a2acos()2arctan(asin()1acos())

3.3 已知以下X(k)，求IDFT[X(k)]

NjNe k=m 0m 22Nje k=Nm 1. X(k)= 2 0 其他k

NjN e k=m 0m

22Nje k=Nm 2. X(k)= 2 0 其他k

解：

nmn(Nm)1N11Njj2NNjj2Nkn(1)x(n)IDFT(X(k))X(k)WN[eeee]Nk0N221[e22j(nm)Ne2j(nm)N]cos(2nm)N

n0,1,,N12mn)j(mn)1NjmnNj(Nm)n1j(2N(2)x(n)[jeWNjeWN][eeN]N222j

2sin(mn)n0,1,,N1N3.4 证明DFT的对称原理，即假设：（西电 94 4）

X(k)DFT[x(n)]

证明：DFT[x(n)]Nx(Nk)。 证：因为X(k)x(n)Wn0N1knN，所以

DFTX(n)X(n)WN1knNX(n)Wn0N1knNn(mk)x(m)WNm0n0N1N1kmknx(m)WNWNn0m0

N1由于

Nn(mk)WNn00N1mNk

mNk,0mN1k0,1,,N1

所以DFT[x(n)]Nx(Nk)3.5 证明：若x(n)实偶对称，即x(n)x(Nn)，则X(k)也实偶对称，若x(n)实奇对称，

即x(n)x(Nn)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。（西电 94 7） 证：(1)由教材可知，如果将

x(n)表示为x(n)xrn(jx)in，(则

X(k)DF[T(x)en]pX(op，其中

k)XXepk(k)DFT[xr(n)]，是X(k)的共轭对称

分量；Xop(k)DFT[jxi(n)]，是X(k)的共轭反对称分量。所以，如果x(n)如果为实序列，则Xop(k)DFT[jxi(n)]0，故X(k)DFT[x(n)]Xep(k),即X(k)=X(Nk) (2) 由DFT的共轭对称性可知，如果x(n)xep(n)xop(n)，则

*X(k)Re[X(k)]jIm[X(k)]，则Re[X(k)]DFT[xep(n)],jIm[X(k)]DFT[xop(n)]所以当x(n)x(Nn)时，等价于上式中 xop(n)0，所以X(k)x(n)中只有xep(n)成分，只有实部，即X(k)为实函数。又由(1)证明结果知道，实序列的DFT必然为共轭函数，即

X(k)=X*(Nk)X(Nk)，所以X(k)为实偶对称。同理当x(n)x(Nn)时，等

价于x(n)只有xop(n)成分(即xep(n)0)，故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(Nk)X(Nk)为纯虚奇函数。 3.6 证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)DFT[x(n)]，则：

1N1|x(n)||X(k)|2 Nk0n02N1证：

1N12|X(k)|Nk0N11*X(k)X(k)Nk0*N1N1knX(k)x(n)WNk0k0knNN1*1x(n)Nk0N1k0*N1X(k)Wk0N1n0N1x(n)x(n)|x(n)|23.7 已知f(n)x(n)jy(n)，x(n)与y(n)均为N长实序列。设

F(k)DFT[f(n)]， 0kN1

1aN1bN 1. F(k) jkk1aWN1bWN 2. F(k)1jN

试求X(k)DFT[x(n)] ，Y(k)DFT[y(n)]以及x(n)和y(n)。 解：由DFT的共轭对称性可知

x(n)X(k)Fep(k)jy(n)jY(k)Fop(k)

1aN1bN1. 令A(k)，只要证明,B(k)jkk1aWN1bWNA(k)Fep(k)X(k),B(k)Fop(k)jY(k),因为

1aN1aN*A(k)，共轭对称 A(Nk)Nkk1aW1aWNN1bN1bN*jB(k),共轭反对称 B(Nk)jNkk1bWN1bWN**1aN所以，X(k)Fep(k)A(k) k1aWN111bN Y(k)Fopk ()Bk()kjj1bWN2.

1x(n)N1N由于1NN1k0X(k)Wk0N1N1knN1N1aNknWNkko1aWNN1N1mkmknN1m1aWNWNaNkom0m01=0mnmnWk0N1k(mn)N0nN1Wk(mn)N,0m,nN1所以x(n)an同理y(n)bn0nN10nN1x(n)cos(2n)RN(n) N2y(n)sin(n)RN(n)

N

3.8已知两个有限长序列：

用直接卷积法和DFT变换两种方法分别求解f(n)x(n)y(n)。 解：（1）直接卷积法：f(n)x(n)y(n)

221N122sin(m)cos((nm))[sin((mnm))sin((mnm))]

NN2m0NNm0N12(2mn)j(2mn)1N121N12N21N1j2Nsin(n)sin((2mn)sin(n)[eeN] 2m0N2m0N2N4jm0N2sin(n)RN(n) 2NN1（2）DFT变换法：因为

22njnjkn21N1j2NknX(k)cos(n)RN(n)WN[eeN]eNN2n0n0N1j2(1k)n(1k)n1N1j2NN[eeN][(k1)(kN1)] 2n02n022njnjkn21N1j2NknY(k)sin(n)RN(n)WN[eeN]eNN2jn0n0N1N1j2(1k)n(1k)n1N1j2NN[eeN][(k1)(kN1)] 2jn02jn0所以：

N2F(k)X(k)Y(k)[(k1)(kN1)]

4j1N1Nknn(N1)nf(n)IDFT[F(k)]F(k)WN[WNWN]

Nn04j2nj(N1)nNj2NN2[eeN]sin()RN(n) 4j2N3.9已知x(n)RN(n)

（1）求DFT[x(n)]并画出零极点分布图；

jwX(e) 并画出其幅度和相位图； （2）求频谱

（3）求DFT[x(n)]X(k),并画出其幅度和相位图，且与

N1j2knNn0X(ejw)对照。

解：(1) X(k)DFT[x(n)]e1ej2kNN2kN1ej

因为 X(z)zn0N1n1zN，所以得极点为z1。 11zjw（2）

X(k)X(e)w2kNX(e)

jwnejwnej(N1)w/2sin(wN/2)

sin(w/2)幅频响应为：

X(ejw)jwsin(wN/2)sin(w/2)N1warg[sin(wN/2)/sin(w/2)] 相频响应为：arg[X(e)]2（3）X(k)DFT[x(n)]en0N1j2knN1ej2kNN2kN1ej

X(k)与X(ejw)的关系为：X(k)X(ejw)w2kN

X(k)DFT[x(n)]，3.10知x(n)是长度为N的有限长序列。现将x(n)的每二点之间补进r1个零值，得到一个长度为rN的有限长序列y(n)

x(n/r) n=ir, i=0,1,2,3,……,N-1 y(n)=

0 其他n

求：DFT[y(n)]与X(k)的关系。（于2 91 2.13）

解：由于 X(k)DFT[x(n)]rN1x(n)Wn0nkrNN1nkN,0kN

可得 Y(k)DFT[y(n)]N1i0y(n)Wn0irk x(ir/r)WrNi0N1ikx(i)WN,0krN1

所以 Y(k)X((k))NRrN(k)

Y(k)是将X(k)（周期为N）延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。

3.11设x(n)是一个8点的有限长序列，y(n)是一个20点的有限长序列。现将每一序列作20

点DFT，然后再乘，再计算IDFT，令r(n)表示它的离散傅立叶反变换，即：

r(n)IDFT[X(k)Y(。指出k)]r(n)中的那些点相当于x(n)与y(n)的线性卷积中的点。（于

2 94 2-23 ）

解：利用循环卷积的公式：两个宽度为N的有限长序列x1(n)和x2(n)，其离散傅里叶变换为X1(k)和X2(k)，可以求得另外一个序列x3(n)，使其离散傅里叶变换的系数为

X1(k)X2(k)，则x3(n)的表达式为

x3(n)[x1((m))Nx2((nm))N]RN(n)

m0N1所以，我们利用上式可知循环卷积

r(n)[x((m))20y((nm))20]R20(n)

m0201 而x(n)和y(n)的线性卷积为

x(n)y(n)x(m)y(nm)

m0n

其中，0n27（因为20+8-1=27）时有值，其他时为0。

由于线性卷积在n0,1,2,L,27时有值，而循环卷积在n0,1,2,L19时有值，所以

2,我们以n0,1,L1一考虑r(n)和x(n)y(n)异同处，可以得出：对于逐

n0,1,2,3,4,5,6,两者是不同的，而从n=7开始到n=19,两者是相同的。

3.12.设信号x(n){1,2,3,4}，通过系统h(n){4,3,2,1},n0,1,2,3, （1）求系统的输出y(n)x(n)h(n)； （2）试用循环卷积计算y(n)；

（3）简述通过DFT来计算y(n)的思路。 解：（1）由题可知：x(n)(n)2(n1)3(n2)4(n3)

h(n)4(n)3(n1)2(n2)(n)

y(n)x(n)h(n)x(m)h(nm)x(n)[4(n)3(n1)2(n2)(n)]m034x(n)3x(n1)2x(n2)x(n3)

4(n)11(n1)20(n2)30(n3)20(n4)11(n5)4(n6)

（2）按照循环卷积的方法：已知x(n)与h(n)的长度分别为N=4，M=4，则y(n)的长度应为LNM17,不足补零，则x(n){1,2,3,4,0,0,0}，h(n){4,3,2,1,0,0,0}， 卷积得：y(n)x(n)h(n)={4,11,20,30,20,11,4} （3）用DFT计算y(n)的思路：

①分别算出x(n)、h(n)的DFT变换X(k)、H(k)； ②再计算出Y(k)X(k)H(k)；

③由循环卷积定理得X(k)H(k)x(n)h(n)； ④对Y(k)求DFT反变换得y(n)。