概率与统计初步(含习题训练)

第九章 概率与统计初步

一、计数原理

1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„„在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情，共有：Nm1m2mn种不同的方法； 2、 （分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„„做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情，共有：Nm1m2mn种不同的方法；

3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步”主要看能否一步做完，能够一步做完的就是分类（用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）；

二、排列与组合

1、 排列数公式：从n个不同的元素中取出mmn个不同元素的所有排列的个数，

叫做从n个不同的元素中取出m个不同元素的排列数，用符号An表示，且：

Annn1n2nm1,mnmm

2、 n的阶乘：自然数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作：n!，且：

n !  n  n  1  n  2  2  1 0 ！ 1, 规定：

n!m易知排列数公式也可写为：An

nm!

3、 组合数公式：从n个不同的元素中取出mmn个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cn表示，且：

CmnmAnmm!nn1n2nm1mm1m221,mn,规定：Cn10组合数公式也可写为： Cmn

n!m!nm!mnm4、 组合数的两个性质：1CnCn2Cn1CmnmnCm1n

5、 排列与组合的区别：排列与顺序有关；组合与顺序无关。

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三、概率

1、 基本概念

（1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象；

（2） 随机试验的特征：可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以

明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果

会发生；

（3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C表示；

（4） 必然事件：在一次随机试验中必然要发生的事件，用表示（读作“omiga”，

）； 对应的小写希腊字母是“ω”（5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用表示（读作“fai”）； （6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：最简单的随机事件； （7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件；

2、 频数与频率

（1） 频数：在n次重复试验中，事件A发生了m次0mn，m叫做事件A发

生的频数；

（2） 频率：在n次重复试验中，事件A发生的频数在试验总次数中所占的比例叫做事件A发生的频率； 3、 概率

（1） 一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：； （2） 概率的性质：

i. 对于必然事件：P1 ii. 对于不可能事件：P0 iii. 0PA1 4、 古典概型

（1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生

的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型；

（2） 概率：设试验共有n个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，

事件A包含m个基本事件，那么事件发生的概率为：

PAA包含的基本事件基本事件总数mnmn，

（3） 事件的“交”：“AB”表示A、B同时发生，记作：AB； （4） 事件的“并”：“AB”表示A、B中至少有一个会发生，又称为事件A与事

件B的和事件；

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（5） 事件的“否”：A表示事件A的对立事件；（A读作a bar，“A拔”）

（6） 互为对立的事件：若事件A是事件B的对立面，且AB,AB;（对

立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件A与B有且仅有一个发生） （7） 互斥事件（互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：AB；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件）

（8） 相互独立事件：在随机试验中，如果事件A的发生不会影响事件B发生的可能

性的大小，即在事件A发生的情况下，事件B发生的概率等于事件B原来的概率，那么称事件A与事件B相互独立；(事件A发生与否，不影响事件B的概率) （9） 若A、B是互斥事件，则：PABPAPB

（10） 若A、B是对立事件，则：1PAPB，即：PA1PA （11） 若A、B不是互斥事件，则：PABPAPBPAB （12） 若A、B是相互独立事件，则：PABPABPAPB

四、总体、样本与抽样方法

例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量； 1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体；

2、 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；

3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；

4、 样本容量：样本所含个体的数目；例1中“100”是样本容量； 5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；

6、 说明：当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；

五、用样本估计总体

1、 样本均值：x21nx11x2xn x2、 样本方差：Sxn11x22x2xnx

23、 样本标准差：Sxxxn212x2xnx

24、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；

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5、 作频率分布直方图的方法：①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。 注：频数是指各组内数据的个数；每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率；

例：作出表格1中数据的频率分布直方图（本例题引用来自百度搜索）

表格 1

分 组（组距=3） [150.5，153.5） [153.5，156.5） [156.5, 159.5) [159.5, 162.5) [162.5, 165.5) [165.5, 168.5) [168.5, 171.5) [171.5, 174.5) [174.5, 177.5) [177.5, 180.5) 合 计

频 数 4 8 8 11 22 19 14 7 4 3 100 频 率 0.04 0.08 0.08 0.11 0.22 0.19 0.14 0.07 0.04 0.03 1 频率/组距 0.013 0.026 0.026 0.036 0.073 0.063 0.046 0.023 0.013 0.01 如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到

一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图

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六、章节习题

§9.1 计数原理

(1) 某人到S城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅

社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下9间单人房、2间双人房，则现在住宿有 种不同的选择； (2) 一家人到S城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订

一间单人房和一间双人房，有

种不同的选择；

(3) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法；

(4) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的

投递方法共有

种；

种不同的投递的方法；

(5) 3封不同的信，要投到4个不同的信箱中，共有 (6) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本

阅读，不同的选法有

种；

(7) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有 种； (8) 由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有

个； 个；

(9) 由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有 §9.2 排列组合

(10) 7人站成一排，一共有 种不同的排法；

种不同的排法；

种不同的选法；

(11) 7人中选出3人排成一排，一共有

(12) 7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有 (13) 5人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有 种不同的排法； 种不同的排法；

(14) 8人排成一排，其中A、B两人必须排在一起，一共有 (15) 8人排成一排，其中A、B、C三人不在排头并且要互相隔开，一共有

种不同的排法； (16) 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至少有一件次品的取法共有 (17) 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至多有一件次品的取法共有

种； 种；

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(18) 集合1,2,3,4,5,6,7,8，每次取五个元素，按由小到大顺序排列，共有 不同的排列（取法）；

(19) 10位乒乓球选手举行单打单循环比赛，一共需要举行

种

场比赛；

(20) 学生要从六门课中选学两门：①如果有两门课时间冲突，不能同时学，有 种选法；②如果有两门特别的课，至少选学其中的一门，有 种选法； (21) 一个口袋内有6个小球，另一个口袋内有5个小球，所有这些小球的颜色互不相同，

现从两个口袋各取出一个小球，有 §9.3 概率

(22) 表示必然事件，P

；表示不可能事件，P

；

种不同的取法；

(23) 一道选择题共有4个答案，其中只有一个是正确的，有位同学随意的选了一个答案，那么它选对的概率是 ； (24) 掷一颗骰子，第一次得到6点，那么他第二次掷这颗骰子得到6点的概率（ ）

A. 大于

16 B. 等于

16 C. 等于

12 D. 等于

136

(25) 甲掷两次骰子，每次掷一颗骰子，两次都得到6点的概率为（ ）

A. 大于

16 B. 等于

16 C. 等于

12 D. 等于

136

(26) 在10件产品中有2件次品，从中任取2件都是合格品的概率是

(27) 有一批蚕豆种子，如果每一粒种子发芽的概率均为0.8，那么播下3粒种子恰好3粒种子都发芽的概率是 （ ）

A. 0.80.80.8

B.0.8

3C. 0.8 D. 0.5

(28) 抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”,

已知PAPB16，则事件“出现1点或2点”的概率为

(29) 做某个随机试验，所有的基本事件构成的集合可用1,2,3,4,5,6,7,8表示，设

事件A1,3,5，事件B4,5,6,7，则PA PAB

，PB

，

，PA

，P

，PAB

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(30) 有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是

12，乙能解决它的概率是

13，如

果两人试图独立在半小时内解决它，①两人都未解决的概率是 得到解决的概率是 ；②问题

(31) 甲、乙、丙三人在相同条件下射击，他们击中靶心的概率分别是：甲为0.5，乙为

0.7，丙为0.6，求三人同时各射击一次，没人击中靶心的概率是多少？

(32) 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、

0.25、0.28，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率是： §9.4 总体、样本与抽样方法

(33) 在统计中，所研究对象的全体叫做 被抽取出来的个体的集合叫做

，组成总体的每个对象叫做 ，样本所含个体的数目叫做

，

(34) 为了了解所购买的一批商品的质量，抽测了其中225个商品，在这个问题中，225

个商品的质量是（ ） A.个体 B.总体 C.样本 D.样本容量

(35) 要了解某种电子产品的质量，从中抽取450个产品进行检验，在这个问题中，450

叫做（ ） A.个体 B.总体 C.样本 D.样本容量

(36) 为了了解全年级523名同学的视力情况，从中抽取90名同学进行测量，在这个问

题中，总体是指 ，个体是指 ，

样本是指 ；样本容量是

(37) 要完成以下两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95

户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况；应采用的抽样方法是： A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法 B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法 C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法 D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 (38) 无论是简单随机抽样还是系统抽样，抽样过程中每个个体被抽取的 (39) 抽签法、随机数法都是 抽样；

相等；

(40) 当总体的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规

则，从每个部分抽取一定数目的样本，得到所需要的样本，这种抽样叫做 (41) 当总体由差异明显的几个部分组成时，一般采用 抽样； (42) 某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200人和1300人，现

采用按年级分层的抽样方法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查中，高二年级共抽查了 人，三个年级全部抽查了 人；

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§9.5 用样本估计总体

(43) 数据90、87、91、92、90的平均值是 ，方差是 ，标准差是

(44) 在频率分布直方图中，小矩形的面积表示 (45) 画频率分布直方图，根据频率分布表，在直角坐标系中横坐标表示数据的取值，纵

坐标表示

(46) 在对n个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和与频率之和分别等于（ ）

A. n，n

B. n，1

C. n，100

D. 1 ，1

(47) 甲、乙两个总体各抽取一个样本，测得甲样本的数据为：10、9、5、8、7、15，乙

样本的数据为：9，7，8，12，14，4，计算甲、乙样本的均值和样本方差，说明哪一个样本的数据波动更小一些。（精确到小数点后两位）

(48) 设一组数据的方差是S2，将这组数据的每个数据都乘以10，所得到的一组新数据

的方差是

(49) 将一个容量为m的样本分成八个组，已知第三组的频数和频率分别为12和0.08，则m

(50) 一个容量为40的样本数据，分组后组距与频率如下：

 10,2020,4；,3030,6；,4040,8；

,5050,10；

,6060,8；

,70,4；则样本在区间10,50上的频率是：

(51) 请将以下频率分布表中空白的单元格内容填写完整：

分 组（组距=4） [0，4） [4，8） [8, 12) [12, 16) [20, 24) [24, 30) 合 计 频 数 6 12 24 34 20 4 100 频 率 0.06 0.12 频率/组距 0.015 0.03 根据上表画出频率分布直方图 第 8 页 共 8 页