一、选择題（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．
1．若式子
A．a＞3 2．若
A．b＞4
在实数范围内有意义，则
B．a≥3
＝4﹣b，则b满足的条件是（
B．b＜4
a的取值范围是（
C．a＜3 ）C．b≥4
）
）
D．a≤3
D．b≤4
3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（
A．2，3，4 4．在平行四边形
A．60°
5．下列计算正确的是（
A．
B．B．1，1，
C．
D．5，12，13 ）
D．30°
ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（
B．90°
）
C．C．120°
D．
3米处，木杆折断之前
6．如图，一竖直的木杆在离地面
的高度为（
）
4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端
A．7米B．8米C．9米D．12米
）
7．如图，?ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（
A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）
8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（
）
1
A．3 B．C．D．
的平行四边形．在
1×3的正方
12
9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为
形网格中最多作
2个，在1×4的正方形网格中最多作
）
6个，在1×5的正方形网格中最多作
个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（
A．28个10．如图，正方形
B．42个C．21个D．56个
、CD于E、F两点（BEEF过点O分别交AB
中，点O为对角线的交点，直线ABCD
＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分別交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线
GH（不同于直线EF）的条数共有（）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
二、填空题（每小题
11．16的平方根是12．计算：
÷
3分，共18分
．＝
．6，则面积为
．
．
13．已知等边三角形的边长为14．如图，菱形
ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为
15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），
将矩形沿对角线
AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标．
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．
2
三、解答题（共8小題，共72分）
17．（8分）计算：①；
②
．
18．（8分）计算：①②
19．（8分）一根直立于水中的芦节（
BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端
到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（
AB）为多少米？
20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点CD．求证：四边形ABCD是菱形．
21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段
BP的最小值为．
3
D恰好
，连接
D22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形
是平行四边形；DEFG
，求证：∠MOF＝∠EFO．
（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：
23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠（1）求a、b的值；
（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；
DAC＝135°，且b＝+5．
（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量
关系．
222
m、n、h之间满足的数量
24．（12分）在正方形
⊥BC的延长线于点
ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，G．
AE⊥EF，且AE＝EF，FG
（1）如图1，求证：BE＝FG；
（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形
证明；
（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，
若BC＝
+1，求线段PQ的长．
EGFH的形状，并给出
4
5
2019-2020学年湖北省武汉市硚口区八年级
卷
参考答案与试题解析
（下）期中数学试
一、选择題（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．
1．若式子
在实数范围内有意义，则
a的取值范围是（
）
A．a＞3
B．a≥3
C．a＜3
D．a≤3
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，
解得a≥3．故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．若
＝4﹣b，则b满足的条件是（
）A．b＞4
B．b＜4
C．b≥4
D．b≤4
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可．【解答】解：∵＝4﹣b，
∴4﹣b≥0，解得，b≤4，故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．
3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（
）
A．2，3，4
B．1，1，
C．
D．5，12，13 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵22
+32
＝13≠42
，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；
B、∵12+12
＝（）2
，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C、∵（
）2
+（
）2
＝（
）2
，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；
D、∵52
+122
＝132
，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长
a，b，c满足a2+b2＝c2
，那么这
个三角形就是直角三角形．
6
4．在平行四边形
A．60°
ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（
B．90°
C．120°
）
D．30°
【分析】根据平行四边形邻角互补的性质即可求解．【解答】解：∵在平行四边形
中，∠A＝60°，ABCD
∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点．5．下列计算正确的是（
A．
B．
）
C．
D．
【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算可得．【解答】解：A、
与
不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、4C、
﹣3×
＝
2
＝3，此选项错误；
，此选项正确；
D、（3
故选：C．
）＝18，此选项错误；
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混
合运算顺序及其法则．6．如图，一竖直的木杆在离地面
的高度为（
）
4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端
3米处，木杆折断之前
A．7米B．8米C．9米D．12米
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这
棵树折断之前的高度．
【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面∴折断的部分长为∴折断前高度为故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．7．如图，?ABCD的顶点坐标分别为
＝5（米），
5+4＝9（米）．
4米处折断，頂端落在地面离木杆底端
3米处，
A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）
7
A．（5，5）【分析】由四边形
B．（5，6）是平行四边形，可得ABCD
是平行四边形，ABCD
C．（6，6）D．（5，4）
∥CD，AB＝CD，继而求得答案．AB
【解答】解：∵四边形∴AB∥CD，AB＝CD，
∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），∴AB＝3，
∴点D的坐标为（5，5）．故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对边平行且相等．8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则
PA+PB的最小值为（）
A．3 【分析】作点
B．C．D．
A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据勾股
定理求出BA′即可；【解答】解：作点
A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．
PA+PB的最小值＝BA′＝
故选：B．
＝3，
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标用图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解
决最短问题，属于中考常考题型．
9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为
的平行四边形．在
1×3的正方
8
形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作
）
6个，在1×5的正方形网格中最多作12
个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（
A．28个B．42个C．21个D．56个
2×（1+2+3+…+n﹣2）个，据此可得．
【分析】根据已知图形的出在【解答】解：∵在
1×n的正方形网格中最多作
1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个，
在1×4的正方形网格中最多作在1×5的正方形网格中最多作……
∴在1×8的正方形网格中最多作故选：B．
6＝2×（1+2）个，12＝2×（1+2+3）个，
2×（1+2+3+4+5+6）＝42个，
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在
作2×（1+2+3+…+n﹣2）个．10．如图，正方形
1×n的正方形网格中最多
ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BEG、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线
＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分別交于
GH（不同于直线EF）的条数共有（）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
【分析】根据对称性以及旋转变换的性质，画出图形即可解决问题，如图所示；【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有
3条，如图所示；
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属
于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共18分
9
11．16的平方根是±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数
根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±
4）＝16，
2
a的平方根，也就是求一个数x，使得x＝a，则x就是a的平方
2
∴16的平方根是±4．故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0；负数没有平方根．12．计算：
÷
＝
3
．
0的平方根是
【分析】根据二次根式是除法法则进行计算．【解答】解：原式＝故答案是：3
．
÷
＝
（a≥0，b＞0）．
＝
＝
＝3
．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法．二次根式的除法法则：13．已知等边三角形的边长为
6，则面积为
9
．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得
已知AB、BD，根据勾股定理即可求得【解答】解：等边三角形高线即中线，故∵AB＝6，∴BD＝3，∴AD＝
＝3
，?AD＝BC
×6×3
＝CD，在直角三角形D为BC的中点，即BDABD中，
AD的长，即可求三角形D为BC中点，
ABC的面积，即可解题．
∴等边△ABC的面积＝故答案为：9
．
＝9．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定
理计算AD的值是解题的关键．14．如图，菱形
ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为2．
10
【分析】设菱形的对角线相交于
求出OB，根据勾股定理求出【解答】解：∵四边形
，根据菱形性质得出O＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，AB
OA，即可求出AC．
ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，∵菱形的周长是∴DC＝
8，
×8＝2，
∵BD＝2，∴OD＝1，
在Rt△DOC中，OC＝∴AC＝2OC＝2故答案为：2
，．
＝
，
【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相
等．
15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），
将矩形沿对角线
那么点E的坐标（0，）．AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．
【分析】先证明
题．
EA＝EC（设为x）；根据勾股定理列出x＝1+（3﹣x），求得x＝
222
，即可解决问
11
【解答】解：由题意知：∠∴∠ECA＝∠BAC，∴∠ECA＝∠DAC，
BAC＝∠DAC，AB∥OC，
∴EA＝EC（设为x）；由题意得：＝1，OC＝AB＝3；OA
由勾股定理得：x＝1+（3﹣x），解得：x＝∴OE＝3﹣
，
2
2
2
＝，
∴E点的坐标为（0，故答案为：（0，
）．
）．
【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、
判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，＝4，CD＝5，＝5BCDA
，则BD的长为
．
【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC＝AB+BC＝25，求出AC+CD＝AD，由
222222
勾股定理的逆定理得出△
ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△
CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM＝7，再由勾股定理求出
CMD，由全等三角形的性质求出BD即可．
【解答】解：作
⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：DM
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝AB+BC＝25，∴AC＝5，
2
2
2
12
∵AD＝5
2
2
，CD＝5，
2
∴AC+CD＝AD，
∴△ACD是直角三角形，∠∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中
ACD＝90°，
∴△ABC≌△CMD，
∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝故答案为：
．
＝
＝
，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角
形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△
ACD是直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（共8小題，共72分）
17．（8分）计算：①②
．
；
【分析】①先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；②根据二次根式的乘法运算法则计算可得．【解答】解：①原式＝
3
﹣4
+2
＝
；
②原式＝＝＝3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混
合运算顺序及其法则．18．（8分）计算：①②
【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可得；
13
②先化简各二次根式，再计算乘法，继而合并同类二次根式即可得．【解答】解：①原式＝
2+6+4
+3﹣6＝5+4
；
②原式＝6×＝3
﹣15
．
﹣×6
＝﹣12
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及二次根式混
合运算顺序和运算法则．
19．（8分）一根直立于水中的芦节（
）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端BD
D恰好
到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？
【分析】先设水深为x，则AB＝x，求出x的长，再由勾股定理即可得出结论．
x，则AB＝x，BC＝（x+2），
【解答】解：∵先设水深为∵AC＝6米，
在△ABC中，AB+AC＝BC，即6+x＝（x+2），解得x＝8（米）．答：水深AB为8米．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是
解决实际问题常用的方法，会数形结合的思想的应用．
20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接
．求证：四边形CD
是菱形．ABCD
关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，
画出准确的示意图．
领
222222
【分析】根据平行线的性质得出∠
ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠AB＝BC＝
BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出
，根据平行四边形的判定得出四边形AD【解答】证明：
是平行四边形，即可得出答案．ABCD
14
∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，
平行四边形的判定，菱形的判定的应用，是平行四边形是解此题的关键．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1．
（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段
BP的最小值为2 ．
【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△
ABC的周长．
（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2
＝AB2
+BC2
，得出∠ABC
＝90°．（3）过B作BP⊥AC，解答即可．【解答】解：（1）AB＝，BC＝
，AC＝△ABC的周长＝2
+
+5＝3
+5，
（2）∵AC2
＝25，AB2
＝20，BC2
＝5，∴AC2
＝AB2
+BC2
，∴∠ABC＝90°．
15
能得出四边形
，
ABCD
（3）过B作BP⊥AC，
∵△ABC的面积＝，
即
解得BP＝2，故答案为：2
，
【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形
是平行四边形；DEFG
，求证：∠MOF＝∠EFO．
（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：
【分析】（1）根据中位线定理得：
∥BC，DG＝DG，EF∥BC，EF＝BC，则DG＝BC，DE∥BC，BC
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形（2）先根据已知的比的关系设未知数：
设BE＝2x，CF＝3x，DG＝
是平行四边形；DEFG
x，根据勾股定理的逆定理得：
∠EOF＝90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得【解答】证明：（
1）∵D是AB的中点，G是AC的中点，
OM＝FM，由等边对等角可得结论．
∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，DG＝
BC，
同理得：EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC，EF＝
BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
16
∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵BE：CF：DG＝2：3：∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝∴OE＝2x，OF＝3x，
∵四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝
2
2
2
，
x，
x，
∴OE+OF＝EF，∴∠EOF＝90°，∵点M为EF的中点，∴OM＝MF，∴∠MOF＝∠EFO．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中
位线定理是解题的关键．
23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠（1）求a、b的值；
（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；
（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量
关系．
DAC＝135°，且b＝+5．
m、n、h之间满足的数量
222
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，根据勾股定理求出
理计算即可；
（3）仿照（2）的计算方法解答．
【解答】解：（1）由二次根式有意义的条件可知，∴a＝3，b＝5；
（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，则AC＝A′C，∠A′CB＝∠ACD，AD＝A′B，∴∠ACA′＝90°，∴∠AA′C＝45°，AA′＝
＝3
，
′，求出∠AA′B＝90°，根据勾股定AA
a﹣3≥0，3﹣a≥0，
17
∴∠AA′B＝90°，∴A′B＝∴AD＝A′B＝
；
＝
＝
，
（3）由（2）得，AA′＝∴m﹣2n＝h．
2
2
2
n，
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握二次根式
的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键．24．（12分）在正方形
⊥BC的延长线于点
中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，ABCD
⊥EF，且AE＝EF，FGAE
G．
（1）如图1，求证：BE＝FG；
（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形
证明；
（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，
若BC＝
+1，求线段PQ的长．
EGFH的形状，并给出
【分析】（1）欲证明BE＝FG，只要证明△ABE≌△EGF，即可解决问题；（2）四边形EGFH是矩形．首先证明四边形
四边形EGFH是矩形；
（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∴由PCB≌△PCD，推出∠PCB＝∠PCD＝45°，
可证PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，由∠PBE＝30°，推出PB＝2PE，BE＝＝
+1，可得
是矩形，可得∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，推出ECMH
a，由BC
a+a＝+1，推出a＝1，再求出FQ、FP即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
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∵FG⊥EG，AE⊥EF，四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠AEF＝∠G＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵AE＝EF，∴△ABE≌△EGF，∴BE＝FG．（2）结论：四边形
EGFH是矩形．
理由：如图2中，设FH交CD于M．
∵△ABE≌△EGF，∴AB＝EG＝BC，∴BE＝CG＝FG，∵FM∥CG，FG∥CM，
∴四边形CMFG是平行四边形，∵GC＝FG，∠MCG＝90°，∴四边形CMFG是正方形，∴CM＝CG＝BE，∵BC＝CD，∴CE＝DM，∵FH∥BC，
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∴∠DMH＝∠DCB＝90°，∵∠MDH＝45°，∴∠MDH＝∠MHD＝45°，∴DM＝HM＝EC，∵HM∥EC，
∴四边形CEHM是平行四边形，∵∠ECM＝90°，∴四边形ECMH是矩形，
∴∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，∴四边形EGFH是矩形．
（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，∵PB＝PD，PC＝PC，BC＝CD，∴△PCB≌△PCD，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵PE⊥EC，
∴∠PCE＝∠EPC＝45°，∴PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，∵∠PBE＝30°，∴PB＝2PE，BE＝a，
∵BC＝+1，
∴
a+a＝
+1，
∴a＝1，∴PB＝2
在Rt△PFB中，∵∠PBF＝30°，∴PF＝1，BF＝
，
⊥BQ于F．
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PF∵BQ＝BQ＝BC＝∴FQ＝1，∴PQ＝
＝
+1，
．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、
勾股定理、直角三角形
30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三
角形解决问题，属于中考压轴题．
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