八年级数学上册重难点及答案解析

1．若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有（ ） A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

2．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．

3．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．

（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．

（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 ，∠APB的大小为 （直接写出结果，不证明）

4．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点（不重合），且∠BEC=∠CFA=∠a

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：

①若∠BCA=90°，∠a=90°，请在图1中补全图形，并证明：BE=CF，EF=|BE﹣AF|；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立；

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA，请写出EF、BE、AF三条线段数量关系（不要求证明）．

6．如图．在△ABC中．AB=AC=9，BC=12，∠B=∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线BC上从B向C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE； （1）运动 秒时，AE=DC（不必说明理由）； （2）运动多少秒时，∠ADE=∠B，并请说明理由．

7．（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；

（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．

（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．

8．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

2

1.解答：解

：设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，由题意得： 10＜x﹣1+x+x+1＜22，解得：3＜x＜7，

∵x为自然数：∴x=4，5，6，7．故选：C． 2.解答：解

：猜测AE=BD，AE⊥BD； 理由如下：

∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB，

又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC=CD，CE=CB，

在△ACE与△DCB中，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；

∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．

3.解答：解 ：（1）①证明：∵∠AOB=∠COD=60°，

∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， ∴∠AOC=∠BOD．

在△AOC和△BOD中，

，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，

∴∠OAC=∠OBD，∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB， ∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，∴∠APB=60°； （2）AC=BD，∠APB=α．

4.解答：

（1）①如图，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，

∴∠BEC=∠AFC=90°，

∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°， ∴∠CBE=∠ACF， 在△BCE和△CAF中

，∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|； ②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；

证明：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，∴∠CBE=∠ACF，

3

在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|； （2）EF=BE+AF．

理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°， ∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF， ∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中，，

∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF=CE，BE=CF， ∵EF=CE+CF，∴EF=BE+AF．

6.解：（1）设运动的时间是t秒，

则CD=12﹣2t，AE=9﹣2t，9﹣2t=（12﹣2t）t=3，故答案为：3． （2）设x秒后，∠ADE=∠B，

∵∠B=∠C=90°﹣∠BAC，∴∠B=∠C=∠ADE，

∵∠BAD+∠ADB+∠B=180°，∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°，∴∠BAD=∠EDC，在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS），∴DC=AB=9，∴BD=3，∴x=， 即运动秒时，∠ADE=90°﹣∠BAC， ∵AB=AC=9cm，∴∠B=∠C=

，即∠B=90°﹣∠BAC，

∵∠ADE=90°﹣∠BAC，∴∠ADE=∠B．

4

7.证明：（1）∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=ECB， 在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB；

（2）如图1，

根据题意得出旋转后图形， AC′⊥AC，B′D′⊥AC，

∵∠C′AC=∠AC′B′=∠AD′B′，∴四边形C′AD′B′是矩形， ∴AC′=B′D′=AC=4，∴S△AB′C=AC×B′D′=×4×4=8；

（3）如图2，

∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°， ∴∠OBF=∠OCP=120°，∴∠BOF+∠BFO=60°，

∵∠POF=120°，∴∠BOF+∠OPC=60°，∴∠BFO=∠CPO， ∵OP=OF，∴△OCP≌△FBO，

∴CP=BO=BC﹣OC=3﹣2=1，∴EP=EC+CP=3+1=4，

∵动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，∴t=4÷1=4s．

8.解答：解 ：（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm，

∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD． 又∵AB=AC，∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP．（SAS）

②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm， ∴点P，点Q运动的时间

s，∴

cm/s；

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得

x=3x+2×10，解得

．∴点P共运动了

×3=80cm．△ABC周长为：10+10+8=28cm， 若是运动了三圈即为：28×3=84cm，

∵84﹣80=4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇， ∴经过

s点P与点Q第一次在边AB上相遇．

5

1．如图，已知：正方形ABCD，由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．

3．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B=∠CAF．

4．如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．

5．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）

（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．

求证：△ABF≌△DAE；（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系 ； （3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是 ，线段EF与AF、BF的等量关系是 ；

②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是 ；

（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．

6．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．

6

（1）求证：BF=AC； （2）求证：CE=BF；

7．（上周复习）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．

8．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD，BD=12，点E从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒． （1）试证明：AD∥BC；

（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时移动时间和G点的移动距离．

1.解证明：如图，延长CD到G，使DG=BE， 答： 在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∴∠ADG=∠B，

7

在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，

∵∠EAF=45°，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△AGF中，

，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，

∵GF=DG+DF=BE+DF，∴BE+DF=EF．

3.解证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF， 答： ∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，

又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠B=∠CAF．

4.解证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH， 答： 在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，

∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180° ∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．

∵AB=HE，∴AB=DE．

5.解（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， 答： ∴AB=AD，∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAE=90°，

8

∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°， ∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF， ∵在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）

解：线段EF与AF、BF的等量关系是EF=AF﹣BF， 理由是：∵由（1）知：△ABF≌△DAE，

∴BF=AE，∴EF=AF﹣AE=AF﹣BF，故答案为：EF=AF﹣BF； （3）①解：△ABF≌△DAE，EF=BF﹣AF， 理由是：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAE=90°， ∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°， ∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF， ∵在△ABF和△DAE中

，∴△ABF≌△DAE（AAS）；∴AE=BF，∴EF=AE﹣AF=BF﹣AF，

故答案为：△ABF≌△DAE，EF=BF﹣AF；

②解：EF=AF+BF，理由是：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAF=180°﹣90°=90°， ∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°， ∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF， ∵在△ABF和△DAE中

，∴△ABF≌△DAE（AAS）；

∴AE=BF，∴EF=AE+AF=AF+BF，故答案为：EF=AF+BF；

（4）解：

与以上证法类似：△ABF≌△DAE（AAS）；∴AE=BF， ∴EF=AE﹣AF=BF﹣AF；即EF=BF﹣AF．

6.解（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形． 答： ∴BD=CD．

9

∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA． 在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵

∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．∴BF=AC；

（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE． 在Rt△BEA和Rt△BEC中

，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE=AE=AC．

又由（1），知BF=AC，∴CE=AC=BF；

7.解证明：方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC， 答：

在△BDF和△CDM中，∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．

∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，

∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴BF=AC； 方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM， 在△ADC和△MDB中，

，

∴△ADC≌△MDB（SAS），∴∠M=∠MAC，BM=AC， ∵EA=EF，∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM， ∴∠M=∠BFM，∴BM=BF，∴BF=AC．

21．（1）证明：在△ABD和△CDB中∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；

（2）解：设G点的移动距离为y，

当△DEG与△BFG时有：∠EDG=∠FBG， ∴DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF， 当F由C到B，即0＜t≤时，则有或

，解得

（舍去）， 时，有，

∴△ABD≌△CDB，

，解得，

当F由B到C，即或

，解得

，解得，

综上可知共有三次，移动的时间分别为2秒、4秒、5秒，移动的距离分别为6、6、5．

1．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC度数为（ ）°．

10

A．100 B．105 C．120 D．108

2．如图，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，则下列结论正确的是（ ）

A．2α+∠A=180° B．α+∠A=90° C．2α+∠A=90° D．α+∠A=180°

3．如图1所示为三角形纸片ABC，上有一点P．已知将A，B，C往内折至P时，出现折线，，，其中Q、R、S、T四点会分别在，，，上，如图2所示．若△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，则△PRS面积为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=3cm，PN=4cm，MN=4.5cm，则线段QR的长为 ．

5．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．

6．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC． （1）求证：AD=DC；

（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．

7．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP；

11

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

8．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与

OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）． （1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则θ= ；

（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处（如图3），求a的值．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N． （1）若∠ABC=70°，则∠MNA的度数是 ． （2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm． ①求BC的长；

12

②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．

10．已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40度． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；

（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；

（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个．

友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

11．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

12．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm． （1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， ①CP的长为 cm（用含t的代数式表示）；

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②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？

13．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

1．解：如图，连接OB、OC，

∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°， 又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°， ∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，

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∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，

∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC， ∴点O在BC的垂直平分线上，

又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，

在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．故选D．

2．解：A、正确．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C=α，∴2α+∠A=180°．

B、错误．不妨设，α+∠A=90°，∵2α+∠A=180°，∴α=90°，这个显然与已知矛盾 C、错误．∵2α+∠A=180°，∴2α+∠A=90°不成立．

D、错误．∵2α+∠A=180°，∴α+∠A=180°不成立．故选A．

3．解：根据题意得 △BTQ的面积和△PTQ的面积相等，△CQR和△PQR的面积相等，△ASR的面积和△PSR的面积相等．又△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5， ∴△PRS面积等于（16﹣5×2）÷2=3．故选C．

4．解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，

∴OA垂直平分PQ，∴QM=PM=3cm，∴QN=MN﹣QM=4.5cm﹣3cm=1.5cm， ∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴OB垂直平分PR， ∴RN=PN=4cm，∴QR=QN+RN=1.5cm+4cm=5.5cm．

5．解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上； 到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上； 以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个． 故答案为：4．

6．（1）证明：∵DC‖AB，∴∠CDB=∠ABD，

又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC， 又∵AD=BC，∴AD=DC；

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（2）△DEF为等边三角形，

证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点， ∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．

∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形． 7．（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA， 又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ， 在△ABQ与△CAP中， ∵

，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．

理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…（6分）

（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分） 理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP， ∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．

8．解：（1）如图2，延长ND交OA的延长线于M，

∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处， ∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，

∵点D为AB的中点，∴D点为MN的中点，∴OD垂直平分MN，∴OM=ON， ∴∠MOD=∠NOD=θ，∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，∴∠θ=30°； （2）如图3，作ED⊥OA于D，

∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处，∴AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2， ∵θ=45°，AB⊥直线l，

即直线l平分∠AOC，∴∠A=45°，∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AD=DE=2，∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5．

9．解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=40°，

∵MN是AB的垂直平分线，∴AN=BN，∴∠ABN=∠A=40°，∴∠ANB=100°，∴∠MNA=50°；（2）①∵AN=BN，∴BN+CN=AN+CN=AC，∵AB=AC=8cm，∴BN+CN=8cm， ∵△NBC的周长是14cm．∴BC=14﹣8=6cm．

16

②∵A、B关于直线MN对称，

∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，

即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，∴△PBC的周长最小值为14cm．

10．解：如图所示：

（1）如图1；作40°的角，在角的两边上截取OA=2cm，OB=1cm； （2）如图2；连接AB，即可得到符合题意的△ABC．

（3）如图3，满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有4个：a=3，b=4，∠C=40°，a=3，∠B=40°b=4，a=3，b=4，∠A=40°有2解，先画一条直线，确定一点A作40°，取4cm，得到C，以C为圆心，3为半径，交直线上有2点，B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C．

11．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①， AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，

∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，解得t=4， ∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．

（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB， ∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B， 在△ACM和△ABN中，∵

，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y， 解得：y=16．故假设成立．

∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．

12．解：（1）①PC=BC﹣BP=10﹣4t；

②当△BPE≌△CPQ时，BP=PC，BE=CQ， 即4t=10﹣4t，at=6，解得a=4.8；

当△BPE≌△CQP时，BP=CQ，BE=PC，即4t=at，10﹣4t=6，解得a=4； （2）当a=4.8时，由题意得，4.8t﹣4t=30，解得t=37.5，

17

∴点P共运动了37.5×4=150cm，∴点P与点Q在点A相遇， 当a=4时，点P与点Q的速度相等，∴点P与点Q不会相遇． ∴经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．

13．证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．

∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度． 即CF⊥BD．

（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．

理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G， 则∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°， ∴AC=AG，

∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AGC=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．

1．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

2．阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

18

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）．

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ． 应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

3．操作实验：

如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．

归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证：如图（4），在△ABC中，AB=AC．试说明∠B=∠C的理由；

探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．

（1）BE与AD是否相等，为什么？

（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；

19

（3）∠DBC与∠DCB相等吗试？说明理由．

4．已知：如图，∠ACB=90°，D、E是AB上的两点，且AE=AC，BD=BC，EF⊥CD于F， 求证：CF=EF．

5．（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

20

6．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．

7．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题： （1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围；

（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）．

21

8．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，CG⊥AB，点D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC． （1）试探究DE、DF、CG三条线段之间的数量关系；

（2）当点D在直线BC上移动时，线段DE、DF、CG之间的数量关系相应地会发生怎样的变化呢？请说明理由．

1．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°， ∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，

设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2； （2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°， ∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，

∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°， 在△APE和△BQF中，

∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF， ∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，

又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，

∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．

22

2．解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角； 理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，

∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；

又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C； ∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理）， ∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．

（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．

证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C；

由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；

（3）由（2）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；

∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180

∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．

3．解：思考验证：

过A点作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，∴△ABD≌△ACD（HL），∴∠B=∠C；

23

探究应用：

（1）说明：因为BD⊥

EC，∴∠CEB+∠1=90°，∠1+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠BEC， 在△ADB和△BEC中

，∴△DAB≌△EBC（ASA）．∴DA=BE．

（2）∵E是AB中点，∴AE=BE．

∵AD=BE，∴AE=AD．

在△ABC中，因为AB=BC，∴∠BAC=∠BCA． ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∴∠BAC=∠DAC． 在△ADC和△AEC中，

，∴△ADC≌△AEC（SAS）．∴DC=CE．

∴C在线段DE的垂直平分线上．

∵AD=AE，∴A在线段DE的垂直平分线上．∴AC垂直平分DE． （3）∵AC是线段DE的垂直平分线，∴CD=CE．

∵△ADB≌△BEC，∴DB=CE．∴CD=BD．∴∠DBC=∠DCB．

4．证明：连接CE．

∵AE=AC，∴∠1+∠2=∠AEC=∠3+∠B．① 同理，∠2+∠3=∠1+∠A．② ①+②得 2∠2=∠A+∠B．

∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°．∴∠2=45°．

∵EF⊥CD，∴∠CFE=90°．∴∠CEF=45°=∠2，∴EF=CF．

5．解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．

（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中， ①若∠C是顶角，如图1，则∠CBD=∠CDB=90°﹣x，∠A=180°﹣x﹣y．

24

而∠ADB＞90°，此时只能有∠A=∠ABD，即180°﹣x﹣y=y﹣（90°﹣x） 即3x+4y=540°，即∠ABC=135°﹣∠C；

②若∠C是底角，

第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y﹣x． 由AB=AD，得2x=y﹣x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．

由AB=BD，得180°﹣x﹣y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°﹣3∠C．

由AD=BD，得180°﹣x﹣y=y﹣x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于45°的任意锐角． 第二种情况，如图3，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°﹣x＞90°，此时只能有AD=BD， 从而∠A=∠ABD=∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾． ∴当∠C是底角时，BD=BC不成立．

综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135°﹣∠C或∠ABC=180°﹣3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角

6．解：（1）BF=CG；

证明：在△ABF和△ACG中

∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；

（2）DE+DF=CG；

证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）

∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四边形EDHG为矩形 ∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC ∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC

又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG； （3）仍然成立．

证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）

∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四边形EDHG为矩形， ∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC， ∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，

25

又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS） ∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．

7．解：（1）由折纸过程可知0＜5x＜26，∴0＜x＜． （2）∵图④为轴对称图形，∴AM=即点M与点A的距离是（13﹣

+x=13﹣

，

）cm．

8．解：（1）CG=DE+DF．理由如下：如图1，连结AD， ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴AB×CG=AB×DE+AC×DF， ∵AB=AC，∴CG=DE+DF．

（2）如图2，点D在CB的延长线上，连接AD， ∵S△ACD=S△ABD+S△ABC，∴AC×DF=AB×DE+AB×CG， ∵AB=AC，∴DF=DE+CG．

如图3，点D在CB的延长线上，连接AD，

∵S△ABD=S△ACD+S△ABC，∴AB×DE=AB×CG+AC×DF， ∵AB=AC，∴DE=CG+DF．

1．如图，∠MAN=16°，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止．那么作出的最后一点是（ ）

2．如图，等边△ABC的边长为3，F为BC边上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长为（ ）

3．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．

26

4．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有 个．

5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F． （1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；

（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；

6．（2003•镇江）已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（图（2），图（3）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由，要求标出所分得的每个等腰三角形的三个内角的度数）

7．（1）观察与发现：

小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．

27

8．观察与发现：

（1）小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？为什么？

实践与运用：

如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）． （2）在图②中连接BB′，判断△BCB′的形状，请说明理由； （3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．

9．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）cm．

10．已知△ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC的一半，则∠BAC的度数是（ ）

11．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（ ）

12．已知等腰三角形腰长为2cm，面积为1cm2，则这个等腰三角形的顶角为 ．

13．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是 ．

14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．

28

15．如图，已知矩形ABCD．

（1）在图中作出△CDB沿对角线BD所在的直线对折后的△C′DB，C点的对应点为C′（用尺规作图，保留清晰的作图痕迹，简要写明作法）； （2）设C′B与AD的交点为E，若△EBD的面积是整个矩形面积的，求∠DBC的度数．

16．两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

17．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．

（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．

29

1．解：∵AA1=A1A2，∴∠AA2A1=∠A，

∵∠A2A1A3=2∠A，∠A=16°，∴∠A2A1A3=32°， ∵A1A2=A2A3，∴∠A2A3A=∠A2A1A3=2∠A， ∴∠NA2A3=3∠A=48°，

同理：∠A4A3M=4∠A=64°，∠NA4A5=5∠A=80°，∠NA6A5=6∠A=96°， ∵如果存在A7点，则△A5A6A7为等腰三角形且∠NA6A5是△A5A6A7的一个底角，而∠NA6A5＞90°， ∴此假设不成立，即A7点不存在， ∴作出的最后一点为A6，故选B．

2解：作AG⊥BC于G，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴AG=

AB=

，

∵S△ABF+S△ACF=S△ABC，∴AB•DF+AC•EF=BC•AG， ∵AB=AC=BC=3，∴DF+EF=AG=∵△DEF中，DE＜DF+EF，

∴DE的长随F点运动而变化，当F运动到BC中点时DE最小值为．故选：C．

，

30

3．解：

作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N， ∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，

∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12， ∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN， ∴CN=

=

=

，

∵E关于AD的对称点M，∴EF=FM， ∴CF+EF=CF+FM=CM，

根据垂线段最短得出：CM≥CN， 即CF+EF≥

，

即CF+EF的最小值是

，

4．解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，

如图，在l上作点P，使

PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC，

如图，在长方形外l上作点

P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC，

故答案为5．

5．解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等；以证△CBD≌△CA1F为例：

证明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°∴∠A1CF=∠BCD ∵A1C=BC∴∠A1=∠CBD=45°

31

∴△CBD≌△CA1F；

（2）在△CBB1中

∵CB=CB1∴∠CBB1=∠CB1B=（180°﹣α） 又△ABC是等腰直角三角形 ∴∠ABC=45°

①若B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD ∵∠B1DB=45°+α

∠B1BD=∠CBB1﹣45°=（180°﹣α）﹣45°=45°﹣

∴45°+α=45°﹣

，

∴α=0°（舍去）；

②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D； ③若BB1=BD，则∠BDB1=∠BB1D，即45°+α=（180°﹣α），α=30° 由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°；

6.解答：解

：本题答案有多种，这里提供了3种参考答案，如图．

7.解答：解 ：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．

由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD． 又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°， 所以∠AGE=∠AGF=90°，

所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF， 即△AEF为等腰三角形．

（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°， 所以∠BED=135度．

又由折叠知，∠BEG=∠DEG， 所以∠DEG=67.5度．

从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．

32

8.解答：解 ：（1）△AEF是等腰三角形，

理由是：由第一次折叠可知：∠1=∠2，

∵由第二次折叠可知：EF垂直平分AD，∴∠AOE=∠AOF=90°， ∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形； （2）△B′BC是等边三角形，理由是：连接BB′， ∵由第一次折叠可知：EF垂直平分BC，∴BB′=B′C，

由第二次折叠可知：BC=B′C，∴BB′=B′C=BC，∴△B′BC是等边三角形； （3）△GCC′是等边三角形，

理由是：∵由折叠可知，GH垂直平分CC′，∴G′C=GC，

∵由（2）可知∠GCB=∠GCB′=∠BCB′=30°，

∴∠GCC′=∠BCD﹣∠BCG=60°，∴△GCC′是等边三角形．

9.解答：解

：设AB=x， ∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2， ∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18， ∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．故选D

10.解答：

解：①BC边为底边时，AD=BC=BD=CD， 所以△ABD和△ADC为等腰直角三角形，∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°． ②BC边为腰时可分为 和

两种情况，垂足在三角形内部时，AD=

=AC，

所以∠C=30°，又因为AC=BC，所以∠BAC=∠ABC=（180°﹣∠C）=75°．

垂足落在三角形外时，由图知AD=AB，所以∠ABD=30°，所以∠BAC=∠C=∠ABD=15°．故答案为D．

11.解

解：已知三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，

33

答：

根据等腰三角形的三线合一的性质得到其两个内角所在的两边均相等， 即其三边相等，则这是个等边三角形．故选C．

12.解答：

解：如图有两种情况： 设顶角为∠A，

∵等腰三角形腰长为2cm，面积为1cm2，

∴

，∴腰上的高h=1cm，

根据特殊角的三角函数可知，sinA=，∴顶角∠A=30°或150°．

13.解答：

解：依题意得：10﹣2x﹣x＜x＜10﹣2x+x， 解得＜x＜5．故填＜x＜5．

解：设两个角分别是x，4x ①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x=180°，解得，x=30°，4x=120°，即底角为30°，顶角为120°；

②当x是顶角时，则x+4x+4x=180°，解得，x=20°，从而得到顶角为20°，底角为80°； 所以该三角形的顶角为120°或20°． 解：（1）作法：①作∠MBD=∠CBD，

②在BM上截取BC′=BC，连接C′D，则△C′BD就是所求作的三角形； （2）由S△BED=S矩形，得：S△BED=S△ABD∴3S△BED=2S△ABD， ∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，

又∵∠EBD=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=ED=2AE， 又∵∠A=90°，∴∠ABE=30°，∴∠DBC=30°．

14.解答：

15.解答：

16.解答：

解：△EMC是等腰直角三角形．理由如下：连接MA． ∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°， ∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=AC， ∴△DAB是等腰直角三角形．

又∵M为BD的中点，∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），

AM=BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠EDM=∠MAC=105°， 在△MDE和△CAM中，ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM ∴△MDE≌△MAC．∴∠DME=∠AMC，ME=MC，

又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．

34

∴△MEC是等腰直角三角形．

17.解答：

解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上， （2）成立．

连接DF，NF，证明△DBM和△DFN全等（AAS）， ∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．

∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN， 在△DBM和△DFN中，

，∴△DBM≌△DFN，

∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，

∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BD，∴F在直线NE上， ∵BF=EF，∴MF=EN．

（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． 连接DF、DE，由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM， 在△DNE和△DMF中，

∴△DNE≌△DMF，∴MF=NE．

1．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用X、Y表示直角三角形的两直角边（X＞Y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）

A．B． X﹣Y=2 X+Y=49

2．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和

2

2

2XY+4=49 X+Y=13 C． D．

，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为

（ ） A．B． C． D． 1+ ﹣2﹣ ﹣1﹣ ﹣2+

4．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC的长是（ ）

A． B． C． D．5

5．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，最少只需剪几刀？（ ）

A．1刀 B． 2刀 C． 3刀 D． 4刀

6．如图，有两个全等的直角三角形，它们的边长分别为3和4，把这两个直角三角形拼成一个三角形或一个四边形，在这些图形中，周长最小值是 ．

35

7．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出4.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 ．

8．有一长，宽，高分别为5cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细，形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是 cm．

9．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 cm．（π取3）

10．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）

11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）

12．如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为 个．

13．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．

14．如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF= ． 15．如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．

17．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）

36

18．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．

（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少cm？

（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．（直接填空）

19．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H． （1）若E在边AC上． ①试说明DE=DF； ②试说明CG=GH；

（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．

20．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

37

24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点． （1）在AC上找一点P，使△BPE的周长最小； （2）求出△BPE周长的最小值．

25．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90度，AB=CD． （1）判断AD与BC之间有何关系，并说明理由；

（2）若AB=5cm，BC=13cm，点P从B点出发，以2cm/s的速度沿BC﹣CD﹣DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，AB=AP？

27．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），点D为△ABC内一点，BD=BC，且∠CBD=60°． （1）如图1，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：AD是BC的垂直平分线；

（3）如图2，以AB为一边作等边三角形ABE，连接CE，DE，试探究AD、BD、DE之间有怎样的数量关系？

38

30．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．

（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则θ= ；

（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处（如图3），求a的值．

39

1.解答：解

：A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确； B中，根据小正方形的边长是2即可得到，正确；

C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确； D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得x+y=，错误．故选D．

2.解答： 解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA=AB，|﹣1|+||=1+，

∴OC=2+，而C点在原点左侧，∴C表示的数为：﹣2﹣．故选A．

4.解答：

解：

过A作AE⊥l3于E，过C作CF⊥l3于F，

由勾股定理得：AC==，故选C．

5.解答：解

：如图所示：由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开， 使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，最少只需剪4刀． 故选：D．

6.解答：解 ：拼成三角形的周长是

16或18，拼成四边形的周长是14，16或18，所以周长最小值是14．7.解答：解

：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+4.6=16.6； 最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5=5． 杯里面管长为=13，总长为13+4.6=17.6故管长acm的取值范围是16.6≤a≤17.6．

8.解答： 解：木箱底面对角线长：

=cm，

则木箱对角线长：

=5

cm，放入的细木条的最大长度是5

cm．

9.解答：解

：将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短， 根据题意可得：AC是圆周的一半，∴AC=×2×4π=12，∴AB=

=20cm．

10.解解：其侧面展开图如图： AD= π R=4 π ，AB=CD=20m

．DE=CD﹣CE=20﹣2=18m， 答：

在Rt△ADE中，AE==≈21.9≈22m． 故他滑行的最短距离约为22m．

11.解解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， 答：

∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．

40

于是最短路径为：=2.60米．故答案为：2.60．

12.解解：如图所示，作AB的垂直平分线， ① △ ABC 的外心P

1为满足条件的一个点， 答：

②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点， ③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点， ④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．

13.解答：

解：

作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线， ∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴M在AB上，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12， ∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，∴CN=

=

=

，

∵E关于AD的对称点M，∴EF=FM，

∴CF+EF=CF+FM=CM，根据垂线段最短得出：CM≥CN， 即CF+EF≥

，即CF+EF的最小值是

，故答案为：

．

14.解解：∠DBE=15°，∠BED=90°，∴∠BDA=75°，

答：

∵∠BDA=∠DAC+∠C，而∠C=15°，∴∠DAC=60°， ∵AD为∠CAB平分线，∴∠BAD=∠DAC=60°， ∵EF⊥AB于F，∴∠FEA=30°， ∵AF=2，∴EF=2，

∵∠FEB=60°，∴∠FBE=30°，∴BF=EF=6．故答案为6．

15.解证明：∵AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边， 答：

∴Rt△AFE≌Rt△ABE（AAS），∴AF=AB．① 在Rt△AGF中，∵∠FAG=45°，∴AG=FG，

∴AF2=AG2+FG2=2FG2．②由①，②得AB2=2FG2．

17.解

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6

41

答： 由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：

①如图1，当AB=AD=10时，

∵AC⊥BD，∴CD=CB=6m，∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m． ②如图2，当AB=BD=10时， ∵BC=6m，∴CD=10﹣6=4m， ∴AD===m，∴△ABD的周长=10+10+4=（20+）m．

③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x﹣6，由勾股定理得：

AD=

=

=x，解得，x=

∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=

+

+10=

m．

18.解

解：（1）将长方体展开，连接A、B， 答：

根据两点之间线段最短，AB==5cm；

（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， 相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3， 根据勾股定理可知所用细线最短需要=cm．故答案为：

．

19.解答

解：（1）①连接CD，

∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，∴CD=AD=BD， 又∵AC=BC，∴CD⊥AB，

∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，

∵DF⊥DE，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF， 在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF．

②连接DG，

∵∠ACB=90°，G为EF的中点，∴CG=EG=FG，

∵∠EDF=90°，G为EF的中点，∴DG=EG=FG，∴CG=DG，∴∠GCD=∠CDG 又∵CD⊥AB，∴∠CDH=90°，

∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，∴∠GHD=∠HDG，∴GH=GD，∴CG=GH．

（2）如图，当E在线段AC上时， ∵CG=GH=EG=GF，∴CH=EF=5， ∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3， ∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：，∴AC=AE+EC=3+4=7； 如图，当E在线段CA延长线时，AC=EC﹣AE=4﹣3=1，综合上述AC=7或1． 20.解

解：（1）如图，

42

答：

木柜的表面展开图是矩形ABC'1D1或ACC1A1．

故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC'1或AC1； （2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC'1D1爬过的路径AC'1的长是．

蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB1C1D爬过的路径AC1的长=，

蚂蚁沿着木柜表面ACC1A1爬过的路径AC1的长是．

l1＞l2，故最短路径的长是

．

24.解解：（1）连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，即△BPE的周长最小； 答：

（2）∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE．

∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8， ∴DE==10，∴PB+PE的最小值是10，∴△BPE周长的最小值=PB+PE+BE=10+2=12．25.解

解：（1）AD=BC，AD ∥ BC 理由如下：

答：

∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，

∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC； （2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，设经过ts时，AB=AP． 过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE=，在Rt△ABE中，BE=

，

∴BP=2BE=时，△ABP为等腰三角形．

27.解答：

43

解：（1）∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α， ∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α； （2）证明：如图1，连接AD，CD，

∵BD=BC，且∠CBD=60°．∴△BCD为等边三角形， 在△ABD与△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD，

∵AB=AC，∴AD是BC的垂直平分线；

（3）如图2，连接AD、DC、DE，

∵△ABE是等边三角形，△BCD为等边三角形，∴∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC， 在△ABD与△EBC中

∴△ABD≌△EBC（SAS）∴∠BAD=∠BEC，AD=CE，

∴∠ABD=∠EBC=30°﹣α，∠BAD=∠BEC=α，

∴∠BCE=180°﹣∠EBC﹣∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣α=150°，

∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∴△DCE是直角三角形，∴CD2+CE2=DE2， ∵BD=CD，AD=CE，∴DB2+AD2=DE2． 解：（1）如图2，延长ND交OA的延长线于M，

∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处， ∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，

∵点D为AB的中点，∴D点为MN的中点，∴OD垂直平分MN，∴OM=ON， ∴∠MOD=∠NOD=θ，∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，∴∠θ=30°；故答案为30°； （2）如图3，作ED⊥OA于D，

∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处， ∴AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2，

∵θ=45°，AB⊥直线l，即直线l平分∠AOB，∴∠A=45°，

∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=DE=2，∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5．

30.解答：

1．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线AD=4，则△ABC的面积为（ ）

A．30 B．24 C．20 D．48

2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△

44

AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ） A．110° B．120° C．130° D．140°

3．如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=13，AB=10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（ ）

A．5 B．7

C．12 D．

4．如图，正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的 两 端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为 ．

5．如图，一个上方无盖的正方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由盒外AE的中点处出发，沿着盒子面爬行到盒内的点C处，已知正方体的边长为4，问这只蚂蚁爬行的最短距离是 ．

6．如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有 个（不含△ABC）．

7．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出一种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称 ． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以△ABC边AB作如图正三角形ABD，∠CBE=60°，且BE=BC，连结DE、DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

8．已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点与点O重合并将三角板绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角板的直角边与边AC、BC的交点．

45

（1）如图①，当点M与点A重合时，求BN的长．

（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合）， ①猜想图②中AM2、CM2、CN2、BN2之间满足的数量关系式，并说明理由． ②若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你直接写出此时BN的长．

9．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；

（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

10．（1）正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在图1正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使AB=AC=5，BC=． （2）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华

46

同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图2所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． ①△ABC的面积为： ．

②若△DEF三边的长分别为、、，请在图3的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为 ．

11．如图，△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒． （1）请判断△ABC的形状，说明理由．

（2）当t= 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为？

12．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，求BD的长．

47

13．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．

探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．

应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC= （用含a的代数式表示）

1．解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE， ∵D为BC的中点，∴DC=BD， 在△ADB与△EDC中，

48

∵，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE=AB=6．

又∵AE=2AD=8，AB=CE=6，AC=10，

∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°，则S△ABC=S△ACE=CE•AE=×6×8=24．

2．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″， 连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，

∵∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°﹣110°=70°， 由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×70°=140°．

3．解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图， ∵AC=BC=13，∴AH=BH=AB=5， 在Rt△BCH中，CH=

=

=12，

∵H为AB的中点，∴OH=AB=5，

∵OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），∴OC的最小值为12﹣5=7．

4．解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为2，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，

∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积． 而正方形ABCD的面积为4×4=16，4个扇形的面积为4×∴点M所经过的路线围成的图形的面积为16﹣4π．

5．解：如图，

=4π，

49

蚂蚁爬行的最短距离CM，在Rt△CMN中，CN=AE+AE=6，MN=8，

∴CM===10

6．解：如图所示每个大正方形上都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去△ABC外有七个与△ABC全等的三角形． 故答案为：7．

7．解：（1）是勾股四边形的图形的名称：长方形，正方形； 故答案是：长方形，正方形； （2）如图（1），点M（3，4）或M（4，3）； （3）证明：如图（2），连结EC．

根据旋转的性质知△ABC≌△DBE，则BC=BE，AC=DE．

又∵∠CBE=60°，∴△CBE是等边三角形，∴∠BCE=60°，BC=EC 又∵∠DCB=30°

∴∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°，

∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

8．解：（1）连接AN，如图①，

50

∵∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC==8，

在△OAN和△OBN中，，∴△OAN≌△OBN（SAS），∴NB=AN，

设BN=x，则CN=8﹣x， ∵AC2+CN2=AN2，∴═

；

（2）①AM2+BN2=CN2+CM2，

证明：延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN， 在△EOA和△NOB中，

，∴△EOA≌△NOB（SAS），

∴AE=BN，∠EAO=∠B，∴AE∥BC，∴∠EAC=90°

由垂直平分线性质可得：MN=EM，

∵AE2+AM2=EM2，CN2+CM2=MN2，∴AM2+BN2=CN2+CM2． ②∵①中已经证明：AM2+BN2=CN2+CM2， 设CM=CN=x，则BN=8﹣x，AM=6﹣x， 代入上式得：x=

，∴

．

9．解：（1）设存在点P，使得PA=PB，

51

此时PA=PB=2t，PC=4﹣2t， 在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2， 即：（4﹣2t）2+32=（2t）2，解得：t=

，∴当t=

时，PA=PB；

（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E， 此时BP=7﹣2t，PE=PC=2t﹣4，BE=5﹣4=1， 在Rt△BEP中，PE2+BE2=BP2，

即：（2t﹣4）2+12=（7﹣2t）2，解得：t=，

（3）在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4cm， 根据题意得：AP=2t，

当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC=BC，即4﹣2t=3，∴t=， 当P在AB上时，△BCP为等腰三角形， ①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上， 如图2，过P作PE⊥BC于E，

∴BE=BC=，∴PB=AB，即2t﹣3﹣4=，解得：t=，

②PB=BC，即2t﹣3﹣4=3，解得：t=5，

③PC=BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF=BP， ∵∠ACB=90°，由射影定理得；BC2=BF•AB，即33=

×5，解得：t=

，10．解：（1）如图1所示，△ABC即为所求；

（2）①S△ABC=3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3=9﹣1﹣﹣3=3.5； ②如图，△DEF即为所求，S△DEF═2×4﹣×1×2﹣×2×2﹣×1×4， =8﹣1﹣2﹣2，=8﹣5，=3．

11．解：（1）△ABC是直角三角形．

∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=25=AB2，∴△ABC是直角三角形；

52

（2）如图，当点P在AC上时，CP=CB=3，则t=3÷2=1.5秒；

如图，当点P在AB上时，分两种情况：

若BP=BC=3，则AP=2，故t=（4+2）÷2=3秒； 若CP=CB=3，作CM⊥AB于M，则×AB×MC=×BC×AC， ×5×MC=×3×4，解得CM=2.4，

∴由勾股定理可得PM=BM=1.8，即BP=3.6，∴AP=1.4， 故t=（4+1.4）÷2=2.7秒．

（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤2）， 由勾股定理可得：（2t）2+t2=5，解得t=1；

②如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（3≤t＜4），由题可得：12﹣2t﹣t=

，解得t=

；

③当点P、Q均在AB上运动，且点

P在点Q的右侧时（4＜t≤4.5）， 由题可得：2t+t﹣12=，解得t=

，

∵t=

＞4.5，∴不成立，舍去．

综上所述，当t为1秒或秒时，P、Q两点之间的距离为

．

12．解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10， ∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=10．

53

如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．

设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8﹣x．

在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2=102． 解得：x1=2，x2=0（舍去）．∴BD=2．

如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合． ∵AB′=10，AC=6，∴B′E=4． 设BD=DB′=x，则CD=8﹣x．

在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8﹣x）2+42． 解得：x=5．∴BD=5．

13．探究：

证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，

∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，

，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB．

应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，在Rt△ADF和Rt△ADE中，

，∴△DFC≌△DEB，∴DF=DE，CF=BE， ，∴△ADF≌△ADE，∴AF=AE，

∴AB﹣AC=（AE+BE）﹣（AF﹣CF）=2BE，

在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a，∴BE=∴AB﹣AC=

a，

a．

1．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条

54

2．如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：

①图中只有2对全等三角形 ②AE=CF； ③△EPF是等腰直角三角形； ④S四边形AEPF=S△ABC；⑤EF的最小值为

．

上述结论始终正确的有 （填序号）．

3．如图所示，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=10，E是AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A到C的运动过程中至少需 秒．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则DF的长为 ．

5．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是 ．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

7．已等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为腰作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°．连接CE．

（1）如图，求证：△ACE≌△ABD；

（2）点D运动时，∠BCE的度数是否发生变化？若不变化，求它的度数；若变化，说明理由； （3）若AC=，当CD=1时，请直接写出DE的长．

55

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，

（1）求证：DE∥BC；

（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值．

9．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4， （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）已知S△ABC=10cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）， ①若△DMN的边与BC平行，求t的值；

56

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

10．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，求：

（1）DF的长；

（2）重叠部分△DEF的面积．

11．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′．

（1）当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；

（2）在（1）得条件下，猜想：BD2、DE2、CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

12．在等边△ABC中，P、Q是BC边上的两点，AP=AQ． （1）如图1，已知∠BAP=20°，求∠AQP的度数； （2）点P、Q在BC边运动（不与B、C重合），点P在点Q的左侧，点P关于直线AB的对称点为M，连接AM、QM． ①按题意，将图2补全；

②在点P、Q运动的过程中，小明通过观察、实验、提出以下两个猜想：

57

（a）始终有∠MAP=∠CAP； （b）始终有QA=QM．

上述两个猜想你认为正确的是 （填序号），请证明你的结论．

13．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；

（2）若CD=，求AD的长．

1．解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B．

58

2．解：∵AB=AC=2，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°， ∵点P是BC的中点，∴∠BAP=∠CAP=45°，

∵∠EPF=90°，∴∠BPE+∠EPA=90°，∴∠BPE=∠APF，∠EPA=∠FPC， 在△BPE和△APF中，

，∴△BPE≌△APF，

∴△EPA≌△FPC，△APC≌△APB，有3对全等三角形，①错误； ∵△EPA≌△FPC，∴AE=CF，②；

∵△BPE≌△APF，∴PE=PF，又∠EPF=90°， ∴△EPF是等腰直角三角形，③正确；

∵△BPE≌△APF，∴S四边形AEPF=S△ABP=S△ABC，④正确； 由②知，△EPF是等腰直角三角形，则EF=则EF最小值=

AB=

．故⑤正确，

EP．当EP⊥AB时，EP去最小值，此时EP=AB，

故答案为：②③④⑤．

3．解：如图，作CH⊥AB于H交AD于E．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴∠HAE=30°，∵∠AHE=90°，∴HE=AE， ∵P沿着折线A﹣E﹣C运动的时间=

+

=（EC+AE）=（EC+EH）=CH，

根据垂线段最短可知，当CH⊥AB时，P沿着折线A﹣E﹣C运动的时间最短， ∵CH、AD是等边三角形的高，

∴CH=AD=10，∴P沿着折线A﹣E﹣C运动的时间最时间=5s．故答案为5．

4．解：根据折叠的性质可知，CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB， ∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，

59

∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，

∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=CE，∠EFC=45°， ∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FD=90°， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，∴AC•BC=AB•CE， ∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=，∴EF=

，ED=AE=

=，

∴DF=EF﹣ED=．

5．解：如图

连接AE交BD于P点，

则AE就是PE+PC的最小值，

∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，∴AB=12， ∴AE==13，∴PE+PC的最小值是13．

6．（1）解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，∴BC=4 cm．

①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4 cm，∴t=4． ②当∠BAP为直角时，BP=t cm，CP=（t﹣4）cm，AC=3 cm， 在Rt△ACP中，AP2=32+（t﹣4）2，

在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，∴52+[32+（t﹣4）2]=t2，解得t=．

综上，当△ABP为直角三角形时，t=4或

．

（2）解：①当BP=BA=5时，∴t=5． ②当AB=AP时，BP=2BC=8cm，∴t=8．

③当PB=PA时，PB=PA=t cm，CP=（4﹣t）cm，AC=3 cm， 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2， ∴t2=32+（4﹣t）2，解得t=

．

7．解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE．

60

在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD；

（2）∵△ACE≌△ABD，∴∠ACE=∠ABD=45°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°；∴∠BCE的度数不变，为90°； （3）①点D在线段BC上时，如图1，

∵AB=AC=，∠BAC=90°，∴

BC=4． ∵CD=1，∴BD=3．

∵△ACE≌△ABD，∴CE=BD=3． ∵∠BCE=90°，∴DE===；

②点D在线段BC延长线上时，如图2， ∵AB=AC=，∠BAC=90°，∴BC=4． ∵CD=1，∴BD=5．

∵△ACE≌△ABD，∴CE=BD=5． ∵∠BCE=90°，∴∠ECD=90°， ∴DE===． 综上所述：DE的长为或

．

8．（1）证明：∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，∴BD=AD=AC， ∵DE是∠ADB的角平分线，∴DE⊥AB， 又∵∠ABC=90°，∴DE∥BC；

（2）解：∵AE=3，AD=5，DE⊥AB，∴DE==4，

∵DE⊥AB，AD=BD，∴BE=AE=3， ①DE=EP时，BP==， ②DP=EP时，BP=DE=×4=2，

③DE=DP时，过点D作DF⊥BC于F，则DF=BE=3， 由勾股定理得，FP==， 点P在F下边时，BP=4﹣

，点P在F上边时，BP=4+

，

9．解：（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x， 在Rt△ACD中，AC==5x，又AB=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形； 61

（2）S△ABC=×5x×4x=10cm2，解得，x=1cm，

则BD=2cm，AD=3cm，CD=4cm，AC=5cm，

①当MN∥BC时，AM=AN，即5﹣t=t，∴t=2.5， 当DN∥BC时，AD=AN，则t=3，

故若△DMN的边与BC平行时，t值为2.5或3．

②当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE， 当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形，

当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能． 如果DE=DM，则t﹣2=2.5，∴t=4.5， 如果ED=EM，则点M运动到点A，

∴t=5，如果MD=ME=t﹣2，则（t﹣2）2﹣（t﹣3.5）2=22，∴t=，

10．解：（1）设DF=x，

由折叠可知BF=DF=x，∴FC=BC﹣BF=5﹣x，

∵四边形ABCD为长方形，∴DC=AB=3，∠C=90°，AD∥BC， 在Rt△DCF中，∠C=90°，DF2=DC2+FC2

x2=32+（5﹣x）2 x=3.4， ∴DF=3.4cm； （2）作FH⊥AD于点H，则FH=AB=3， 由折叠可知，∠EFB=∠EFD，

∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∴∠EFD=∠DEF，∴ED=DF=3.4， S△DEF=×DE×FH=×3.4×3=5.1．

11．（1）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′， ∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，

∵∠DAE=45° ∴∠EAD′=∠DAD′﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠EAD′=∠DAE， 在△AED与△AED′中

，∴△AED≌△AED′，∴DE=D′E；

（2）解：BD2+CE==DE2．理由如下：

由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，∠B=∠ACD′， 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠ACB=45°，

∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′ ∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，

∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°， 在Rt△CD′E中，CE2+D′C2=D′E2， ∴BD2+CE==DE2．

12．解：（1）如图1，∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，

∵∠BAP=20°，∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°；

62

（2）①如图2所示： ②（b）正确．

证明：如图2，由轴对称性质得，MP被AB垂直平分， ∴AM=AP，∠BAP=∠BAM， 又∵AP=AQ，∴AM=AQ，

∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BAP=∠CAQ， ∴∠BAM=∠CAQ，∴∠QAM=∠CAB=60°，

∴△MAQ是等边三角形，∴QA=QM，即猜想（b）正确． 故答案为：（b） 13．（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°， ∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠CBE， 在△ADC和△BDF中，

，

∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，

∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；

（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=在Rt△CDF中，CF==∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2， ∴AD=AF+DF=2+．

，

=2，

1．如图，由25个同样大小的小正方形组成的正方形网格中，△ABC是格点三角形（每个顶点都是格点），在这个正方形网格中画另一个格点三角形，使得它与△ABC全等且仅有一条公共边，则符合要求的三角形共能画（ ）

63

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=30，D是AB上一点，AD：CD=25：7，且DB=DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是 ．

4．如图，两个边长为6的等边三角形拼出四边形ABCD，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t秒．将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．当t= 时，DF的长度有最小值，最小值等于 ．

5．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD2= ．

6．如图，已知三角形木块ABC，∠A=30°，∠B=90°，AC=10cm，一只蚂蚁在AC、AB间往返爬行．当蚂蚁从木块AC边的中点O出发，爬行到AB边上任意一点P后，又爬回到AC边上的任意一点Q后，再爬行到点B，在这一过程中这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．

7．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°＜α＜120°，P是△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°﹣α．

（1）用含α的代数式表示∠APC，得∠APC= ； （2）求证：∠BAP=∠PCB； （3）求∠PBC的度数；

（4）若PA=PB，试猜想△ABC的形状．

8．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，三角板斜边交BC于点D，直角边交BC于点E，在BC边上取一点M，连接AM． （1）若∠BAD=∠DAM，求证：∠CAE=∠EAM；

（2）在（1）的条件下，线段BD、CE、DE之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出这

64

个数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．

9.如图1：点M、N在直线AB的同侧，在直线上找一点P使MP+NP最短？

解：做点M关于直线AB的对称点M′．连接M′N，线段M′N与直线AB的交点即为点P的位置，即MP+NP最短．

（1）应用1：如图2，M、N是△ABC中AB、AC边上的两点，请在BC边上确定一点P使得△PMN的周长最小？（不写作法只保留作图痕迹）

（2）应用2：设x、y为正实数，且x+y=8，求：+的最小值．

10．数学活动﹣﹣求重叠部分的面积．

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．

（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；

（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．

11．如图，四边形ABCD是长方形（长方形对边相等且平行，四个角为直角），

（1）用直尺和圆规在边CD上找一个点P，使△ADP沿着直线AP翻折后D点正好落在BC边上的Q点（不写作法，保留作图痕迹）．连结AP，AQ，PQ；

（2）在（1）中作的新图形中，已知AB=5，AD=13，求CP的长．

65

12．课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．

13．如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，BH=5．

探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积S△ABC= ； 拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0） （1）用含x，m，n的代数式表示S△ADB及S△CBD；

（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；

66

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，直接写出这样的x的取值范围．

14．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）求AE的长；

（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？

（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

1．解：如图，∵△ABC≌△GCB≌△BAW≌△CDA≌△AEC≌△ABQ≌△ABF， ∴△ABC全等且仅有1条公共边的三角形共6个，故选：B．

67

2．解：如图，

过E作EQ⊥AB于Q，

∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，∴CE=EQ， ∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°， ∵EQ⊥AB，∴∠EQA=∠EQB=90°，

由勾股定理得：AC=AQ，∴∠QEB=45°=∠CBA，∴EQ=BQ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE，∴③正确；作∠ACN=∠BCD，交AD于N，

∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD，∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD，∴∠DBC=∠CAD， 在△ACN和△BCD中，

，∴△ACN≌△BCD，∴CN=CD，AN=BD，

∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，

∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN，∴AN=CN， ∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE，

∴CD=AN=EN=AE，∵AN=BD，∴BD=AE，

∴①正确，②正确； 过D作DH⊥AB于H，

∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°， ∴∠FCD=∠DBA，

∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，∴DF=DH， 在△DCF和△DBH中，∴△DCF≌△DBH，∴BH=CF，

由勾股定理得：AF=AH， ∴

=

=

=

=2，

∴AC+AB=2AF，AC+AB=2AC+2CF，AB﹣AC=2CF， ∵AC=CB，∴AB﹣CB=2CF，∴④正确．故选D

3．解：如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD=BD=25k，CD=7k， 在Rt△DCB中，BC==24k，

68

在Rt△ACB中，∵AC2+BC2=AB2，∴（32k）2+（24k）2=302，∴k=，∴BC=18， 在△ADH和△BDC中，

，∴△ADH≌△BDC，∴AH=BC=18，

∵S△ABD=•BD•AH=•AD•PF+•BD•PF，∴PE+PF=AH=18，

4．解：∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE， ∴∠DCF=∠BCE，

∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；

如图1，

当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小， 在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=， ∴设AE′=x，则BE′=x，∴AB=2x=6， 则AE′=x=3∴DE′=6+3，DF=BE′=3， 故答案为：9，3；

5．解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图： ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAD′中，∴BD=CD′．∠DAD′=90° 由勾股定理得DD′=由勾股定理得CD′=

，∴△BAD≌△CAD′（SAS），

，∠D′DA+∠ADC=90°， ，∴BD=CD′=

，即BD2=41．

6．解：如图，作O点关于AB的对称点M，作B点关于AC的对称点N，连接MN，交AB于P，交AC于Q，MN就是蚂蚁爬行的最短距离， ∴OP=MP，BQ=NQ，

69

∵AC=10，AO=CO，∴OA=5，

∵OM⊥AB，∠B=90°，∴OM∥BC， ∵AO=CO，∴AK=BK， 在△OAK和△BMK中，

，∴△OAK≌△BMK（SAS），

∴BM=OA=5，∠A=∠KBM=30°，

∵BN⊥AC，∴∠ABG=60°，∴∠MBN=90°，∴AB=2BG=BN， ∵BC=AC=5，∴BM=BC， 在△ABC和△NBM中，

，∴△ABC≌△NBM（SAS），∴MN=AC=10cm．

7．（1）解：∵AB=AC，∠BAC=α，PC=AC， ∴∠CPA=∠CAP，∠BCA=∠ABC， ∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180°，

∴∠CPA=∠CAP=（180°﹣∠ACP）÷2=（60°+α）÷2=30°+，

故答案为：30°+

，

（2）证明：∵∠BAP=∠BAC﹣∠CAP，∠BAC=α，∠CAP=30°+， ∴∠BAP=∠BAC﹣∠CAP=α﹣（30°+）=﹣30°，

∴∠BCA=∠ABC=（180﹣a）÷2=90°﹣，

∴∠PCB=∠BCA﹣∠ACP=90﹣

﹣（120°﹣α）=

﹣30°，

∴∠BAP=∠PCB，

（3）方法一：解：如图，分别延长CP、AP交AB于E点，交BC于F点， ∵∠BAP=∠PCB，∴∠PFB=∠PEB，∴A，E，F，C四点共圆， ∴∠EFB=∠BAC=α，∠EFA=∠ECA，∠FEC=∠CAF， ∴BF=EF，EF=PF，∴BF=PF ∴∠AFC=∠ABC+∠BAF=90°﹣+﹣30°=60°，

∴∠PBC=∠BPF=30°．

方法二：如图1，

过点P作PD∥BC，交∠ACP的平分线于D，连接AD，

70

∴∠PCD=∠ACD，在△PCD和△ACD中，，

∴△PCD≌△ACD，∴PD=AD，∠CPD=∠CAD， ∵AB=AC，∠BAC=α，

∴∠ACB=（180°﹣α）=90°﹣α，

∵∠PCA=120°﹣α．∴∠BCP=∠ACB﹣∠ACP=90°﹣α﹣（120°﹣α）=α﹣30°， ∵PD∥BC，∴∠CPD=∠BCP=α﹣30°， ∵∠BCP=∠BAP，

∴∠CPD=∠BAP=∠CAD=α﹣30°，

∴∠PAD=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAD=α﹣（α﹣30°）﹣（α﹣30°）=60° ∵PD=AD，∴△PAD是等边三角形∴AP=AD， 在△BAP和△CAD中，

，

∴△BAP≌△CAD，∴BP=CD，

∴四边形BCDP是等腰梯形，∴∠PBC=∠BCD， ∵∠PCD=∠ACD=∠PCA=60°﹣a

∵∠BCA=∠CBA=90°﹣a∴∠BCD=∠BCA﹣∠ACD=90°﹣a﹣（60°﹣a）=30° ∴∠PBC=∠BCD=30°，

（4）△ABC是等腰直角三角形

理由：由（3）知，∠BAP=α﹣30°，∠PBC=30°， ∵PA=PB，∴∠ABP=∠BAP=α﹣30°， ∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=α﹣30°+30°=，

∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=α，

在△ABC中，根据三角形的内角和得．α+α+α=180°，∴α=90°，∴∠BAC=90° ∴△ABC是等腰直角三角形．

8．（1）证明：∵∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠CAE=∠DAM+∠EAM=45°． ∵∠BAD=∠DAM，∴∠CAE=∠EAM．

71

（2）解：BD2+CE2=DE2；理由如下：

延长AM到点F，使AF=AB，连接DF、EF． 由（1）可知，∠BAD=∠FAD，∠CAE=∠FAE． 在△ABD和△AFD中，

，∴△ABD≌△AFD（SAS），

∴BD=FD，∠AFD=∠B=45°．

同理FE=CE，∠AFE=∠C=45°． ∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°． ∵在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．

9．解：（1）应用1：使得△PMN的周长最小的点P如图所示；

（2）应用2：如图作线段 x+y=AB=8 ，作AC⊥AB，BD

⊥AB，且AC=2，BD=4， 作C关于AB的对称点C′，连结DC′交AB于点P， 连结PC、PD，易得DC′=PC+PD，且最短， 如图，由勾股定理得，DC′==10， 即+

的最小值为10．

10．解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=DA．∴∠B=∠DCB．又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．∴∠FDE=∠DCB． ∴DG∥BC．∴∠AGD=∠ACB=90°．∴DG⊥AC．

72

又∵DC=DA，∴G是AC的中点．∴．

∴

．

（2）如图2所示：

∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．

∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°， ∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，∴GH=GD，

∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠A=∠3， ∴AG=GD，∴AG=GH， ∴点G为AH的中点； 在Rt△ABC中，， ∵D是AB中点，∴， 在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，

∴△ADH∽△ACB，∴，∴

，∴

． ∴

．

21．解：（1）点P就是所求的图形；

（2）在直角△ABQ中，BQ==

=12，

则QC=BC﹣BQ=13﹣12=1， ∵∠AQP=∠ADC=90°， ∴∠AQB+∠PQC=90°，

又∵直角△ABQ中，∠BAQ+∠AQP=90°，∴∠PQC=∠BAQ， 又∵∠B=∠C=90°，∴△ABQ∽△QCP， ∴

=

，即

=，

解得：CP=

．

12解：（1）如图2作图，

73

（2）如图3 ①、②作△ABC．

①当AD=AE时，

∵2x+x=30+30，∴x=20． ②当AD=DE时，

∵30+30+2x+x=180，∴x=40． 所以∠C的度数是20°或40°．

13．解：探究：由勾股定理得，AH=AC=

=12，

=15，△ABC的面积S△ABC=×BC×AH=84，

（1）S△ADB=×BD×AE=mx，S△CBD=×BD×CH=nx； （2）mx+nx=84，m+n=

，

当BD⊥AC时，m+n有最大值15， 当BD值最大时，m+n有最小值．

∴当点D与点C重合时m+n有最小值． ∴m+n的最小值为

=12；

=11.2，只能确定唯一的点D．

=

=5；

（3）当BD⊥AC时，x=BD=

14．解：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4， ∴CD=AB=9，∠D=90°，∴DE=9﹣6=3，∴AE=（2）①若∠EPA=90°，t=6；

②若∠PEA=90°，（6﹣t）2+42+52=（9﹣t）2，解得t=． （3）假设存在．

∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA． ∵CD∥AB，∴∠DEA=∠EAP， ∴∠PEA=∠EAP，∴PE=PA， ∴（6﹣t）2+42=（9﹣t）2， 解得t=

．

1．如图，AO⊥OM，OA=4，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM

74

上移动时，则PB的长度为 ．

2．如图，在△ABC中，AC=5，∠C=60°，点D、E分别在BC、AC上，且CD=CE=2，将△CDE沿DE所在的直线折叠得到△FDE（点F在四边形ABDE内），连接AF，则AF的长为 ．

3．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 ．

4．如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且+|BC﹣6|=0，点P、Q分别是边AD、AB上的动点． （1）求BD的长（长度单位是cm）；

（2）如图2，若点P从D点出发，以2cm/s的速度沿DA向点A运动，点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BA向点A运动，P、Q同时出发，一个点到达终点时，两点同时停止运动；设运动时间为x，用含x的代数式表示△CPQ的面积S．

（3）如图3，在BC上取一点E，使EB=1，那么当△EPC是等腰三角形时，请直接写出△EPC的周长．

5．如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．

75

（1）求证：△DBN≌△DCM；

（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．

6．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．

数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．

小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；

小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”． （1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；

（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．

①摆出等边“整数三角形”；

②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．

7．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．

（1）求证：∠FMC=∠FCM；

（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

8．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒 （1）出发1秒后，△ABP的周长= ；

76

（2）当t= 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

9．阅读理解

（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？ （S表示面积）； 应用拓展

（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC=S△ADE+S△EBC； 解决问题

（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．

10．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．（1）如图①，求证：（2）如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；

（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．

；

77

11．如图（1），△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，把△ECD绕点C逆时针旋转，使点D在AB上，如图（2），连接AE． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）如图（2），若AB=4，ED=，求△ADE的面积．

12．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，CD=14，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为 ．

13．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、3、4，则原直角三角形纸片的斜边长是 ．

1．解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，

∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°， ∴∠BAO=∠NBE，

∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；

78

在△ABO与△BEN中，∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；

∵BO=BF，∴BF=NE， 在△BPF与△NPE中，

，∴△BPF≌△NPE（AAS），

∴BP=NP=BN；而BN=AO，∴BP=AO=×4=2，故答案为：2．

2．解：如图，作FG⊥AE于点G，

∵∠C=60°，CD=CE=2，∴△CDE是边长为2的等边三角形， ∵将△CDE沿DE所在直线折叠得到△FDE，

∴△FDE也是边长为2的等边三角形，∴FE=2，∠AEF=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴Rt△EFG中，∠EFG=30°，∴GE=EF=1，FG=， 又∵AC=5，∴AG=5﹣1﹣2=2， ∴Rt△AFG中，AF==

．故答案为：

．

3．解：如图，

由翻折的性质，得AB=AB′，BE=B′E． ①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得B′E=． △B′EN∽△AB′M，=

，即=

，x2=，

BE=B′E=

=

．

②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得B′E=，

△B′EN∽△AB′M，=，即=，

解得x2=，BE=B′E=

=

，．

4．解：（1）连接BD，如图1所示，

∵+|BC﹣6|=0，∴AB=4，BC=6，∴AD=BC=6， 在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD===2（cm）；

（2）连接CQ、PQ、CP，如图2所示，

79

根据题意得：BQ=x，PD=2x，AQ=4﹣x，AP=6﹣2x

△CPQ的面积S=矩形ABCD的面积﹣△APQ的面积﹣△CDP的面积﹣△BCQ的面积 =6×4﹣×（6﹣2x）（4﹣x）﹣×2x×4﹣×6×x=12﹣x2（cm2）； （3）∵BC=6，EB=1，∴CE=6﹣1=5， 分三种情况：

①当CP=CE=5时，作EM⊥AD于M，如图3所示， 则AM=EB=1，EM=AB=4， ∵∠D=90°，CD=AB=4，∴PD===3，

∴PM=AD﹣AM﹣PD=6﹣1﹣3=2， ∴PE===2，∴△EPC的周长=CE+CP+PE=10+2（cm）；

②当PE=CE=5时，同①得：△EPC的周长=10+2（cm）； ③当PC=PE时，作PN⊥BC于N，如图4所示， 则PN=CD=4，EN=CN=CE=2.5， ∴PE=PC=

=

=

，∴△EPC的周长=CE+PC+PE=5+（cm）；

综上所述：△EPC的周长为（10+2

）cm或（5+

）cm．

5．（1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，

∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，

∵∠BDC=∠MDN=90°，∴∠BDN=∠CDM，

∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD， 在△DBN和△DCM中，

，∴△DBN≌△DCM．

（2）结论：NE﹣ME=CM． 证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN． 作DF⊥MN于点F，又 ND⊥MD，∴DF=FN， 在△DEF和△CEM中，

，∴△DEF≌△CEM，

∴ME=EF，CM=DF，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．

6．解：（1）小颖摆出如图

1所示的“整数三角形”：

80

小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：

（2）①不能摆出等边“整数三角形”． 理由如下：

设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为因为，若边长a为整数，那么面积所以不存在等边“整数三角形”；

．

一定非整数．

②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：

7．（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF， 又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF， 在△DFC和△AFM中，

，∴△DFC≌△AFM（AAS），∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD⊥MC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，

∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC．

8．解：（1）如图1所示：由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

81

∴AC===4（cm），

动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，

∴出发2秒后，则CP=2cm，∴AP=2cm， ∵∠C=90°，∴PB==（cm）， ∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7+（cm）， 故答案为：（7+）cm， （2）分两种情况： ①如图2所示：

当点P在边AC上时，CP=BC=3cm，3÷2=1.5（s），

此时用的时间为1.5s，△BCP是以BP为底边的等腰三角形； ②如图3所示：

当点P在边AB上时，CP=BC=3cm， 过C作斜边AB的高CD，则CD==2.4（cm），

在Rt△PCD中，PD=

=

=1.8（cm），

∴BP=2PD=3.6cm，

所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4（cm）， 则用的时间为5.4÷2=2.7（s），△BCP为等腰三角形；

综上所述：当t=1.5s或2.7s 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形； 故答案为：1.5s或2.7s； （3）分两种情况：

①如图6所示：当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴2t+t=4﹣2t+3﹣t+5，解得：t=2； ②如图7所示：

当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t﹣3，BQ=2t﹣9 ∴AQ=5﹣（t﹣3）=8﹣t，CQ=3﹣（2t﹣9）=12﹣2t， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴4+8﹣t+12﹣2t=t﹣3+2t﹣9，解得：t=6，

9.解答：解 ：（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．

82

∵D是BC中点，∴BD=CD，

又∵S△ABD=•BD•AE，S△ADC=•CD•AE，∴S△ABD=S△ADC．故答案为相等； （2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F． ∵E是AB的中点，∴AE=BE．

∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE．在△DAE与△FBE中，

，

∴△DAE≌△FBE（AAS），

∴DE=FE，S△DAE=S△FBE，∴E是DF中点，

∴S△DEC=S△FEC=S△BFE+S△EBC=S△ADE+S△EBC，∴S△DEC=S△ADE+S△EBC； （3）如图所示：

取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，取CF的中点G，作直线DG，则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．

10.解答：

解：（1）如图①，证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线， ∴DE=DF ∴

；

（2）∵BD=CD，∴S△ABD=S△ACD由（1）的结论，∴，∴AB=AC；

（3）如图③，过A作AE⊥BC，垂足为E， ∵

，∴

由（1）的结论

，∴

，∴BD=

，DC=．

11.解

（1）证明：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， 答：

∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°，

83

∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD，∴∠ACE=∠DCB， ∵在△ACE和△BCD中

，∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠CAB=45°，

设AE=x，AD=y，∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠B=45°，AE=BD=x，∴∠EAD=45°+45°=90°， ∵AB=4，∴x+y=4，① 在Rt△EAD中，DE=，由勾股定理得：x2+y2=10，② 由①②得：（x+y）2﹣2xy=10，42﹣2xy=10，xy=3， ∴△ADE的面积是AE×AD=xy=．

12.

解：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．

若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°﹣∠ACO﹣∠CAO=90°． 在等腰Rt△ABC中，AB=12，则AC=BC=6．同理可求得：AO=OC=6． 在Rt△AOD1中，OA=6，OD1=CD1﹣OC=8， 由勾股定理得：AD1=10．故答案为：10．

13：

解：①如图：

因为CD=

=

，点D是斜边AB的中点，所以AB=2CD=2

，

②如图：因为CE=

=5，

点E是斜边AB的中点，所以AB=2CE=10， 综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是4

或10，故答案是：2

或10．

84

1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）

A． B． C．1 D．

2．在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y=﹣x+3，直线y=4和直线x=1所围成的区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为R（2，2），则QP+QR的最小值为（ ） A． B． C． D．4

3．如图，A（0，﹣），点B为直线y=﹣x上一动点，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（1，﹣1） C．（，﹣） D．（，﹣）

4．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．若点Q（m，n）也是直线l上的点，则2m﹣n+3的值等于（ ）

A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6

5．如图①，点D为一等腰直角三角形纸片的斜边AB的中点，E是BC边上的一点，将这张纸片沿DE折成如图②，使BE与AC边相交于点F，若图①中AB=，则图②中△CEF的周长为 ．

6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连结AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y=﹣x上有一动点Q，连结OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为 ．

7．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为 ．

8.如图所示，在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为 ．

85

9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．

10．如图，已知一次函数y=﹣x+4与两坐标轴分別交于A、B两点，动点P从原点0出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，连接AP，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PAB的面积为6？

（2）若t＜4，作△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时Q的坐标．

11．如图，一次函数y=x﹣2的图象分别与x轴．y轴交于点A．B，以线段AB为边在第四象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，求过B、C两点直线的解析式．

13．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长的最小值是 ．

14． 一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，且每秒移动一个单位，那么第2008秒时质点所在位置的坐标是（ ）

86

A． （16，16） B． （44，44） C． （44，16） D． （16，44） 15．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ．

16．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．

（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

补充2题：（要求：快速口算）

87

1. 已知：点A（1，3），B（（-1，0），C（4，1），D为平面直角坐标系上一点，若A，B，C，D为顶点的平行四边形，求D的坐标。

2. 已知：点A（1，3），B（t，0），C（4，1），D为平面直角坐标系上一点，若A，B，C，D为顶点的平行四边形，求D的坐标。

1．解：设Q是AB的中点，连接DQ，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

88

即∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC=2，O为AC中点，∴AQ=AO， 在△AQD和△AOE中，

，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD=OE，

∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°， ∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，∴QD=∵QB=AB=1，∴QD=

，∴线段OE的最小值是为

QB，

．故选B．

2．解：当点P在直线y=﹣x+3和x=1的交点上时，

作P关于x轴的对称点P′，连接P′R，交x轴于Q，此时PQ+QR最小，连接PR， ∵PR=1，PP′=4，∴P′R==， ∴QP+QR的最小值为

．故选A．

3．解：∵A（0，﹣），点B为直线y=﹣x上一动点，

∴当AB⊥OB时，线段AB最短，此时点B在第四象限，作BC⊥OA于点C，∠AOB=45°，如下图所示：

∴OC=CB=OA，∴点B的坐标为（）故选D．

4．解：设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上，∴当a=1时，P（0，﹣1），

89

当a=2时，P（1，1），∴，解得，∴直线l的解析式为y=2x﹣1．

∵点Q（m，n）也是直线l上的点，∴2m﹣1=n， ∴2m﹣n+3=2m﹣（2m﹣1）+3=4．故选A．

5．解：如图，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，连接DF．

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=B′D

，

∴CD=DB′=AD=DB，∠DCB=∠DCA=45°，∠B′=∠B=∠DCA=45°． ∴DH=DM=DN，∴∠DFM=∠DFN， ∵∠BFM=∠EFC，∴∠DFB=∠DFC， 在△DFB和△DFC中，

，∴△DFB≌△DFC，∴CF=BF，

∵△EFC的周长=EF+CF+EC=（EF+FB）+EC=EB′+EC=CB′， ∵AB′=

，∴CB′=AB′•cos45°=

×

=

，故答案为

．

6．解：方法一：∵点Q在直线y=﹣x上，∴设点Q的坐标为（m，﹣m）． ∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），∴△AOB为等腰直角三角形， 点O（0，0）到AB的距离h=OA=

．

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，∴有，解得

．

即直线AB的解析式为y=﹣x+2，

∵直线y=﹣x+2与y=﹣x平行，∴点P到底OQ的距离为（平行线间距离处处相等）．∵△OPQ的面积S△OPQ=OQ•h=OQ=

，∴OQ=2．

由两点间的距离公式可知OQ=

=2，解得：m=±

，

∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．

故答案为：（，﹣）或（﹣，）．

方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，

∵△OPQ的面积为，∴△OPQ的高为，即点Q的横坐标为﹣， ∵点Q在直线y=﹣x上，∴点Q的坐标为（﹣，）； 当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（，﹣）． 综上即可得出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）． 7．解：将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF， ∴CF=BM，AF=AM，∠B=∠ACF．∠2=∠3，

∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∠BAC=90°，

90

∵∠MAN=45°，∴∠NAF=∠1+∠3=∠1+∠2=90°﹣45°=45°=∠NAF， 在△MAN和△FAN中

∴△MAN≌△FAN，∴MN=NF，

∵∠ACF=∠B=45°，∠ACB=45°，∴∠FCN=90°，

∵CF=BM=1，CN=3，∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN=NF=

=．

8．解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图： ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），

∴BD=CD′，∠DAD′=90°， 由勾股定理得DD′==3，∠D′DA+∠ADC=90°， 由勾股定理得CD′=

=

，∴BD=CD′=

．

9．解：∵A（0，4），B（﹣3，0）， ∴OA=4，OB=3， 在Rt△OAB中，AB==

=5，

∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处， ∴BA′=BA=5，CA′=CA，∴OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2， 设OC=t，则CA=CA′=OA﹣OC=4﹣t，

在Rt△OA′C中，由勾股定理得：OC2+OA′2=CA′2，

即t2+22=（4﹣t）2，解得：t=，∴C点坐标为（0，）．

10．解：（1）∵当x=0时，y=4；当y=0时，x=8，∴A（0，4），B（8，0）． ∵△PAB的面积为6，∴PB=3．

∵OP=2t，∴当点P在点B的左侧时，PB=8﹣2t；当点P在点B的右侧时，PB=2t， 91

∴t=或t=；

（2）作△PAB中AP边上的高BQ，在△AOP与△BQP中， ∵

，∴△AOP≌△BQP（AAS），∴AP=BP．

在Rt△AOP中，∵OP2+OA2=AP2，即42+（2t）2=（8﹣2t）2，解得t=， ∴当t=时，BQ的长为4，∴Q（

，﹣

）．

11．解：对于一次函数y=x﹣2，令x=0得：y=﹣2；令y=0，解得x=3， ∴B的坐标是（0，﹣2），A的坐标是（3，0），

作CD⊥x轴于点D，如图所示：

∵∠BAC=90°，∴∠OAB

+∠CAD=90°，

又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠BAO． 在△ABO与△CAD中，

，∴△ABO≌△CAD（AAS），

∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5，∴C的坐标是（5，﹣3），

设直线BC的解析式是y=kx+b， 根据题意得：，解得：，∴直线BC的解析式是y=﹣x﹣2．

13

解：取AC的中点O，

∵在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，∴点D在以AC为直径的圆上，∴当D点在OB上时，BD的值最小，在Rt△BOC中，OC=AC=3，BC=4，

92

∴OB=

14

=5，∴BD的值最小为5﹣3=2．故答案为2．

解：由观察及归纳得到，箭头指向x轴的点从左到右依次为：0，3，4，15，16，35，36… 我们所关注的是所有偶数的平方均在x轴上，且坐标为k，便对应第k2个点，且从k2向上走k个点就转向左边，如22向上走2便转向；

箭头指向y轴的点依次为：0，1，8，9，24，25…

我们所关注的是所有奇数的平方均在y轴上，且坐标为k，便对应第k2个点，且从k2向右走k个点就转向下边，如

52向右走5便转向；

因为2008=442+72，所以先找到（44，0）这是第1936个点，还有72步，向上走44步左转，再走28步到达，距y轴有44﹣28=16个单位，所以第2008秒时质点所在位置的坐标是（16，44）． 故选D．

15

解：连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB，

∵AB=AE，∠BAC=∠EAC，∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高， ∴EG=GB，EB=2EG，BG=

=

=

，

设E（x，y），则有：EF2=AE2﹣AF2=BE2﹣BF2即： 82﹣x2=（

）2﹣（8﹣x）2，解得：x=

，y=EF=，

∴E点的坐标为：（

，

）．故答案为：（

，

）．

16（1）∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN． 又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON=（∠AOC﹣∠MON）=（90°﹣45°）=22.5°．

∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°﹣22.5°=22.5°． （2）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点，

则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN． ∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN． 又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN， ∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4． ∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

93

1．如图，己知△ABC中，∠ABC=50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（ ）

A．100° B．105° C．115° D．无法确定

2．如图，∠MON=90°，点B在射线ON上且OB=2，点A在射线OM上，以AB为边在∠MON内部作正方形ABCD，其对角线AC、BD交于点P．在点A从O点出发，沿射线OM的运动过程中，下列说法正确的是（ ）

A．点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最小值等于 B．点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最大值等于 C．点P不一定在∠MON的平分线上，但线段OP的长有最小值等于 D．点P运动路径无法确定

3．在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（ ）

A．2 B．4 C． D．2

5．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）

A．50 B．62 C．65 D．68

6．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为 ．

7.若直线l1：y=ax+b（a≠0）与直线l2：y=mx+n （m≠0）的交点坐标为（﹣2，1），则直线l3：y=a（x﹣3）+b+2（a≠0）与直线l4：y=m（x﹣3）+n+2（m≠0）的交点坐标为 ．

94

8．如图，△ABO为等腰直角三角形，A（﹣4，0），直角顶点B在第二象限．点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是 ．

9．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．

求证：△BEC≌△CDA． 模型应用：

（1）已知直线l1：y=x+4与y轴交与A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．

（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．

10．如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A． （1）求A点坐标； （2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则P点坐标是 ； （3）在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

95

11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（16，0）、B（16，16），C（0，16），D（0，﹣4），点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB运动到点B停止，过点E且与AD平行的直线l与y轴相交于点F，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）设t=6时，求直线l的函数表达式；

（2）若点E运动t秒后，直线l与x轴相交于点N，且CN=CE，求t的值；

（3）记EF的中点为P，请你探求线段OP随点E运动所形成的图形，说明理由并求其面积．

12．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n）， （1）则n= ，k= ，b= ；

（2）函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值，则x的取值范围是 （3）求四边形AOCD的面积；

（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

96

13．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a． （1）当b=3时，

①求直线AB的解析式；

②若QO=QA，求P点的坐标．

（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．

14．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．

小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）． 请回答：

（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ； （2）BC和AC、AD之间的数量关系是 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的长．

97

1．解：∵∠ABC=50°，∴∠BAC+∠ACB=130°，

∵若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM=PM，PN=CN， ∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，

∵∠APC=180°﹣∠APM﹣∠CPN=180°﹣∠PAC﹣∠ACP， ∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=

130°=65°，∴∠APC=115°，故选C．

2．解：作PE⊥ON、PF⊥OM垂足分别为E、F，

∠PEB=∠PFA=90°，

∵ABCD是正方形，∴PA=PB，

∵∠BOA=∠BAC=90°，∴∠DAM=∠OBA，∠POD=∠PBA=45°， ∴∠DMA+∠POD=∠PBA+∠OBA，即∠PBE=∠PAF， 在△PBE与△PAF中，

，∴△PBE≌△PAF，∴PE=PF，

即P在∠MON的平分线上，

当点A在点O时，OP最小，此时，OP是正方形ABCD的对角线的一半，而此时，正方形的边长为2，OP=3．解：如图，

OB=，故选A

∵AB所在的直线是y=x，∴设AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+b， ∵点A（1，1），B（3，3），∴AB的中点坐标是（2，2）， 把x=2，y=2代入y=﹣x+b，解得b=4，

∴AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+4，∴C1（4，0）

以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3； AB==2，

∵2＜3，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．

综上，可得若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3． 故选：B．

4．解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，

98

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG， ∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°， ∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，

，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，

设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，

在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2=（6+x）2，解得x=4．故选：B．

5．解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°， ∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，

∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF． 同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．

故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．故选A．

6．解：如图，过D作DF⊥x轴于F， ∵点B的坐标为（4，8），∴AO=4，AB=8， 根据折叠可知：CD=OA，

而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=4， 设OE=x，那么CE=8﹣x，DE=x，

∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（8﹣x）2=x2+42，∴x=3， 又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF， 而AD=AB=8， ∴AE=CE=8﹣3=5，∴∴DF=

，AF=

=

=

，即

，

，

）．

，∴OF=﹣4=，∴D的坐标为（﹣

7．解：把（﹣2，1）分别代入y=ax+b、y=mx+n得﹣2a+b=1，﹣2m+n=1，∴2（a﹣m）=b﹣n， 解

①﹣②得（a﹣m）（x﹣3）+（b﹣n）=0，∴x﹣3=﹣2，∴x=1， 把x=1代入y=a（x﹣3）+b+2得y=﹣2a+b+2=1+2=3，

∴直线l3：y=a（x﹣3）+b+2（a≠0）与直线l4：y=m（x﹣3）+n+2（m≠0）的交点坐标（1，3）

8．解：当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示， ∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO=4，

99

∴BC=BE=AE=EO=GF=OA=2，OF=DG=BG=CG=BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（﹣1，3）； 当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=2，即D（0，2）， 设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0）， 将两点坐标代入得：

，解得：

．

则这条直线解析式为y=﹣x+2，当D（﹣1，1）和D（﹣2，0）于是得到y=x+2，

9．（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB=CA，

又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D=∠E=90°，∠ACD+∠BCE=180°﹣90°=90°， 又∵∠EBC+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠EBC， 在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△EBC（AAS）；

（2）解：过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图1， ∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰Rt△，

由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD=AO，CD=OB，

∵直线l1：y=x+4，∴A（0，4），B（﹣3，0），∴BD=AO=4．CD=OB=3， ∴OD=4+3=7，∴C（﹣7，3）， 设l2的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴

，∴

，∴l2的解析式：y=x+4；

（3）当点D位于直线y=2x﹣6上时，分两种情况： ①点D为直角顶点，分两种情况：

当点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，2x﹣6）；

则OE=2x﹣6，AE=6﹣（2x﹣6）=12﹣2x，DF=EF﹣DE=8﹣x；

则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：12﹣2x=8﹣x，x=4；∴D（4，2）； 当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x﹣6）；

则OE=2x﹣6，AE=OE﹣OA=2x﹣6﹣6=2x﹣12，DF=EF﹣DE=8﹣x； 同1可知：△ADE≌△DPF，∴AE=DF，即：2x﹣12=8﹣x，x=②点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部； 设点D（x，2x﹣6），则CF=2x﹣6，BF=2x﹣6﹣6=2x﹣12； 同（1）可得，△APB≌△PDF，

∴AB=PF=8，PB=DF=x﹣8；∴BF=PF﹣PB=8﹣（x﹣8）=16﹣x； 联立两个表示BF的式子可得： 2x﹣12=16﹣x，即x=

；∴D（

，，

）；

，

）．

；∴D（

，

）；

综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形； 且D点的坐标为：（4，2），（

），（

100

10解：（1）解方程组：

得：

∴A点坐标是（2，3）；

（2）设P点坐标是（0，y），

∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，∴OP=PA， ∴22+（3﹣y）2=y2，解得y=，∴P点坐标是（0，

），

（3）存在；

由直线y=﹣2x+7可知B（0，7），C（，0）， ∵S△AOC=××3=

＜6，S△AOB=×7×2=7＞6，

∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y），当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD=x， ∴S△OBQ=S△OAB﹣S△OAQ=7﹣6=1， ∴OB•QD=1，即×7x=1，∴x=， 把x=代入y=﹣2x+7，得y=

，∴Q的坐标是（，

），

当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD=﹣y， ∴S△OCQ=S△OAQ﹣S△OAC=6﹣

=，

∴OC•QD=，即××（﹣y）=，∴y=﹣， 把y=﹣代入y=﹣2x+7，解得x=

，∴Q的坐标是（，﹣），

11．解：（1）当t=6时，AE=6，直线l可以看成直线AD向上平移了6个单位， 设直线AD的表达式为：y=kx+b，

101

将A（16，0）、D（0，﹣4）代入得：，解得：，

∴直线AD的表达式为y=x﹣4，则此时直线l的表达式为y=x+2； （2）由题意得：0＜t≤16，直线l的表达式为y=x﹣4+t， 可得N坐标为（16﹣4t，0），

∵CN=CE，∴（16﹣4t）2+162=162+（16﹣t）2， 整理得：15t2=96t，即3t（5t﹣32）=0， ∵t≠0，∴t=

；

（3）如图1所示，

根据题意得：E（16，

t）、F（0，﹣4+t）， 则EF的中点P坐标为（8，t﹣2），

∴P点作直线运动，分别将P点的起始位置记作：P1、P2， ∴线段OP随点E运动形成的图形为△OP1P2， ∵0＜t≤16，∴P1（8，﹣2），P2（8，14），∴P1P2=16， 则△OP1P2的面积S=×16×8=64．

12 解：（1）对于直线y=x+1，令x=0，得到y=1，即A（0，1）， 把B（0，﹣1）代入y=kx+b中，得：b=﹣1，

102

把D（1，n）代入y=x+1得：n=2，即D（1，2），

把D坐标代入y=kx﹣1中得：2=k﹣1，即k=3，故答案为：2，3，﹣1； （2）∵一次函数y=x+1与y=3x﹣1交于D（1，2），

∴由图象得：函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值时x的取值范围是x＞1； 故答案为：x＞1；

（3）过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示，

则S四边形AOCD=S梯形AOED﹣S△CDE=（AO+DE）•OE﹣CE•DE=×（1+2）×1﹣××2=﹣=； （4）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，理由为： 如图2所示，分两种情况考虑：

①当P′D⊥DC时，可得kP′D•kDC=﹣1，

∵直线DC斜率为3，∴直线P′D斜率为﹣，

∵D（1，2），∴直线P′D解析式为y﹣2=﹣（x﹣1）， 令y=0，得到x=7，即P′（7，0）；

②当DP⊥CP时，由D横坐标为1，得到P横坐标为1， ∵P在x轴上，∴P的坐标为（1，0）． 13．解：（1）①由A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入得：则直线AB解析式为y=﹣x+3；

②∵QA=QO，OA=4，∴xQ=2，

∵点P关于y轴的对称点为Q，∴xP=﹣2，

代入直线AP解析式得﹣×（﹣2）+3=，则P坐标得P（﹣2，）； （2）①若∠QAC=90°，如图1所示，

，解得：k=﹣，b=3，

∴xQ=4，∴a=xP=﹣4，

∴AC=AQ=8，即P（﹣4，8），∴直线AP解析式为y=﹣x+4，∴a=﹣4，b=4； ②若∠AQC=90°，如图2所示，则AC=4﹣a=2CH=﹣4a，∴a=﹣，

∴xP=﹣，yP=yq=，即P（﹣，），∴直线AP解析式为y=﹣x+2，∴a=﹣，b=2， ③P、Q重合于（0，4）时，△QCA也是等腰直角三角形，此时a=0，b=4 14解：（1）△ADC≌△A′DC；理由如下： ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠A′CD，

103

在△ADC和△A′DC中，，∴△ADC≌△A′DC（SAS）；

（2）BC=AC+AD；理由如下：

由（1）得：△ADC≌△A′DC，∴DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°， ∵∠ACB=90°，∴∠B=90°﹣∠A=30°，

∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，∠∠BDA′=30°=∠B，∴DA′=BA′，∴BA′=AD， ∴BC=CA′+BA′=AC+AD；

解决问题 如图，在AB上截取AE=AD，连接CE，如图3所示： ∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠EAC． 在△AEC和△ADC中，

，∴△ADC≌△AEC（SAS），

∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC，

过点C作CF⊥AB于点F，∴EF=BF， 设EF=BF=x．

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF2=CB2﹣BF2=102﹣x2，

在Rt△CFA中，∠CFA=90°，由勾股定理得CF2=AC2﹣AF2=172﹣（9+x）2． ∴102﹣x2=172﹣（9+x）2，解得：x=6， ∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21， ∴AB的长为21．

1．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）

A．y=﹣x B．y=﹣x C．y=﹣x D．y=﹣x

2．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于（ ）

104

A． B． D．无法确定 C．

3．在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在坐标轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，则点P的坐标为（ ）

A．（0，1） B．（0，2） C．（，0） D．（0，2）或（，0）

4.已知点A（1，5），B（3，﹣1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为 ．

5.如图，P是矩形ABCD内一点，若PA=3，PB=4，PC=5，则PD= ．

6.如图，在一张长为5cm，宽为4cm的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为3cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上），则剪下的等腰三角形的底边的长为 cm．

7．已知：△ABC中，AB=13，AC=9，BC=4，BD⊥AC于D． （1）求线段BD的长；

（2）点P为射线BC上一动点，若△BDP为等腰三角形，求BP的长．

8．如图1，在△ABC中，AB=AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形． （1）求证：直线AG垂直平分BC；

（2）以AB为一边作等边△ABE（如图2），连接EG、EC，试判断△EGC是否构成直角三角形？请说明理由．

105

9．已知甲、乙两地相距3200m，小王、小李分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人相遇后立即返回到各自的出发地并停止行进．已知小李的速度始终是60m/min，小王在相遇后以匀速返回，但比小李晚回到原地．在整个行进过程中，他们之间的距离y（m）与行进的时间t（min）之间的函数关系如图中的折线段AB﹣BC﹣CD所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）a= ，b= ；

（2）当t为何值时，小王、小李两人相距800m？

10．如图1，某物流公司恰好位于连接A，B两地的一条公路旁的C处．某一天，该公司同时派出甲．乙两辆货车以各自的速度匀速行驶．其中，甲车从公司出发直达B地；乙车从公司出发开往A地，并在A地用1h配货，然后掉头按原速度开往B地．图2是甲．乙两车之间的距离S（km）与他们出发后的时间x（h）之间函数关系的部分图象．

（1）由图象可知，甲车速度为 km/h；乙车速度为 km/h．

（2）已知最终乙车比甲车早到B地0.5h，求甲车出发1.5h后直至到达B地的过程中，S与x的函数关系式及x的取值范围，并在图2中补全函数图象．

11．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km．当两车均到达各自终点时，运动停止．如图是y与x之间函数关系的部分图象．

（1）由图象知，慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h； （2）请在图中补全函数图象；

（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．

106

12．【阅读】如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，

∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．

【理解】

若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]； 【尝试】

（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；

（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．

13．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，求点C的坐标和周长．

107

14．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，直线y=x与直线MN交于点P，已知AC=10，OA=8． （1）求P点坐标；

（2）作∠AOP的平分线OQ交直线MN与点Q，点E、F分别为射线OQ、OA上的动点，连结AE与EF，试探索AE+EF是否存在最小值？若存在，请直接写出这个最小值；若不存在请说明理由；

（3）在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出G点的坐标.

1．∴直线l解析式为y=﹣

x，故选D．

108

2．故选A．

3．解：∵线段AB的长度是确定的，

∴△PAB的周长最小就是PA+PB的值最小， ∵3＜5，∴点P在y轴上，

如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P， ∵A（1，1），∴A′（﹣1，1）， 设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），∴

，解得

，

∴直线A′B的解析式为y=x+2，当x=0时，y=2，∴P（0，2）． A′B==4； 如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P， ∵A（1，1），∴A′（1，﹣1）， 设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），∴∴直线A′B的解析式为y=3x﹣4， 当y=0时，x=，∴P（，0）．A′B=∵4

，解得，

=2．

＜2，故选B．

4．解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM﹣BM=AM﹣B′M=AB′．

不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B′． 则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．

109

∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大． ∵B′是B（3，﹣1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）．

设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：

，解得

，∴直线AB′解析式为y=﹣2x+7．

令y=0，解得x=，∴M点坐标为（，0）．

5解：过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H． 设AG=DH=a，BG=CH=b，AE=BF=c，DE=CF=d， 则

于是AP2+CP2=BP2+DP2，又PA=3，PB=4，PC=5， 故DP2=AP2+CP2﹣BP2=32+52﹣42=18，则DP=3．

6．解：分三种情况计算： （1）当AE=AF=3时，如图：

∴EF==3；

=2；

=

（2）当AE=EF=3时，如图： 则BE=4﹣3=1，BF==∴AF

=

=2

（3）当AE=EF=3时，如图： 则DE=5﹣3=2，DF==

，

，∴AF===，

7．解：（1）设AD=x，则CD=9﹣x，∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°， 由勾股定理得：AB2﹣AD2=BD2=BC2﹣CD2， ∴，解得：x=5，∴BD==12； （2）∵△BDP为等腰三角形，∴分三种情况： ①若BD=BP，则BP=12，

110

②若DP=DB，过点D作DE⊥BC于点E，如图1所示： ∵

∴

，∴

，

∵BD=DP且DE⊥BC，∴BP=2BE=

，

③若PD=PB，如图2所示：∵PD=BP，∴∠1=∠2，

∵∠BDC=90°，∴∠2+∠3=90°且∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4 ∴PD=PC，∴BP=PC，∴BP=BC=

，

8．（1）证明：∵△GBC为等边三角形，∴GB=GC，

∴点G在BC的垂直平分线上，

又∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，

∴直线AG垂直平分BC； （2）解：△EGC能构成直角三角形；理由如下： ∵△GBC和△ABE为等边三角形，

∴GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG=60°，∴∠EBC=∠ABG， 在△EBC和△ABG中，

，∴△EBC≌△ABG（SAS），∴∠ECB=∠AGB，∵GB=GC且AG⊥BC，∴∠AGB=∠BGC=30°∴∠ECB=30°，∴∠ECG=90°，

即△EGC构成直角三角形．

9．解：（1）由题意得：小李出发到返回时间相等， 由图可知：a=2×20=40，3200﹣20×60=2000，（2000﹣400）÷20=80，400÷80=5， ∴b=40+5=45，故答案为：40，45； （2）设AB的解析式为：y=kx+b， 把A（0，3200），B（20，0）代入得：，解得：

，

∴AB的解析式为：y=﹣160x+3200， 当y=800时，800=﹣160x+3200，x=15， 设CD的解析式为：y=kx+b，

把C（40，2800），B（20，0）代入得：，解得：

，

∴AB的解析式为：y=140x﹣2800， 当y=800时，800=140x﹣2800，x=

，

10．解：（1）∵乙在A地用1h配货， ∴0.5小时～1.5小时为甲独自行驶，

∴甲的速度=（100﹣60）÷（1.5﹣0.5）=40km/h， 乙的速度为：60÷0.5﹣40=80km/h；

（2）设从1.5小时后两车相遇的时间为t小时， 由题意得，80t﹣40t=100，解得t=2.5，1.5+2.5=4，

此过程中，S=40（x﹣1.5）+100﹣80（x﹣1.5）=﹣40x+160（1.5≤x≤4），

111

设甲车到达B地的时间为m，

由题意得，80（m﹣0.5）﹣100=40m，解得m=3.5， 3.5+1.5=5小时，5﹣0.5=4.5小时，

乙车到达B地前，S=80（x﹣4）﹣40（x﹣4）=40x﹣160（4＜x≤4.5）， 乙车到达B地后，S=40（5﹣x）=﹣40x+200（4.5＜x≤5）， 综上所述，S=

补全函数图形如图所示．

，

11．解：（1）先出发的车的速度是（480﹣440）÷0.5=80km/h，

两车的速度的和是440÷（2.7﹣0.5）=200km/h，则另一辆车的速度是120km/h． 则慢车的速度是80km/h，快车120km/h． （2）如下图，注意端点值．

（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km． 即（80+120）×（x﹣0.5）=440﹣300，解得x=1.2（h）；（8分） 或（80+120）×（x﹣2.7）=300，解得x=4.2（h）．（10分）故x=1.2 h或4.2 h，两车之间的距离为300km．

12解：（1）连接CD并延长，交OA延长线于点F． 在△BCD与△AFD中，

，∴△BCD≌△AFD（ASA）．

∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，∴OD=CF=CD． 又由折叠可知，OD=OC， ∴OD=OC=CD，

∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°，∴θ=∠COD=30°；

112

（2）∵点E四边形OABC的边AB上， ∴AB⊥直线l

由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．

∵θ=45°，AB⊥直线l，∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AD=DE=2，∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5；

由图可知，当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．

13．解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小，

∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4， 则B′E=4，即B′E=AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O=C′O=3，

∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小为AB′+AB=+

=4+2．

12解：（1）∵AC=10，OA=8， ∴OC===6，∴C（0，6）； 设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）， ∵点A、C都在直线MN上，∴∴直线MN的解析式为y=﹣x+6，

∵P为y=﹣x+6与直线y=x的交点．∴﹣x+6=x，解得：x=（2）如图1所示：

，∴p的坐标为（

，

）；

，解得：

，

113

作出A关于射线OQ的对称点A′，可得OA′=OA=8，过A′作A′F⊥OA，交射线OQ于点E，角射

线OA于点F，

此时A′E+EF=AE+EF存在最小值，在Rt△A′OF中，∠A′OF=45°，

设A′F=OF=x，根据勾股定理得：x2+x2=82，解得：x=4，则最小值为4； （3）如图2所示：

∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意得：

B（（8，6）， ∵P在直线MN：y=﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6），

在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形， 分三种情况考虑：

①当PC=PB时，P点为BC垂直平分线与MN交点，此时P1（4，3）； ②当PC=BC=8时，根据两点间的距离公式得：a2+（﹣a+6﹣6）2=64，解得：a=±，此时P2（﹣

，

），P3（

，）；

③当PB=BC=8时，根据两点间的距离公式得：（a﹣8）2+（﹣a+6﹣6）2=64， 解得：a=

，可得﹣a+6=﹣

，此时P4（

，﹣

），

则符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣

，

），P3（

，），P4（

，﹣

）．

114

1．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP=90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（ ）

A．3≤m≤4 B．2≤m≤4 C．0≤m≤ D．0≤m≤3

2.已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（﹣2，0），则不等式ax＞b的解集为（ ）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2

3.如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An；函数y=2x的图象与直线l1⊥x，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2013=（ ）

A．2012.5 B．2013 C．2013.5 D．2014

4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是 ．

5．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC的长是 cm．

6．如图，点Q在直线y=﹣x上运动，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，2），当AQ+BQ最短时，点Q的坐标为 ．

7．如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ACB=30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于

115

E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．

8．如图1，正方形ABCD的边长为4厘米，E为AD边的中点，F为AB边上一点，动点P从点B出发，沿B→C→D→E，向终点E以每秒a厘米的速度运动，设运动时间为t秒，△PBF的面积记为S．S与t的部分函数图象如图2所示，已知点M（1，）、N（5，6）在S与t的函数图象上．

（1）求线段BF的长及a的值；

（2）写出S与t的函数关系式，并补全该函数图象； （3）当t为多少时，△PBF的面积S为4．

9．如图①，A，D分别在x轴，y轴上，AB∥y轴，DC∥x轴．点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周，若顺次连接P，O，D三点所围成的三角形的面积为S，点P运动的时间为t秒，已知S与t之间的函数关系如图②中折线O′EFGHM所示． （1）点B的坐标为 ；点C的坐标为 ；

（2）若直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，求PD的解析式．

10．如图，直线y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过

116

点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）． （1）求点A、B、C三点的坐标．

（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式．

15．某84消毒液工厂，去年五月份以前，每天的产量与销售量均为500箱，进入五月份后，每天的产量保持不变，市场需求量不断增加．如图是五月前后一段时期库存量y（箱）与生产时间t（月份）之间的函数图象．（五月份以30天计算）

（1）该厂 月份开始出现供不应求的现象．五月份的平均日销售量为 箱；

（2）为满足市场需求，该厂打算在投资不超过220万元的情况下，购买8台新设备，使扩大生产规模后的日产量不低于五月份的平均日销售量．现有A、B两种型号的设备可供选择，其价格与两种设备的日产量如下表：

A B 型 号

28 25 价格（万元/台）

50 40 日产量（箱/台）

请设计一种购买设备的方案，使得日产量最大；

（3）在（2）的条件下（市场日平均需求量与5月相同），若安装设备需5天（6月6日新设备开始生产），指出何时开始该厂有库存？

16．甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示． （1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式 ； （2）求乙组加工零件总量a的值；

117

（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？

17．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h； （2）解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标； （3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．

1．解：令y=0，则﹣x+3=0，解得x=4， 所以，点B的坐标为（4，0）， 过点C作CD⊥x轴于D，

设点C的坐标横坐标为a，则OD=a，PD=m﹣a，

118

∵∠OCP=90°，∴△OCD∽△CPD，∴=

，∴CD2=OD•DP，

∴（﹣a+3）2=a（m﹣a）， 整理得，m=

a+﹣，所以，m≥2

﹣=3，

∵点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），

∴OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，∴m的取值范围是3≤m≤4．故选A．

2．解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大，∴a＞0．

把点（﹣2，0），代入即可得到：﹣2a+b=0．即2a﹣b=0． 不等式ax＞b的解集就是求函数y=ax﹣b＞0， 故当x＞2时，不等式ax＞b成立．

则不等式ax＞b的解集为x＞2．故选C．

3．解：根据题意，An﹣1Bn﹣1=2（n﹣1）﹣（n﹣1）=2n﹣2﹣n+1=n﹣1， AnBn=2n﹣n=n，

∵直线ln﹣1⊥x轴于点（n﹣1，0），直线ln⊥x轴于点（n，0）， ∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn，且ln﹣1与ln间的距离为1， ∴四边形An﹣1AnBn Bn﹣1是梯形， Sn=（n﹣1+n）×1=（2n﹣1）， 当n=2013时，S2013=（2×2013﹣1）=

=2012.5．故选：A．

4．解：如图：作等腰直角三角形ABC关于AC的对称直角三角形ADC，

连接DE，与AC交于点P，根据两点之间，线段最短得到ED就是PB+PE的最小值， ∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°， ∴∠DAC=45°，∴∠DAE=90°，

∵B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE． ∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AD=AB=8， ∴DE===10．∴PB+PE的最小值为10．

5．故答案为：4

．

6．解：作A关于y=﹣x的对称点C，

119

则C点坐标为（0，﹣3），AQ+BQ=CQ+BQ， 当Q位于O点时，AQ+BQ取得最小值，

此时，AQ+BQ的最小值为BC=2+3=5．Q点坐标为（0，0）．

7．解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：

∵在Rt△CAD中，∠CAD=90°，P是斜边CD的中点，∴PA=PC=CD， ∴∠ACD=∠PAC，∴∠APD=∠ACD+∠PAC=2∠ACD， 同理：在Rt△CED中，PE=PC=CD，∠DPE=2∠DCB，

∴PA=PE，即△PAE是等腰三角形，

∴∠APE=2∠ACB=2×30°=60°，∴△PAE是等边三角形．

8．解：（1）根据题意可知，当点P在CD上时，△PBF的面积记为S=6， 则有：×BF×4=6，解得：BF=3，当t=1时，S=，BP=a， 则有：×BF×BP=，即

=，解得：a=1，

故线段BF的长为3，a的值为1；

（2）当0≤t≤4时，即点P在BC边上运动，S=×BF×BP=×3×t=t； 当4＜t≤8时，即点P在CD边上运动， 此时面积S=×BF×BC=×3×4=6；

当8＜t≤10时，即点P在线段DE上运动，S=×BF×AP=×3×（12﹣t）=18﹣t．

综上：S=；函数图象如下所示：

（3）当S=4时，t=4，t=．18﹣t=4，t=．故当t=或 t=时△PBF的面积S为4．

9．解：（1）由题意，可知点P的运动路线是：D→C→B→A→O→D，DC=5，BC=10﹣5=5，AB=12﹣10=2，AO=20﹣12=8，OD=26﹣20=6，所以点C的坐标为（5，6）； 如图①，过点B作BP⊥OD于P，过点C作CQ⊥BP于Q，则四边形DCQP、ABPO均为矩形，PQ=DC=5，CQ=DP=OD﹣AB=6﹣2=4，

在Rt△BCQ中，∵∠BQC=90°， ∴BQ===3，∴BP=BQ+PQ=3+5=8，∴点B的坐标为（8，2）； （2）设PD的解析式为y=kx+b．

120

∵五边形OABCD的周长为：5+5+2+8+6=26，

∴直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分时，点P的位置有两种可能的情况： ①如果点P在AB的中点，那么DC+CB+BP=5+5+1=11，PA+AO+OD=1+8+6=15，点P的为（8，1）． ∵P（8，1），D（0，6），∴

，解得

，∴PD的解析式为y=﹣x+6；

②如果点P在OA上，并且距离点A3个单位长度，那么DC+CB+BA+AP=5+5+2+3=15，PO+OD=8﹣3+6=11，点P的坐标为（5，0）． ∵P（5，0），D（0，6），∴

，解得

，∴PD的解析式为y=﹣x+6．

10．解：（1）由题意，得

∵直线y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，∴当y=0时，得0=﹣x+6，解得x=8， ∴A（8，0）当x=0时，得y=6，B（0，6）， ∵直线y=﹣x+6与直线与直线y=x交于点C，∴（2）∵A点坐标为（8，0）， 根据题意，得AE=t，OE=8﹣t

∴点Q的纵坐标为（8﹣t），点P的纵坐标为﹣（8﹣t）+6=t， ∴PQ=（8﹣t）﹣t=10﹣2t． 当MN在AD上时，10﹣2t=t，∴t=当0＜t≤当

．

，解得

，∴C（3，

）；

时，S=t（10﹣2t），即S=﹣2t2+10t．

＜t＜3时，S=（10﹣2t）2，即S=4t2﹣40t+100．

当t=3时，S=0．

当3＜t＜5时，S=3t2﹣30t+75．

11：

解：（1）该厂 6月份开始出现供不应求的现象； 五月份的平均日销售量=

=830箱；

（2）设A型x台，则B型为（8﹣x）台， 由题意得：

，解得

，

∵x为整数，∴x=1，2，3，4，5，6， 日产量w=500+50x+40（8﹣x）=10x+820，

∵10＞0，∴w随x的增大而增大，当x=6时，w最大为880箱，

121

12：

（3）设6月6日开始的x天后该厂开始有库存， 由题意得：880x﹣830x﹣5×330＞0， 解得x＞33，

故7月9日开始该厂有库存． 解：（1）∵图象经过原点及（6，360），∴设解析式为：y=kx，∴6k=360， 解得：k=60，∴y=60x（0＜x≤6）； 故答案为：y=60x（0＜x≤6）； （2）乙2小时加工100件，

∴乙的加工速度是：每小时50件，

∴乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍． ∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工50×2=100件， a=100+100×（4.8﹣2.8）=300；

（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为： y=100+100（x﹣2.8）=100x﹣180， 当0≤x≤2时，60x+50x=300，解得：x=当2＜x≤2.8时，100+60x=300，解得：x=

（不合题意舍去）； （不合题意舍去）；

13：

∵当2.8＜x≤4.8时，60x+100x﹣180=300，

解得x=3，∴经过3小时恰好装满第1箱． 解：（1）（480﹣440）÷0.5=80km/h，440÷（2.7﹣0.5）﹣80=120km/h， 所以，慢车速度为80km/h，快车速度为120km/h；故答案为：80；120． （2）快车到达乙地（出发了4小时快车慢车相距360KM时甲车到达乙地）； ∵快车走完全程所需时间为480÷120=4（h），∴点D的横坐标为4.5， 纵坐标为（80+120）×（4.5﹣2.7）=360，即点D（4.5，360）；

（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km． 即相遇前：（80+120）×（x﹣0.5）=440﹣300，解得x=1.2（h）， 相遇后：（80+120）×（x﹣2.7）=300，解得x=4.2（h）， 故x=1.2 h或4.2 h，两车之间的距离为300km．

1．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=3，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于3，则α= ．

122

2．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示），点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交点D，连接OD，设P在x轴的正半轴上，若△POD为等腰三角形，则点P的坐标为 ．

3．如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，OC：OA=1：3．

（1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为xE、xF，当BD平分△BEF的面积时，求xE+xF的值； （3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．

4．对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把 |x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）． （1）令P0（2，﹣3），O为坐标原点，则d（O，P0）= ；

123

（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；

（3）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离． 若P（a，﹣3）到直线y=x+1的直角距离为6，求a的值．

5．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．

（1）求直线l2的函数关系式； （2）求△ADC的面积；

（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

6．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元

（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式；

②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．

7.小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图．

124

（1）图中a= ，b= ；（2）求小明的爸爸下山所用的时间．

8．湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆都不少于3辆．

（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，根据下表提供的信息，求出y与x之间的函数关系式；

A B C 椪柑品种

10 8 6 每辆汽车运载量（吨）

1200 1000 每吨椪柑获利（元） 800

（2）在（1）条件下，求出该函数自变量x的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案； （3）为了减少椪柑积压，湘西州制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴．若要使该外地运销客户所获利润W（元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W（元）的最大值？ 9．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象． （1）求出图中m，a的值；

（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围； （3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．

125

10．一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题： （1）甲乙两地之间的距离为 千米； （2）求快车和慢车的速度；

（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

1．解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小． 连接OC，OD，PE，PF．

∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC， ∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，

同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．

126

∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=3，∴∠COD=2α． 又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=3，

∴OC=OD=CD=3，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．

2．解：∵点A的坐标为（1，0），点B与点A关于原点对称∴B点坐标（﹣1，0）； ∵直线y=x+b（b为常数）经过点B（﹣1，0）， ∴直线y=x+b（b为常数）的解析式 y=x+1 ∵点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示），∴直线CM为y=4

∵直线y=x+1（b为常数）经过点B，且与直线CM：y=4 相交点D，∴D点坐标是（3，4）； 当OD=OP=5时，P点坐标是（5，0）；当OD=PD=5时，P点坐标是（6，0）；当OP=PD=P点坐标是（

，0）

，0）．

时，

综上所述，P点坐标是（5，0）；（6，0）；（

3．解：（1）∵a2+b2﹣12a﹣12b+72=0， ∴（a﹣6）2+（b﹣6）2=0，∴a=b=6， ∴A（6，0），B（0，6），∴OA=6，且OC：OA=1：3，∴OC=2，∴C（﹣2，0）； （2）如图2，过F、E分别向x轴引垂线，垂足分别为M、N，

∵当BD平分△BEF的面积，∴D为EF中点，∴DF=DE， 在△FMD和△END中

∴△FMD≌△END（AAS），∴MD=ND，

即1﹣xF=xE﹣1，∴xE+xF=2；

（3）不改变，理由如下：

如图3，连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，过M作MS⊥x轴于点S， ∵M（2，4），C（﹣2，0），A（6，0），∴S（2，0），

∴MS垂直平分AC，∴MC=MA，且MS=SC，∴∠CMA=90°， ∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°，∴∠TCM=∠AMH， 在△CMT和△MAH中

∴△CMT≌△MAH（AAS），∴TM=AH，CT=MH，

又AH=HG，∴MT=GH，∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT，

∴△CGT是等腰直角三角形，∴∠CGM=45°，

即当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数不改变．

127

4．解：（1）根据题意得：d（O，P0）=|2﹣0|+|﹣3﹣0|=2+3=5； 故答案为：5；

（2）由题意，得|x|+|y|=1，

所有符合条件的点P组成的图形如图所示；

（3）∵P（a，﹣3）到直线y=x+1的“直角”距离为6， ∴设直线y=x+1上一点Q（x，x+1），则d（P，Q）=6， ∴|a﹣x|+|﹣3﹣x﹣1|=6，即|a﹣x|+|x+4|=6，

当a﹣x≥0，x≥﹣4时，原式=a﹣x+x+4=6，解得a=2；

当a﹣x＜0，x＜﹣4时，原式=x﹣a﹣x﹣4=6，解得a=﹣10， 综上，a的值为2或﹣10．

5.解：（1）设直线l

2的函数关系式为y=kx+b， ∵当x=4时，y=0；当x=3时，y=﹣，代入得：，解得：

，

则直线l2的函数关系式为y=x﹣6；

（2）由直线l1：y=﹣3x+3，直线l2：y=x﹣6联立求得：C（2，﹣3）， 令直线l1：y=﹣3x+3，y=0，得到x=1，即D（1，0），

∵AD=OA﹣OD=4﹣1=3，C纵坐标的绝对值为3，∴S△ADC=×3×3=；

（3）存在，这样的点有3种情况，如图所示， 过H1作H1P⊥x轴，过C作CQ⊥x轴，

∵四边形ACDH1为平行四边形，∴△CDQ≌△H1AP，

∴H1P=CQ=3，AP=DQ=OQ﹣OD=2﹣1=1，OP=OA﹣AP=4﹣1=3，∴H1（3，3）； ∵C（2，﹣3），AD=3，∴H2（﹣1，﹣3），H3（5，﹣3）， 综上，H点坐标是（3，3），（﹣1，﹣3），（5，﹣3）．

6解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得解得

答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元． （2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000， ②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，

∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数，

∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，

128

即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000， 33≤x≤70

①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． ②m=50时，m﹣50=0，y=15000，

即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；

③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，∴当x=70时，y取得最大值． 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．

7.解：（1）由图象可以看出图中a=8，b=280， 故答案为：8，280．

（2）由图象可以得出爸爸上山的速度是：280÷8=35米/分， 小明下山的速度是：400÷（24﹣8）=25米/分， ∴小明从下山到与爸爸相遇用的时间是：（400﹣280）÷（35+25）=2分， ∴2分爸爸行的路程：35×2=70米，

∵小明与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地． ∴小明和爸爸下山所用的时间：（280+70）÷25=14分．

8解：（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，则装C种椪柑的车辆是（15﹣x﹣y）辆．

则10x+8y+6（15﹣x﹣y）=120， 即10x+8y+90﹣6x﹣6y=120， 则y=15﹣2x； （2）根据题意得：

，解得：3≤x≤6．

则有四种方案：A、B、C三种的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆；或4辆、7辆、4辆；或5辆、5辆、5辆；或6辆、3辆、6辆；

（3）W=10×800x+8×1200（15﹣2x）+6×1000[15﹣x﹣（15﹣2x）]+120×50 =﹣5200x+150000，

根据一次函数的性质，当x=3时，W有最大值，是﹣5200×3+150000=134400（元）． 应采用A、B、C三种的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆．

9.解：（1）由题意，得m=1.5﹣0.5=1．120÷（3.5﹣0.5）=40，∴a=40． 答：a=40，m=1；

（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k1x，由题意，得40=k1，∴y=40x 当1＜x≤1.5时，y=40；

当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由题意，得

，解得：

，∴y=40x﹣20．y=

；

（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，由题意，得

129

，解得：，∴y=80x﹣160．

当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，解得：x=． 当40x﹣20+50=80x﹣160时，解得：x=

=，

答：乙车行驶小时或

．

小时，两车恰好相距50km．

．

10解：（1）由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米；故答案为：560；

（2）由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，相遇后停留了1个小时，出发后两车之间的距离开始增大知直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，

∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，∴（3x+4x）×4=560，x=20 ∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．

（3）由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60=240km，

当慢车行驶了8小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240﹣3×60=60km，∴D（8，60）， ∵慢车往返各需4小时，∴E（9，0）， 设DE的解析式为：y=kx+b，∴

，解得：

．

∴线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为：y=﹣60x+540（8≤x≤9）．

1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，6），以A为顶点的∠BAC的两边始终与x轴交于B、C两点（B在C左面），且∠BAC=45°．

（1）如图1，连接OA，当AB=AC时，试说明：OA=OB．

（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，当DC=2时，将∠BAC沿AC所在直线翻折，翻折后边AB交y轴于点M，求点M的坐标．

130

2．如图所示，要矩形纸片OABC放入直角坐标系xoy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC=

，

=，

（1）求A、C两点的坐标；

（2）求AC所在直线的解析式；

（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积． （4）求EF所在的直线的函数解析式；

（5）若过一定点P的任意一条直线h总能把矩形OABC的面积平均分成两部分，求定点P的坐标．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线． （1）若AC=1，BC=．求证：AD2+CF2=BE2；

（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）

131

4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点（不同于端点B、C），连接AG，过B、D两点作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F． （1）求证：△ABE≌△DAF；

（2）若△ADF的面积为，试求|BE﹣DF|的值．

5．已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．

6．如图，平面直角坐标系中画出了函数l1：y1=kx+b的图象． （1）根据图象，求k，b的值；

（2）请在图中画出函数l2：y2=﹣2x的图象；

（3）分别过A、B两点作直线l2的垂线，垂足为E、F．问线段AE、BF、EF三者之间的关系，并说明理由．

132

（4）设l3：y3=kx（k＞0），分别过A、B两点作直线l3的垂线，垂足为E、F．直接写出线段AE、BF、EF三者之间的关系 ．

7. 已知，A、B两市相距260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

（1）甲车提速后的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时，点C的坐标为 ； （2）求乙车返回时y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （3）求甲车到达B市时乙车已返回A市多长时间？

8.已知某工厂计划用库存的302m3木料为某学校生产500套桌椅，供该校1250名学生使用，该厂生产的桌椅分为A，B两种型号，有关数据如下：

桌椅型一套桌椅所坐学生生产一套桌椅所需一套桌椅的生产成一套桌椅的运费（单位：号 人数（单位：人） 木材（单位：m3） 本（单位：元） 元） A 2 0.5 100 2 B 3 0.7 120 4 设生产A型桌椅x（套），生产全部桌椅并运往该校的总费用（总费用=生产成本+运费）为y元． （1）求y与x之间的关系式，并指出x的取值范围；

133

（2）当总费用y最小时，求相应的x值及此时y的值．

9.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C． （1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x， ①求点C的坐标；②求△OAC的面积．

（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

1．解：（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°．

过点A作AE⊥OB于E，则△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°． ∵AB=AC，AE⊥OB，∴∠BAE=∠BAC=22.5°．

∴∠BAO=67.5°=∠ABC，∴OA=OB． （2）设OM=x．

当点C在点D右侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，由∠BAM=∠DAF=90°， 可知：∠BAD=∠MAF；

134

∴在△BAD和△MAF中，，∴△BAD≌△MAF．∴BD=FM=6﹣x．

又∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，∴△BAC≌△MAC．∴BC=CM=8﹣x． 在Rt△COM中，由勾股定理得：

OC2+OM2=CM2，即42+x2=（8﹣x）2，解得：x=3， ∴M点坐标为（0，3）．

当点C在点D左侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F， 同理，△BAD≌△MAF，∴BD=FM=6+x． 同理，△BAC≌△MAC，∴BC=CM=4+x． 在Rt△COM中，由勾股定理得：

OC2+OM2=CM2，即82+x2=（4+x）2，解得：x=6， ∴M点坐标为（0，﹣6）．

2．解：（1）∵

=，∴设OC=a，则OA=2a，

又∵AC=，即a2+（2a）2=80，解得：a=4， 则A的坐标是（8，0），C的坐标是（0，4）； （2）设直线AC的解析式是y=kx+b， 根据题意得：

，解得：

，则直线AC的解析式是：y=﹣x+4；

（3）设AE=x，则OE=8﹣x，

在直角△OCE中，42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5， 则重叠部分的面积是：5×4=20； （4）AC的中点的坐标是（4，2）， 设直线EF的解析式是y=mx+n，则，解得：

，

则直线EF的解析式是y=2x﹣6；

（5）P是AC的中点，则坐标是（4，2）． 3．（1）证明：如图，连接FD， ∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD=BC=，CE=AC=，FD=AC=，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=12+（）2=，

CF2=CD2+FD2=（

）2+（）2=，BE2=BC2+CE2=（

）2+（）2=，

∵+=，∴AD2+CF2=BE2；

135

（2）解：设两直角边分别为a、b，

∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD=a，CE=b，FD=AC=a， 由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=b2+（a）2=a2+b2， CF2=CD2+FD2=（a）2+（b）2=a2+b2， BE2=BC2+CE2=a2+（b）2=a2+b2，

∵AD2+CF2=BE2，∴a2+b2+a2+b2=a2+b2， 整理得，a2=2b2，∴AD=b，CF=

b，BE=b，

∴CF：AD：BE=1：：，

∵没有整数是和

的倍数，∴不存在这样的Rt△ABC．

4．（1）证明：如图，

∵四边形ABCD

是正方形，∴DA=AB，∠1+∠2=90°

又∵BE⊥AG，DF⊥AG∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°∴∠2=∠3，∠1=∠4 在△ADF和△BAE中

∴△ADF≌△BAE（ASA）．

（2）∵△ADF≌△BAE．∴AF=BE

在Rt△ADF中，DF2+AF2=AD2 DF×AF=，即2DF×AF= ∴DF2+AF2﹣2DF•AF=1﹣ （DF﹣AF）2= |DF﹣AF|=

∵AF=BE ∴|DF﹣ BE

|=

即|BE﹣DF|=．

5．证明：如图，连接BE、DE，

∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，∴BE=DE=AC， ∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．

136

6．解：（1）∵∠OAB=45°，∠AOB=90°，OB=6，∴OA=OB=6， ∴点A的坐标为：（﹣6，0），∴

，解得：k=1，b=6；

（2）如图1：当x=1时，y2=﹣2，画图得：

（3）AE=BF+EF．理由：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AEO=∠BFO=90°， ∵∠AOE+∠BOF=90°，∠BOF+∠FBO=90°，∴∠AOE=∠FBO， 在△AOE和△BOF中，

，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴AE=OF，OE=BF，∵OF=OE+EF，∴AE=BF+EF；

（4）猜想：EF=BF+AE．

证明∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AEO=∠BFO=90°，

∵∠AOE+∠BOF=90°，∠BOF+∠FBO=90°，∴∠AOE=∠FBO， 在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴AE=OF，OE=BF，∵EF=OE+OF，∴EF=BF+AE． 故答案为：EF=BF+AE．

7.解：（1）甲车提速后的速度：80÷2×1.5=60千米/时，乙车的速度：80×2÷（2﹣）=96千米/时；点C的横坐标为2++

=

，纵坐标为80，坐标为（

，80）；

（2）设乙车返回时y与x的函数关系式y=kx+b，代入（

，80）和（4，0）得

137

，解得，

所以y与x的函数关系式y=﹣96x+384（≤x≤4）；

（3）（260﹣80）÷60﹣80÷96=3﹣=（小时）． 答：甲车到达B市时乙车已返回A市

小时．

8.解：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅的套数（500﹣x）套， 根据题意得，

，

解这个不等式组得，240≤x≤250； 总费用y=（100+2）x+（120+4）（500﹣x）=102x+62000﹣124x=﹣22x+62000， 即y=﹣22x+62000，（240≤x≤250）； （2）∵y=﹣22x+62000，﹣22＜0， ∴y随x的增大而减小，

∴当x=250时，总费用y取得最小值，

此时，生产A型桌椅250套，B型桌椅250套，最少总费用y=﹣22×250+62000=56500元．

9.解：（1）①由题意， 解得所以C（4，4） ②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0）所以

．

（2）存在；

由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，

∵OQ平分∠AOC，∴∠AOQ=∠COQ，又OQ=OQ， ∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ=MQ，∴AQ+PQ=AQ+MQ， 当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小． 即AQ+PQ存在最小值．

∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC=OA=4， ∵△OAC的面积为6，所以AM=12÷4=3， ∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．

138

1．已知一次函数

的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．

（1）求点B的坐标；

（2）求直线AE的表达式；

（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线

分别交于x轴，y轴于B、A两点，D、E分别是OA、OB

的中点，点P从点D出沿DE方向运动，过点P作PQ⊥AB于Q，过点Q作QR∥OA交OB于R，当点Q与B点重合时，点P停止运动． （1）求A、B两点的坐标； （2）求PQ的长度；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

139

3．如图，直线y=﹣2x+6与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A． （1）求点B和点C的坐标；

（2）求这两条直线的交点A的坐标；

（3）求两条直线与y轴围成的三角形的面积；

（4）点E为OB的中点，点D从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向移动，过点D作y轴的平行线，与直线y=﹣2x+6相交于点F，与直线y=x相交于点G，点D的运动时间是t秒．试问以O、E、F、G为顶点的四边形能否是平行四边形？如果能，求出所有t的值；如果不能，请说明理由．

4．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动． （1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？

（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由； （3）△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．

140

5．如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线

过A点，且与y轴交于D点．

（1）求出A、点B的坐标；

（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；

（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与分别交x轴于点B和点C，点D是直线

与y轴的交点．

（1）求点B、C、D的坐标；

（2）设M（x，y）是直线y=x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并说明理由．

（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

141

7.如图1，在长方形ABCD中，点P从B点出发沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m个单位匀速运动．在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图2所示． （1）求长方形ABCD的长和宽； （2）求m、a、b的值．

8.某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品．乙工厂先加工了两天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙工厂再以原来的工作效率继续加工这批产品．甲、乙两工厂加工新产品的数量y甲（件）、y乙（件）与加工新产品的时间x（天）的函数图象如图所示． （1）甲工厂每天加工 件新产品； （2）乙工厂维修设备的时间是多少天；

（3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量y乙（件）与加工新产品的时间x（天）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

142

1.解：（1）对于y=﹣x+6，当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，∴OA=6，OB=8， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10，则A（0，6），B（8，0）； （2）过点E作EG⊥AB，垂足为G（如图1所示）， ∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，∴EG=OE， 在Rt△AOE和Rt△AGE中，，∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），∴AG=AO， 设OE=EG=x，则有BE=8﹣x，BG=AB﹣AG=10﹣6=4， 在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8﹣x，

根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴E（3，0）， 设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0）， 将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得：

，解得：

，

则直线AE的表达式为y=﹣2x+6；

（3）延长BF交y轴于点K（如图2所示）， ∵AE平分∠BAO，∴∠KAF=∠BAF， 又BF⊥AE，∴∠AFK=∠AFB=90°， 在△AFK和△AFB中，∵，∴△AFK≌△AFB，∴FK=FB，即F为KB的中点， 又∵△BOK为直角三角形，∴OF=BK=BF，∴△OFB为等腰三角形， 过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图2所示），

∵OF=BF，FH⊥OB，∴OH=BH=4，∴F点的横坐标为4， 设F（4，y），将F（4，y）代入y=﹣2x+6，得：y=﹣2， ∴FH=|﹣2|=2，则S△OBF=OB•FH=×8×2=8；

2.解：（1）令x=0，则y=6，令y=0，则﹣x+6=0，解得x=8，所以，点A（0，6），B（8，0）； （2）过点D作DF⊥AB于F， ∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，∴AB=10，

∵D、E分别是OA、OB的中点，∴AD=OA=×6=3，DE∥AB， 在Rt△ADF中，DF =3×=，∵PQ⊥AB，∴PQ=DF=

；

（3）①PQ=QR时，BR=÷=，∴OR=OB﹣BR=8﹣=，点R，0）；

②PQ=PR时，∵PQ⊥AB

的坐标为（

，∴∠PQR+∠BQR=90°，

∵QR∥OA，∴QR⊥OB，∴∠BQR+∠ABO=90°，∴∠PQR=∠ABO， ∴QR=2（

×

）=

，∴BR= =

÷=

，∴OR=OB﹣BR=8﹣

=，点R的坐标为（，0）；③PR=QR时，点R为PQ的垂直平分线与OB的交点，

∴BR=BE=×（×8）=2，∴OR=OB﹣BR=8﹣2=6，点R的坐标为（6，0）； 综上所述，点R为（，0）或（，0）或（6，0）时，△PQR为等腰三角形．

143

3.解：（1）对于直线y=﹣2x+6，

令x=0，解得：y=6；令y=0，解得：x=3，则B（0，6）、C（3，0）； （2）联立两直线方程得：

，解得

，则点A（2，2）；

（3）由B（0，6），得到OB=6，则S△AOB=OB•xA横坐标=×6×2=6；

（4）能，理由为：∵点E是OB的中点，∴OE=3， 当0＜t＜2时，如图1所示， 点F的坐标是（t，﹣2t+6），点G的坐标是（t，t），FG=﹣2t+6﹣t=﹣3t+6， 若四边形OEFG为平行四边形，则FG=OE，即﹣3t+6=3，解得：t=1，

经检验，t=1符号题意；当t＞2时，如图2所示，此时FG=t﹣（﹣2t+6）=3t﹣6，

若四边形OEGF是平行四边形，则FG=OE，即3t﹣6=3，解得：t=3，经检验，t=3符号题意， 综上所述，当t=1或3时，以O、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形．

4.解：（1）∵四边形PODB是平行四边形，∴PB=OD=5

，∴PC=5，∴t=5；

（2）∵四边形ODQP为菱形，∴OD=OP=PQ=5，∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=3 ∴t=3；（3）当P1O=OD=5时，由勾股定理可以求得P1C=3，P2O=P2D时，作P2E⊥OA，∴OE=ED=2.5； 当P3D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F=3，∴P3C=2； 当P4D=OD=5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG=3，∴OG=8． ∴P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）．

144

5.解：（1）当y=0时，﹣x+1=0，解得x=2，∴点A的坐标是（2，0），∴AO=2， ∵OA=OC，∴OC=2，

过点B作BF⊥AO于F，则四边形BCOF是矩形，∴OF=BC=1，∴点B的坐标为（1，2）； （2）当x=0时，y=﹣×0+1=1，∴点D的坐标为（0，1），∴OD=BC=1，

根据（1）的结论，四边形BCOF是矩形，∴OC=BF=2，∴AO=OC=2， 在△AOD与△OCB中，，∴△AOD≌△OCB（SAS），∴AD=BO ∴∠OAD=∠COB， ∵∠COB+∠AOB=90°，∴∠OAD+∠AOB=90°，∴∠AEO=90°，∴AD⊥BO； （3）存在．

∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴BM∥x轴，且BM=ON， 根据（1），点B的坐标为（1，2），∴﹣x+1=2，解得x=﹣2，

∴点M的坐标为（﹣2，2），∴BM=1﹣（﹣2）=1+2=3，

①点N在点O的左边时，ON=BM=3，∴点N的坐标为（﹣3，0）， ②点N在点O的右边时，ON=BM=3，∴点N的坐标为（3，0），

③作N（﹣3，0）关于A对称的点N′，则N′也符合，点N′的坐标是（7，0）， 综上所述，点N的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（7，0）．

6.（1）解：把y=0代入y=x+1得：0=x+1，∴x=﹣1，∴B（﹣1，0）， 当x=0时，y=﹣x+3=0，∴D（0，3），

把y=0代入y=﹣x+3得：0=﹣x+3，∴x=4，∴C（4，0）， （2）解：BC=4﹣（﹣1）=5，

∵M（x，y）在y=x+1上，∴M（x，x+1）， 过M作MN⊥x轴于N，

①当M在x轴的上方时，MN=x+1，∴S=BC×MN=×5×（x+1）=x+；

②当M在x轴的下方时，MN=|x+1|=﹣x﹣1，∴S=BC×MN=×5×（﹣x﹣1）=﹣x﹣； 把s=10代入得：10=x+得：x=3，x+1=4； 把s=10代入y=﹣x﹣得：x=5=﹣5，x+1=﹣4；

∴M（3，4）或（﹣5，﹣4）时，s=10； 即S与x的函数关系式是，点M运动到（3，4）或（﹣5，﹣4）时，△BCM的面积为10．

（3）解：由勾股定理得：CD=

=5，

有三种情况：

①CB=CP=5时，此时P与D重合，P的坐标是（0，3）； ②BP=PC时，此时P在BC的垂直平分线上，P的横坐标是x=

=，

145

代入y=﹣x+3得：y=，∴P（，）；

③BC=BP时，设P（x，﹣x+3）， 根据勾股定理得：（x+1）2+=52，解得：x=﹣

，x=4，

∵P在线段CD上，∴x=﹣

舍去，当x=4时，与C重合，舍去，

∴存在点P，使△CBP为等腰三角形，P点的坐标是（0，3）或（，）．

7.解：（1）从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变

即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位 ∴CD=2×（8﹣6）=4 ∴AB=CD=4

当t=6时（点P运动到点C），S△ABP=16 ∴AB•BC=16

∴

×4×BC=16 ∴BC=8∴长方形的长为8，宽为4．

（2）当t=a时，S△ABP=8=×16 即点P此时在BC的中点处

∴PC=BC=×8=4 ∴2（6﹣a）=4 ∴a=4 ∵BP=PC=4 ∴m=BP÷a=4÷4=1， 当t=b时，S△ABP=AB•AP=4 ∴

×4×AP=4，AP=2

∴b=13﹣2=11

8.解：（1）160÷8=20（件）；故答案为：20； （2）方法一：80÷20=4，4﹣2=2， 答：乙工厂维修设备的时间是2天；

方法二：设y甲与x的函数关系式为y甲=mx， 由题意，得8m=160，解得m=20，

y甲与x的函数关系式为y甲=20x，当y=80时，x=4， 4﹣2=2（天），答：乙工厂维修设备的时间是2天； （3）乙工厂第8天共加工了（8﹣2）×40=240件， 设y乙与x的函数关系式为y乙=kx+b， 由题意，得，解得

，∴y乙与x的函数关系式为y乙=40x﹣80．

146

1.我市为创建“国家级森林城市”政府将对江边一处废弃荒地进行绿化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共6000棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗，某承包商以26万元的报价中标承包了这项工程．根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费用为8元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率

20 90% 甲

32 95% 乙

设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．请根据以上信息解答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；

（2）承包商要获得不低于中标价16%的利润，应如何选购树苗？

（3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93%，否则承包商出资补载；若成活率达到94%以上（含94%），则政府另给予工程款总额6%的奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？

2．某次海军舰艇演习中，甲、乙两舰艇同时从A、B两个港口出发，均沿直线匀速驶向演习目标地海岛C，两舰艇都到达C岛后演习第一阶段结束．已知B港位于A港、C岛之间，且A、B、C在一条直线上．设甲、乙两舰艇行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1和y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示． （1）求A港与C岛之间的距离；

（2）分别求出甲、乙两舰艇的航速及图中点M的坐标；

（3）若甲、乙两舰艇之间的距离不超过20km时就属于最佳通讯距离，试求出两舰艇在演习第一阶段处于最佳通讯距离时的x的取值范围．

147

3．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．

（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式； （2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为

，求出此时点P的坐标；

（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．

4．如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，点A、C分别在直线y=2x和x轴上，若点A在直线y=2x上运动．

（1）当点A运动到横坐标x=3时，写出点C的坐标． （2）写出x=1时，直线AC的函数解析式．

（3）若点A横坐标为m，且满足1≤m≤3时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积．

148

5．如图1，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+6与x轴交于A，与y轴交于B，BC⊥AB交x轴于C． ①求△ABC的面积．

②如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连接EA．求直线EA的解析式．

③点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，试判断是否存在这样的点M、N,使得OM+NM的值最小？若存在,请写出其最小值，并加以说明

6．如图，直线y=﹣

和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC，

且在第一象限内有点P（m，），使△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值．

149

7．如图1，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，∠A=60°．动点P从点A出发，以2cm∕s的速度沿折线AB﹣BC﹣CD运动，当点P到达点D时停止运动．已知△PAD的面积y（cm2）与点P的运动时间x（s）的函数关系如图2，请你根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）AB= cm，BC= cm．

（2）①求a的值与点G的坐标；②用文字说明点N坐标所表示的实际意义．

8.如图，平面直角坐标系中，原点为O，点A、M的坐标分别为（0，8）、（3，4），AM的延长线交x轴于点B．点P为线段AO上的一个动点，点P从点O沿OA方向以1个单位/秒的速度向A运动，正方形PCEF边长为2（点C在y轴上，点E、F在y轴右侧）．设运动时间为t秒．

（1）正方形PCEF的对角线PE所在直线的函数表达式为 （用含t的式子表示），若正方形PCEF的对角线PE所在直线恰好经过点M，则时间t为 秒． （2）若正方形PCEF始终在△AOB内部运动，求t的范围．

（3）在条件（2）下，设△PEM的面积为y，求y与t的函数表达式．

150

1.解：（1）y=260000﹣[20x+32（6000﹣x）+8×6000]=12x+20000，自变量的取值范围是：0＜x≤3000； （2）由题意，得12x+20000≥260000×16%，解得：x≥1800， ∴1800≤x≤3000，

（3）①若成活率不低于93%且低于94%时，由题意得

，解得1200＜x≤2400

在y=12x+20000中，∵12＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=2400时，y最大=48800， ②若成活率达到94%以上（含94%），则0.9x+0.95（6000﹣x）≥0.94×6000，解得：x≤1200， 由题意得y=12x+20000+260000×6%=12x+35600，

∵12＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=1200时，y最大值=50000， 综上所述，50000＞48800

∴购买甲种树苗1200棵，乙种树苗4800棵，可获得最大利润，最大利润是50000元．

2.解：（1）40+160=200（km），即A港与C岛之间的距离为200km； （2）甲航速为

=80（km/h），乙航速为

=60（km/h）．

当0.5≤x≤

时，y1=80x﹣40 ①，当0≤x≤2时，y2=60x ②，

①②联立成方程组解得

即M点坐标为（2，120）；

（3）当甲舰艇追上乙舰艇之前两舰艇处于最佳通讯距离时， （80﹣60）x≥40﹣20，解得 x≥1．

当甲舰艇追上乙舰艇之后两舰艇处于最佳通讯距离时， （80﹣60）（x﹣2）≤20，解得，x≤3．

∴在演习第一阶段两舰艇处于最佳通讯距离时的x的取值范围是1≤x≤2． 3.解：（1）∵P（x，y）代入y=x+6得：y=x+6，∴P（x，x+6），

当P在第一、二象限时，△OPA的面积是s=OA×y=×|﹣6|×（x+6）=x+18（x＞﹣8） 当P在第三象限时，△OPA的面积是s=OA×（﹣y）=﹣x﹣18（x＜﹣8）

答：在点P运动过程中，△OPA的面积s与x的函数关系式是s=x+18（x＞﹣8）或s=﹣x﹣18（x＜﹣8）．

解：（2）把s=

代入得：=x+18或=﹣x﹣18，

解得：x=﹣6.5或x=﹣9.5，x=﹣6.5时，y=，x=﹣9.5时，y=﹣1.125，

151

∴P点的坐标是（﹣6.5，）或（﹣9.5，﹣1.125）． （3）解：假设存在P点，使△COD≌△FOE， ①如图所示：P的坐标是（﹣

，

）；②如图所示：P的坐标是（

，）

存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是（﹣

，

）或（

，

）．

4.解：（1）当x=3时，y=2x=6，则A（3，6）∴B（9，6）∴C（9，0）． （2）x=1时，y=2x=2，∴A（1，2），∴B（3，2），∴C（3，0）， 设直线AC的函数解析式为：y=kx+b，∴

，解得：k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3，

即AC的函数表达式为：y=﹣x+3．

（3）对角线AC扫过的四边形的形状为梯形为梯形EFCA，当1≤m≤3时，由（2）得m=1 ∴A（1，2），即E（1，2），此时C（3，0），即F（3，0）， ∵直线AC的解析式为y=﹣x+3

∴它与x轴的交点为C的坐标是（3，0） 又由（1）知A（3，6），C（9，0） △AOC的面积=×9×6=27，△OEF的面积=×3×2=3 扫过的面积S梯形EFCA=27﹣3=24，

答：对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积是24．

5.解：①求△ABC的面积=36；

②过E作EF⊥x轴于F，延长EA交y轴于H． ∵∵△BDE为等腰直角三角形∴DE=DB，∠BDE=90° ∵∠∠BDE=90BOD=90°° ∴ ∴∠∠EDF+BDO+∠∠BDO=90DBO=90°

° ∴∠EDF=∠DBO﹙同角的余角相等﹚ ∵EF⊥X轴 ∴∠BOF=∠EFD=90°

在△DEF与△BDO中∠EDF=∠DBO ∠BOF=∠EFD DE=DB ∴△DEF≌△BDO（AAS），

∴DF=BO=AO，EF=OD；∴AF=EF，∴∠EAF=45°，

∴△AOH为等腰直角三角形．∴OA=OH，∴H（0，﹣6）∴直线EA的解析式为：y=﹣x﹣6；

③在线段OA上任取一点N，易知使OM+NM的值最小的是点O到点N关于直线AF对称点N′之间线段的长．

当点N运动时，ON′最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长．∠OAE=30°，OA=6，

所以OM+NM的值为3．

152

6.解：根据题意画出图形，如图所示： 由直线

，令x=0，解得y=1，故点B（0，1），令y=0，解得x=

，

故点A（，0），

∵△ABC为等边三角形，且OA=，OB=1，

根据勾股定理得：AB=2，即等边三角形的边长为2， 故过C作AB边上的高为2×

=

，即点C到直线AB的距离为

，

由题意△ABP和△ABC的面积相等， 则P到直线AB的距离d=解得：m=﹣

|﹣

m+|=

，即﹣

m+=2或﹣．

m+=﹣2，

（舍去）或m=．则m的值为

7解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm∕s的速度沿折线AB﹣BC﹣CD运动， ∴由图象可得出P点在AB上运动了2秒，故运动的路程为：2×2=4（cm）， ∵动点P从点A出发，以2cm∕s的速度沿折线AB﹣BC﹣CD运动，

∴由图象可得出P点在AB上运动了1秒，故运动的路程为：1×2=2（cm）， 故答案为：4，2．

（2）①由函数图象可知，AB=2×2=4cm，BC=1×2=2cm．

当点P运动到点B时，△PAD的面积为a；作BH⊥AD，垂足为H． 在Rt△BHA中，由∠A=60°，AB=4，得BH=AB×sin60°=2， ∴S△BAD=×4×2

=4

，即a=4

．

∵P从点A出发沿AB﹣BC﹣CD运动到达点D时路程为： （4+2+2）=6+2（cm），

∴运动时间为（6+2）÷2=3+（s）， 即点G的坐标为（3+，0）． ②点N的坐标为（3，），它表示的实际意义为：当点P从A出发沿AB﹣BC运动3s时到达点C，此时△PAD的面积为4 cm2．

153

8.解：（1）y=x+t，1，故答案为；y=x+t，1；

（2）设直线AM：y=kx+8，将M（3，4）代入k=﹣，∴直线AM：y=﹣x+8， 将E（2，2+t）代入直线AM解析式得t=

∴0

；

（3）①当0≤t≤1时，如图一，连接PM交CE于Q点， ∵P（0，t），M（3，4）∴直线PM：y= ∴Q（

，2+t）∴EQ=2﹣

=

∴y=×EQ×|yM﹣yP|==1﹣t；

②当1

时，如图二，连接PM交EF于Q点，

同①得，直线PM：y=∴Q（2，）∴EQ=2+t﹣

=

∴y=×EQ×|xM﹣xP|==t﹣1； 综上所述∴y=．

154