人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章教学设计

2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）

第一课时：

教学目标：1.理解n次方根、根式的概念；

2.正确运用根式运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：

（Ⅰ）创设情景；

阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。 （Ⅱ）复习回顾 引例：填空 n*（1）aaa（nN)；a= （a0)；a＝__(a0,nN*) 0nn个a (2) aman=____ (m,n∈Z)；(a)=___(m,n∈Z)； (ab)=___(n∈Z) （3）9___； -9_____； mnn0______ （4）(a)2_____(a0)； a2________ （Ⅲ）讲授新课 222=4 ，（-2）=4  2，-2叫4的平方根 33

2=8  2叫8的立方根； （-2）=-8-2叫-8的立方根 5

2=32  2叫32的5次方根 … 2n=a 2叫a的n次方根 1.n次方根的定义：（板书）

(1)(2)复习整数指数幂的概念和运算性质； (3)(4)复习平方根的概念 一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根（n th root）,其中n1，且nN。 问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？x分析过程： 例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a的3次方根。（要求完整地叙述求解过程） 结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为x从而有：3273，5322，3a6a2

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。 结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反n6nna是否正确？

a。

数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：na(a0) 其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。 例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。 结论3：0的n次方根是0，记作n00,即na当a=0时也有意义。 这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质： 3.n次方根的性质：（板书）

na,n2k1na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 x(kN*) 其中 na,n2k注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质：（板书）

（na）a，即一个数先开方，再乘方（同次）①，结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ 例4：求3(2)3 ， 525 ， 434 ， (3)2 由所得结果，可有：（板书） ②annna,n为奇数；|a|,n为偶数

性质的推导（略）： （Ⅳ）例题讲解 例1．求下列各式的值： 32434 （4）(ab)2（a>b） （1）（－8）（2）（－10）（3）（3－）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。 （III）课堂练习：求下列各式的值

(1)532 (2)(3)4 (3)(23)2 (4)526 （IV）课时小结 通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 （V）课后作业 1、书面作业：

书P65习题2.1 A组题第1题。 2、预习作业：

a.预习内容：课本P55—P58。 b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？

第二课时：

教学目标：1.理解分数指数幂的概念；

2.正确运用有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式

（I）复习回顾 1.填空 （1）364______,532_______； （2）481______,481______； （3）(43)4______,(56)5______； (4)5a10_____,3a12_______； 5（5）5（2）___,7(3)7_____； （6）6(4)6____,454______. （II）讲授新课

分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解： (a2)5a10,5a10a2；也可根据n次方根的性质来解：5a105(a2)5a2。

问题1：观察5a10a2,4a12a3，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？ 问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：a2a是否可行？ 分析：假设幂的运算性质(a)amnmn323对于分数指数幂也适用，那么(a)a323233a2，这

22

说明a也是a2的3次方根，而3a2也是a的3次方根（由于这里n=3，a的3次方根唯一），

23于是a32a。这说明aa可行。

223323由此可有：

1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>

anam(a0,m,nN*,且n1)

注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例：(8)反例：(8)13133n

mn82,(2)510(2)105(2)4,(2)3(2)2等等；

223382,(8)6(8)22,而实际上2612； 36问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？

分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。

2.负分数指数幂：<板书>

amn1amn(a0,m,nN*,且n1)

3.0的分数指数幂：（板书）

0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。 说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）

arasars(a0,r,sQ)； (ar)sars(a0,r,sQ) (ab)rarbr(a0,b0,rQ)

问题5：若a>0，α是无理数，则a该如何理解？（引导学生先阅读课本P62——P62）

即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 222所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，5的近似值从小于5的方向逼近5.

222当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，5的近似值从大于5的方向逼近5，(如课本图所示)

由此，同样可规定ap(p0,p是无理数）的意义：

p

① a表示一个确定的实数；

② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。 （III）例题讲解： α

100例2．求值：8，23－121－316－3，（），（）4 481分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。 例3．用分数指数幂的形式表示下列各式： a2a,a33a2,aa(式中a0) 分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。

（IV）课堂练习 课本P59练习：1、2 （V）课时小结

通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。 （V）课后作业

1、书面作业：课本P65习题2.1A组题第2 2、预习作业

（1）预习内容：课本P61例题4、5。 （2）预习提纲：

a.根式的运算如何进行？

b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？

第三课时

教学目标

1.掌握根式与分数指数幂的互化；

2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。

教学重点：有理指数幂运算性质运用。 教学难点：化简、求值的技巧 教学方法：启发引导式 教学过程 （I）复习回顾

1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质 分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 mnanam aaarsrs(a0,r,sQ)； amnnam＝1nam (a)a(a0,r,sQ) rrrrsrs (a0,m,nN*,且n1) (ab)ab(a0,b0,rQ) 2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0） 5a2

14x

x6x (a)3

（II）讲授新课

例1．计算下列各式（式中字母都是正数） (1)(2ab)(6ab)(3ab); (2)(mn). 分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：

① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数； ③ 根式需化成最简根式。 例2．计算下列各式： 23121213165614388(1)a2a3a2(a0); (2)(325125)45 分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。 例3．求值：

(1)526743642;(2)2331.5612 分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。 （III）课堂练习 计算下列各式： 131－34（1）16－（）－（）162 4（2）[53()0]215要求：学生板演练习，做完后老师讲评。 （IV）课时小结

通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。 （V）课后作业

书面作业：课本P65，习题2.1A组第4题

122.1.2 指数函数及其性质（1）

教学目标

1.掌握指数函数的概念、图象和性质.

2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象. 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质. 教学重点

指数函数的概念和性质. 教学难点

用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程

一、以生活实例，引入新课

材料1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么？

材料2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?

1结论： y=2. P=（）5730.

2x

t1请问关系式y=2x，P=（）5730有什么共同特征吗？

21结论：在关系式y=2和P=（）5730中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和

2x

tt11它对应，因此关系式y=2x和P=（）5730都是函数关系式，且函数y=2x和函数P=（）

22t5730t在形式上是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上. 即都可以用

yax（a＞0且a≠1来表示）. 这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数

函数.

二、讲解新课

（一）指数函数的概念

一般地，函数y=ax（a＞0，a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

知识拓展：（1）定义域为什么是实数集？

（2）在函数解析式y=ax中为什么要规定a＞0，a≠1？

－

练习：判断下列函数是否是指数函数：①y=2·3x；②y=3x1；③y=x3；④y=－3x；⑤y=（－3）x；⑥y=πx；⑦y=3x2；⑧y=xx；⑨y=（2a－1）x（a＞

1，且a≠1）. 2只有⑥⑨为指数函数.

（二）指数函数的图象和性质

问：指数函数y=ax，其中底数a是常数，指数x是自变量，幂y是函数.底数a有无穷

x多个取值，不可能逐一研究，选函数y=2为例 完成以下表格，并且用计算机画出函数y2的图象

xx 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.00x0.50 1.00 2 1.50 2.00 4 y2 1 8 1 4 1 2 1

结合函数y=2x的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性），分析函数的图象特征 合作探究：是否所有的指数函数的图象均与y=2x的图象类似？ 画出函数y=8x，y=3.5x，y=1.7x，y=0.8x的图象，你有什么发现呢?

结论：y=0.8x的图象与其余三个图象差别很大，其余三个图象与y=2x的图象有点类似，说明还有一类指数函数的图象与y=2x有重大差异. 那么从中选择一个具体函数进行研究， 以函数y=（

1x

）的图象.为例 2

合作探究：函数y=2x的图象和函数y=（图表

1x

）的图象的异同点. 给出结论教材第62页2合作探究：函数y=2x的图象和函数y=（

1x

）的图象有什么关系？ 2

结论：函数y=2x的图象和函数y=（证明：因为函数y=（

1x

）的图象关于y轴对称. 21x－x

）=2，点（x，y）与（－x，y）关于y轴对称，所以y=2x的21图象上的任意一点P（x，y）关于y轴的对称点P1（－x，y）都在y=（）x的图象上，反

21之亦然.根据这种对称性就可以利用函数y=2x的图象得到函数y=（）x的图象.

2合作探究：如何快速地画出指数函数简图？

（1）要注意图象的分布区域：指数函数的图象知分布在第一、二象限；

（2）注意函数图象的特征点：无论底数取符合要求的任何值，函数图象均过定点（0，1）；

（3）注意函数图象的变化趋势：函数图向下逐渐接近x轴，但不能和x轴相交. （三）例题讲解

【例1】求下列函数的定义域：

（1）y=8

12x1；（2）y()

23|x|（1）函数的定义域是{x|x∈R，x≠

x1}；（2）函数的定义域是R 2【例2】已知指数函数f(x)a（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π），求

f(0),f(1),f(3)的值.

三、巩固练习 课本P68练习1、2 四、课堂小结

1.指数函数的定义以及指数函数的一般表达式的特征. 2.指数函数简图的作法以及应注意的地方. 3.指数函数的图象和性质.

4.结合函数的图象说出函数的性质，这是一种重要的数学研究思想和研究方法——数形结合思想（方法）.

5.a的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提. 五、布置作业

课本P69习题2.1A组第5、6、题.

探究：比较函数y=2x和y=10x的图象以及y=（思考底数a的变化对图象的影响.

结论：在第一象限内，底数a越小，函数的图象越接近x轴. 补充作业

1.函数y=（2a2－3a+2）ax是指数函数，则a的取值范围 （ ） A.a＞0，a≠1 B.a=1

－

11x

）和y=（）x的图象. 210 C.a=

1 2 D.a=1或a=

1 22．函数y＝ax2＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（ ）

A．（0，1） C．（2，0）

－

B．（1，1） D．（2，2）

3.证明函数y=ax和y=ax（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称. 参考答案： 1.C 2.D

7.设P1（x1，y1）是函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象上任意一点，则y1=ax1， 而P1（x1，y1）关于y轴的对称点是Q（－x1，y1）， ∴y1=ax1=a(x1)，即Q在函数y=ax的图象上.

－

由于P1是任意取的，∴y=ax上任一点关于y轴的对称点都在y=ax的图象上.

－

同理可证：y=ax图象上任意一点也一定在函数y=ax的图象上，

－

∴函数y=ax和y=ax的图象关于y轴对称.

－

.1.2 指数函数及其性质（2）

教学目标

1.加深对指数函数性质的理解与掌握. 2.掌握对指数函数性质的灵活应用. 教学重点

指数函数的性质的理解与应用. 教学难点

指数函数的性质的具体应用. 教具准备

多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程

一、回顾旧知，引入新课

1、回顾指数函数的图象和性质 2、快速画指数函数图象的注意点 二、讲解新课

（一）利用指数函数的性质比较大小

【例1】 比较下列各题中两个值的大小：

－－

（1）1.72.5，1.73；（2）0.80.1，0.80.2；（3）1.70.3，0.93.1. 方法引导：（1）利用计算器（2）利用函数的单调性 【例2】 将下列各数从小到大排列起来：

23322233505333（），（），3，（），（），（），（－2），（）. 355263（讨论：利用什么性质？ → 师生共练，注意格式 → 小结：分类、单调性；利用中间

数）

－

【例3】 解不等式：（1）9x＞3x2；（2）3×4x－2×6x＞0. .

.（二）指数型函数在实际是的应用

【例3】 截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少?（精确到亿）

（师生共同讨论交流，列表分析） 解：先求出函数关系式：

设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿. 经过1年，人口数y=13×（1+1%）（亿）； 经过2年，人口数y=13×（1+1%）2（亿）； ……

经过x年，人口数y=13×（1+1%）x=13×1.01x（亿）. 当x=20时，y=13×1.0120≈16（亿）.

所以，经过20年后，我国的人口数最多为16亿.

小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？ →一般形式：y=N（1+p）x

x我们把形如y=ka（k∈R，a＞0，且a≠1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型. 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？

合作探究：你是如何看待我国的计划生育政策的?为什么?

说明：本例中函数的定义域是时间，故只能取非负实数；而且在解决实际问题时往往用到从函数图象上找出某一自变量对应的函数值.

知识拓展：在解决应用问题时，其关键是能正确理解题意，从而建立目标函数，进而将生活实际问题转化为数学问题.同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域.

三、课堂小结

本节课中主要渗透了数学的思想方法：分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想，数学的思想方法是数学学习的主轴线.

四、布置作业

课本P70习题2.1A组第6、7、8、，B组第3、4题. 备用练习：

1、 设y1=40.9,y2=80.48,y3=(1/2)-1,,5，则 （D）

112121A.y3＞y1＞y2 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2

2一片树林中现有木材30000 m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m3，写出x、y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000 m3.（结果保留一个有效数字）

函数关系式为y=30000（1+5%）x（x≥0）.当y=40000时，得画出y=1.05x（x≥0）的图象，从图象上找到与y=

x 0 1 2 3 4 5 4=（1+5%）x =1.05x，∴34≈1.33对应的x值即可.列出下表： 35.7 5.8 5.9 6 7 … 5.5 y 1 1.05 1.1 1.16 1.22 1.28 1.31 1.32 1.327 1.33 1.34 1.41 … 描点作出图象（如下图所示）.

4≈1.33对应的x值约为6. 3答：约经过6年，木材可以增加到40000 m3.

由图象可知，与y=

2.1.2 指数函数及其性质（3）

教学目标

1、 会求与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等； 2、 了解函数图象的平移与对称变换；

3、 在解决简单的实际问题过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 教学重点

指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等； 教学难点

指数函数有关的简单复合函数单调性 教学过程 一、复习旧知

复习指数函数的图象与性质 二、讲解新课 （一）例题讲解

【例1】 （1）函数y13x 的定义域是 （2）函数y4x（3）函数ya21的值域是 x32恒过点 （4）如果函数f(x)(a1)在R上是减函数，则实数a的范围是 (5)把函数yf(x)的图象向左、向下分别平移2个单位，得到y2的图象，则原函数为

x2x1x22x）的单调区间，并证明之. 2解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，

【例2】 求函数y=（

12()x22x222y11则2=2=（）x1x12x22x1=（）(x2x1)(x2x12).

12y122()x12x12∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.

当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.

当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即

y2＞1. y1y2＜1. y1∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.

综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.

合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.

变式：求函数y=（

1x22x）的值域 22练习：求函数y=3x2x3的单调区间和值域.

三、课堂小结

1. 求与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域的方法 2、复合函数单调性的讨论步骤和方法； 四、布置作业 1、求下列函数的值域

x（1）f(x)12,x[1,4] （2）f(x)()2,x[1,2]

x132、求下列函数的的单调区间 （1）y2x1 （2）y212|x1|

思考：设0x2，求函数y4

x2x15的最大值和最小值

2.2.1 对数与对数运算（1）

教学目标：1、理解指数式与对数式的关系；

2、理解对数的概念，能熟练地进行对数式与指数式的互化； 3、了解自然对数与常用对数的概念以及对数恒等式。

教学重点：1、对数式与指数式的关系；2、对数的概念以及对数式和指数式的互化。 教学难点：对数概念的理解与对数符号的理解。

教学过程

一、创设情景，引入新课

（多媒体投影我国人口增长情况分析图，并显示如下材料）

截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）

师：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则y=13×1.01x.我们能从这个关系式中算出任意一个年头x的人口总数.反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”该如何解决？

（生思考，师组织学生讨论得出） 由y=1.01x的图象可求出当y=1.01x=

18203018、、时，相应的x的值，实际上就是从1.01x=，131313132030，1.01x=……中分别求出x 同时这样的x的值是唯一确定的。 131318 中，要我们求解的量在什么位置？ 13师：根据指数的有关知识，在关系式1.01x=生：在等式左边的指数位置上.

师：那么，要求x的值，也就是让我们求指数式中的哪一个量？ 生：求指数x.

师：已知底数和幂的值求指数的问题.这就需要我们学习一种新的运算——对数。 二、讲解新课

（一）介绍对数的概念 合作探究：若1.01x=

1818，则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一1313般性的结论？（生合作探究，师适时归纳总结，引出对数的定义并板书）

一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN，其中a叫做对数的底数（base of logarithm），N叫做真数（proper number）.

合作探究：根据对数的概念写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确.

如：28x3 327x3 log28log327 aN(a0,a1) logaNb

师：你如何理解“log”和logaN？（生探讨，得出如下结论） 知识拓展：符号“log”与“+，

”等符号一样表示一种运算，logaN是一个整体，

bxx表示以a为底N的对数，不表示log、a、N三者的乘积.读作以a为底N的对数，注意a应写在右下方.

（二）概念理解

合作探究：对数和指数幂之间有何关系？ （生交流探讨得出如下结论）

指数式ab=N 对数式logaN=b a （底数） （对数的底数） N （幂） （真数） b （指数） （对数） 说明：括号内属填空、选择的题目.

合作探究： 1．在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数有什么要求 ？

2．对任意 a0且 a1, 都有 a1大家可得到什么结论？ 3．对任意 a0且 a1, 都有 aa大家又可得到什么结论？

对数的性质：（1）N > 0（负数与零没有对数）；（2）loga10 ； （3）logaa1

b合作探究：1。如果把aN中的b写成logaN，可得到什么结论？（a01logaNN）．

b2．如果把logaNb中的N换成a，又可得到什么结论？（logaab）

b上述两式称为对数恒等式：

alogaNN； logaabb 师：对数运算在研究科学和了解自然中起了巨大的作用，其中有两类对数贡献最大，它们就是自然对数和常用对数.

（师指导学生阅读课本第57页常用对数和自然对数的概念和记法，然后板书）

（三）常用对数

通常将以10为底的对数称为常用对数（common logarithm），如log102、log1012等，并把对数log10N简记为lgN，如lg2、lg12等.

（四）自然对数

在科学技术中，常常使用以e（e=2.71828…是一个无理数）为底的对数，这种对数称为自然对数（natural logarithm）.正数N的自然对数logeN一般简记为lnN，如ln2、ln15等.

（五）例题讲解

师：我们已经对对数的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面练习吗？ （投影显示如下例题）

【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625；（2）26=

－

11；（3）（）m=5.73；（4）log116=－4； 6432【例2】将下列对数式写成指数式：

log51253；（1） （2）log13 （3） （4） lg0.012；32；ln102.303．

方法引导：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.

【例3】 求下列各式中的x的值： （1）log64x=－

2；（2）logx8=6；（3）lg100=x；（4）－lne2=x. 3（师生共同讨论，师板书）

方法小结：在解决对数式求值问题时，若不能一下子看出结果，根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质求出结果.

（六）巩固练习

课本P70练习第1，2，3，4题. 三、课堂小结

师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得哪些知识你已经掌握？哪些东西你还没有掌握？（生总结，并互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）

1.对数的定义及其记法； 2.对数式和指数式的关系； 3.自然对数和常用对数的概念.

四、布置作业

课本P82习题2.2A组第1、2题.

补充：1．计算：（1）log4381； （2）log2752．求 x 的值： log2x；

31 93．求底数：logx421； logx3． 342mn4．已知loga2m,loga3n，求a5．计算3答案：

1、（1）16 （2）2、23、

531log32的值。

1001lg92

1 6

1 81 84、12 5、15．

2.2.1 对数与对数运算（2）

教学目标：掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化

简、求值问题.

教学重点：1.掌握对数的运算性质. 2.应用对数运算性质求值、化简. 教学难点：对数运算性质的灵活运用. 教学过程

一、复习回顾，引入新课

师：上一节课我们学习了：

（1）对数的定义，掌握其中 a 与 N的取值范围；

b（2）指数式与对数式的互化aNlogaNb；

（3）对数恒等式式alogaNN，logaabb。

从指数与对数的关系以及指数运算性质，能得出相应的对数运算性质吗？这就是本节课所要探究的知识.

（引入课题，书写课题——对数的运算性质） 二、新课讲授

师：我们知道，指数幂运算有下列性质：aaamnmnam,namn,(am)namn．根据对ab数的定义，有logaNbaN（ a > 0 ， a  1，N > 0），那么，对数运算也有相应

的性质吗？ 请大家一起看下面表格：（多媒体显示） 22MNlogMlogN-1.556393 0.3219281 1.1110313 1.6182387 1.9927684 2.2898345 2.5360529

log2(MN)-1.556393 0.7004397 1.7891032 2.5442381 3.130272 3.6117626 4.0214797 log 2MN1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 0.34 1.25 2.16 3.07 3.98 4.89 5.8 0 0.3785116 0.6780719 0.9259994 1.1375035 1.3219281 1.4854268 1.5563933 0.0565835 -0.432959 -0.692239 -0.855265 -0.967906 -1.050626 3.1 3.4 3.7 4 6.71 7.62 8.53 9.44 1.6322682 1.7655347 1.8875253 2 2.7463128 2.929791 3.0925457 3.2387869 4.378581 4.6953257 4.980071 5.2387869 -1.114045 -1.164256 -1.20502 -1.238787

M)与 log从表格里可以得到log 2 M 与 log 2 N 跟 log 2 ( MN 2 有什么关系？

生：如果 a > 0 ， a  1， M > 0 ，N > 0， 那么

（1）loga(MN)logaMlogaN； （2）logaNMlogaM-logaN； Nn（3）logaMnlogaM(nR)

这三个结论是否正确，下面我们一起来证明。

（1）由于am·an=am+n，设M=am，N=an，于是MN=am+n. 由对数的定义得到logaM=m，logaN=n，loga（M·N）=m+n.

loga（M·N）=logaM+logaN.

师：同样地，可以仿照上述过程，由am÷an=am

性质.

（下面两个由学生完成）

合作探究：（2）∵am÷an=amn，设M=am，N=an，∴

－

－n

和（am）n=amn，得出对数运算的其他

Mm－n

=a. N∴由对数的定义得到logaM=m，logaN=n， loga

M=m－n. NM=logaM－logaN. N∴loga

（3）∵（am）n=amn，设M=am，∴Mn=amn.

∴由对数的定义得到logaMn=mn， ∴logaMn=nlogaM.

对数性质：如果 a > 0 ， a  1， M > 0 ，N > 0， 那么

（1）loga(MN)logaMlogaN；

（2）logaMlogaM-logaN； Nn（3）logaMnlogaM(nR)

师：以上三个性质可归纳为：（1）积的对数等于各因式对数的和；（2）商的对数等于被除数的对数减除数的对数；（3）幂的对数等于指数乘以底数的对数.

师：这几条运算性质会对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ （生交流探讨，得出如下结论）

结论：利用以上性质，可以使两正数的积、商的对数运算问题转化为两正数各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简、求值.

（二）概念理解

合作探究：利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？ （师组织，生交流探讨得出如下结论）

底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.

（三）运算性质的应用

师：这样我们就可以心底坦然地使用这些性质了，请同学们完成以下训练. （投影显示如下练习，生完成，组织学生交流评析各自的训练成果） 【例1】 用logax，logay，logaz表示下列各式：

x2yxy（1）loga；（2）loga.

3zz【例2】 求下列各式的值：

（1）log2（47×25）；（2）lg5100.

【例3】 已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值：（结果保留4位有效数字）

27. 16方法引导：要用lg2≈0.3010，lg3≈0.4771这个已知条件来求以上各式的值，需先根据对数的运算性质将其化为含lg2、lg3的多项式进而求出结果.

【例4】 计算：

（1）lg12；（2）lg（1）lg14－2lg（2）

lg243； lg9lg27lg83lg10.

lg1.27+lg7－lg18； 3（3）

方法引导：以上各题的解答，体现对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧，每题的各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，要避免错用对数运算性质.

（四）巩固练习 课本P75练习第1，2，3. 三、课堂小结 1.对数的运算性质.

2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：

（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系； （2）要避免错用对数运算性质. 3.对数和指数形式比较： 式子 ab=N a——幂的底数 名称 b——幂的指数 N——幂值 am·an=am+n am÷an=am运算性质 （am）n=amn （a＞0，且a≠1，m、n∈R） 四、布置作业

课本P82习题2.2A组第3，4，5题.

补充作业：1.（1）已知3a=2，用a表示log34－log36；

（2）已知log32=a，3b=5，用a、b表示log330. 2.计算： （1）

lg8lg125lg2lg5lg10lg0.1－n logaN=b a——对数的底数 b——以a为底的N的对数 N——真数 loga（MN）=logaM+logaN logaM=logaM－logaN NlogaMn=nlogaM（n∈R） （a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0） ；

（2）2log32－log3

32+log38－52log53； 92.2.1 对数与对数运算（3）

教学目标：1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并

能进行一些简单的化简和证明.

2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.

教学重点：1.换底公式及其应用。 2.对数的应用问题。 教学难点：换底公式的灵活应用. 教学过程

一、引入新课

我们学习了对数运算法则，请大家解决一个问题：

例：已知lg3a，lg2b，求lg12。 若要求 log 2 3 ？（设置关卡，激发学生的求知欲望）

从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数. 这就是本节课所要探究的知识.

（引入课题，书写课题——对数的运算性质） 二、讲解新课

（一）探求换底公式，明确换底公式的意义和作用 师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？ logaN=

logcN（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.（师生讨论并完成） logca当a＞0，且a≠1时，若ab=N， 则logaN=b.

①②

在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数， 则logcab=logcN，即blogca=logcN. ∴b=由②③得logaN=

logaN. logca ③

logcN（c＞0，且c≠1）. logcalogcN一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底

logca公式.

合作探究：logab·logbc=? logab·logba=?

思考：换底公式有什么重大作用？

结论：是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底问题，为使用运算法则创设条件，如换底公式可以解决如下问题：

1.（1）logab×logba=1； （2）logambn=

nlogab（a、b＞0且均不为1）. m18的值，利用换底公式与对132.例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.01

数的运算性质，可得

18lg18lg131.25531.113918x=log1.01=13=≈=32.8837≈33（年）.

lg1.0113lg1.010.0043lg由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿.

（二）换底公式的应用 【例1】 求log89×log332的值.

【例2】 计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值.

（2）log89·log2732.（3）（log25+log4125）·

log32.

log35方法引导：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.

知识拓展：（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；

（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logamMn=

logaN=

nlogaM及换底公式mlogbN1.利用换底公式可以证明：logab=，即logablogba=1. logbalogba（三）对数的应用问题

【例3】 20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.

（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，

此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；

（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.

总结：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.

【例4】 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.

（四）巩固练习 1. 课本P79练习第4题. 2.

1logabalga1，，lognbna，logbnan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠1，

1logblogbalgbabn∈N）中和logab相等的有 （ A ）

A.2个

B.3个

C.4个

D.1个

3. 若log34·log48·log8m=log42，求m. 答案：3. 4. 已知log53=a，log54=b，试用a、b表示log2512； 答案：三、课堂小结

1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）. 2.解决实际问题的一般步骤：

ab. 2

四、布置作业

（一）课本P86习题2.2A组第6、9、11、12题.

补充作业：1.已知log189=a，18b=5，求log3645.（用a、b表示）

2.计算：（log43+log83）（log32+log92）－log12432.

课题：§2.2.2对数函数（一）

教学目的：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函

数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； （2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．

教学重点：掌握对数函数的图象和性质．

教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用． 教学过程：

一、创设情景 引入课题

从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花。如果测得其中一颗莲子它的碳14残留量占原来含量的0.5倍，你能算出这颗古莲子是多少年前的遗物吗？

考古学家利用log157302P估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过

x关系式，都有唯一确定的年代t与之对应．同理，对于每一个对数式yloga中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以ylogax是关于x的函数． 二、探索新知 1．对数函数

一般地，我们把函数ylogax（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

思考：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a＞0且a≠1．

（2）．为什么对数函数ylogax（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞）． 组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.

例题1：求下列函数的定义域

（1）ylogax （2）yloga(4x) （a＞0且a≠1）

说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．

巩固练习：（教材P81 2）

2．对数函数的图象和性质

问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：

2（1）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）

（1） ylog2x （2） ylog1x

2（3） ylog3x （4） ylog1x

3提问：观察函数的图象，你认为对数函数的图象有何特征，请你概括一下对数函数应具有什么性质。

先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征 （1）图象都在y轴的右边 （2）函数图象都经过（1，0）点 （3）从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降 . 函数的性质 （1）定义域是（0，+∞） （2）1的对数是0 （3）当a＞1时，yloga是增函数， 当0＜a＜1时，ylogax是减函数. （4）当a＞1时 x＞1，则logax＞0 0＜x＜1，logax＜0 当0＜a＜1时 x＞1，则logax＜0 0＜x＜1，logax＜0 x（4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 . 由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：

图 象 a＞1 （1）定义域（0，+∞）；（2）值域R； （3）过点（1，0），即当x=1，y=0； （4）在（0，+∞）上是增函数 0＜a＜1 性 质

在（0，+∞）是上减函数 （2） 思考底数a是如何影响函数ylogax的．（学生独立思考，师生共同总结） 规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 例2．（教材P79例8） 解：（略）

说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法． 注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式． 巩固练习：（教材P81练习3）． 三、归纳小结，强化思想

本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点． 四、作业布置

1．教材P82习题2．2（A组） 第7、8、9、10题． 2．探究：求定义域ylog2(3x5)；ylog0.54x3.

课题：§2.2.2对数函数（二）

教学目的：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；

（2）了解对数函数在生产实际中的简单应用.

（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．

教学重点：对数函数的图象和性质．

教学难点：对对数函数的性质的综合运用． 教学过程：

一、 回顾与总结

1． 函数ylog2x,ylog5x,ylgx的图象如图所示，回答下列问题．

（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？

（2）函数ylogax与ylog1x(a0,且

a1 ○

2 ○3 ○

a0)有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？

（3）以ylog2x,ylog5x,ylgx的图象为基础，在同一坐标系中画出

ylog1x,ylog1x,ylog1x的图象．

2510（4）已知函数yloga1x,yloga2x,yloga3x,yloga4x的图象，则底数之间的关系： ．

2． 根据对数函数的图象和性质填空．

1 x yloga 2 x yloga 3 x ylogax ；当 4 y时，log（1）已知函数ylog2x，则当x0时，y ；当x1 ya0x1时，y ；当x4时，y ．

（2）已知函数ylog1x，则当0x1时，y ；当x1时，y ；

3当x5时，y ；当0x2时，y ； 二、应用举例

1 log，loge(a0,且a0)； 例1．比较大小：○aa2 log○212，log2(aa1)(aR)． 2解：（略）

例2．已知loga(3a1)恒为正数，求a的取值范围． 解：（略）

例3．（1）函数ylogax在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a的值；

2（2）求函数ylog3(x6x10)的最小值．

解：（略）

注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法． 例3．（教材P83例9） 解：（略）

说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题． 注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象． 讨论： 如何应用函数模型解决问题？ → 强调数学应用思想 巩固练习：（教材P82习题2．2 A组第6题）． 课后思考题：

1．求函数ylog1(32xx2)的单调区间．

22．已知函数f(x)调性．

11x，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单log2x1x课题：§2.2.2对数函数（三）

教学目的：（1）理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模

型化思想的理解．

（2）通过作图，体会两种函数的单调性的异同．对体会内在的对称统一． （3）通过实例，体会对数函数是一类重要的函数模型

教学重点： 体会两种函数的内在联系，及对数函数性质的应用． 教学难点：指数函数与对数函数是互为反函数 教学过程： 一、创设情境

当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：

（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？(P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t是指数函数P(57301x)) 2（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？(t和P之间的对应关系是一一对应;t关于P是对数函数tlog573012x)

（3）这两个函数有什么特殊的关系？(它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；)

（4）由此你能获得怎样的启示？(本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型)． 二、新课讲解

由对数函数的定义可知，对数函数ylog2x是把指数函数y2中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画ylog2x的图象时，也是把指数函数y2的对应值表里的x和y的数值对换，而得到对数函数ylog2x的对应值表，如下：

表一 y2．

xxxx … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 11y1 4… 21 2 4 8 … 8 表二 ylog2x．

分析：函数

表示自变量，y表示函数，即写为ylog2x.

那么我们就说指数函数y2x与对数函数ylog2x互为反函数

1．反函数概念

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．

由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．

探究：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数y2x及其反函数ylog2x图象，以

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 111y … 421 2 4 8 … 8 xlog2y由y2x解出，是把指数函数y2x中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用xy2x与ylog2x为例研究互为反函数的两个函数图象和性质有什么特殊联系？

小结：互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数； 2．互为反函数的两个函数图象之间的关系

引导学生探索研究 （1）取y2x图象上的几个点，说出它们关于直线yx的对称点的坐标，并判断它们是否在ylog2x的图象上，为什么？

（2）如果P0（x0，y0）在函数y2的图象上，那么P0关于直线yx的对称点在函数

xylog2x的图象上吗，为什么？

（3）由上述探究过程可以得到什么结论？

（4）上述结论对于指数函数ya(a0，且a1)及其反函数ylogax(a0，且

xa1)也成立吗？为什么？

结论：互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称．

（5）、让学生试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．并指出它们之间的关系。明确反函数的概念。

3、例题讲解

【例1】 已知函数y=loga（1－ax）（a＞0，a≠1）. （1）求函数的定义域与值域； （2）求函数的单调区间； 解：（1）1－ax＞0，即ax＜1， ∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）. 令t=1－ax，则0＜t＜1，而y=loga（1－ax）=logat. ∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）.

（2）∵a＞1时，t=1－ax在（－∞，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增， ∴y=loga（1－ax）在（－∞，0）上单调递减.

∵0＜a＜1时，t=1－ax在（0，+∞）上单调递增，而y=logat关于t单调递减， ∴y=loga（1－ax）在（0，+∞）上单调递减.

例题2、求证：函数f(x)lg(21)是奇函数 1x

四、作业．P83 A组第12题 P83 B组第2题第3题. 思考题：

己知函数f(x)ak的图象过点（1，3）其反函数yf-1x的图象过（2，0）点，

x求fx的表达式.

2.3 幂函数

教学目标

一、知识与技能

1.理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x的图象.

2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质. 二、过程与方法

1.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力. 2.使学生进一步体会数形结合的思想. 三、情感态度与价值观

1.通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.

2.利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.

教学重点

常见幂函数的概念、图象和性质. 教学难点

幂函数的单调性及比较两个幂值的大小. 教具准备

多媒体课件、投影仪、打印好的作业.

教学过程

一、创设情景，引入新课

（多媒体显示以下5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）

问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.

问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数. 问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.

问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数. 问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t1 km/s，这里v是t的函数.

引导学生观察上述例子中函数模型，几个函数表达式的共同特征：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量.

结论：变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数. （引入新课，书写课题） 二、讲解新课 1.幂函数的概念

师：如果设变量为x，函数值为y，就得到函数它们的一般式为y=x.

α－

－1

12121－123y=x，y=x，y=x，y=x，y=x2.

（得出幂函数的定义，师板书）

α一般地，函数y=x叫做幂函数（power function），其中x是自变量，α是常数. 合作探究：幂函数与指数函数有什么区别？

（组织学生回顾指数函数的概念，明确两者的区别，得出如下结论） 结论：从它们的解析式来看有如下区别： 幂函数——底数是自变量，指数是常数； 指数函数——指数是自变量，底数是常数. 2.几个常见幂函数的图象和性质

请在同一坐标系内画出幂函数y=x、y=x2的图象.

根据同学们的学习经历，请同学们在同一坐标系内画出函数y=x3，y=x，y=x的图象. （生动手画图，师巡视，进行个别辅导，明确作以上函数图象的步骤和方法，指导学生借助计算器作出函数y=x3，y=x，y=x的图象）.

借助计算机利用《几何画板》软件，画出函数

1－13y=x，y=x，y=x2－1

－1

1212的图象.

观察图象得出幂函数的性质

3.例题讲解

【例1】 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.

（1）y=x；（2）y=x

2534；（3）y=x2.

－

【例2】 证明幂函数f（x）=x在［0，+∞）上是增函数. 【例3】 比较下列各组数的大小： （1）1.5，1.7，1；

210（2）（－）3，（－）3，1.13；

272325352241313（3）3.8，3.9，（－1.8）；

（4）31.4，51.5.

4.目标检测

（1）下列函数中，是幂函数的是 A.y=－x

12B.y=3x2

C.y=

1 x D.y=2x

（2）下列结论正确的是

A.幂函数的图象一定过（0，0）和（1，1）

αB.当α＜0时，幂函数y=x是减函数

αC.当α＞0时，幂函数y=x是增函数 D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数 （3）函数y=x的图象大致是

35

（4）幂函数f（x）=axm28m（m∈Z）的图象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原

点对称，求a和m.

答案：（1）C （2）D （3）D （4）a=1，m=1，3，5，7. 三、课堂小结

1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别. 2.常见幂函数的图象和性质. 3.幂值的大小比较方法. 四、布置作业

课本第92页习题2.3第1、2、3题. 板书设计

2.3 幂函数

1.幂函数的概念 2.幂函数的性质

一、幂函数的图象和性质探索过程 二、例题解析及学生训练 三、幂值大小比较的方法总结 四、课堂小结与布置作业