高考数学复习考点知识培优专题讲解8---平面向量

专题八 平面向量

1．代数法

例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且aab，则b在a方向上的投影为（ ） A．3B．3C．【答案】C

【解析】考虑b在a上的投影为

ab，所以只需求出a，b即可． b3333D． 222由aab可得：aabaab0，

所以ab9．进而

ab933．故选C． b223

2．几何法

例2：设a，b是两个非零向量，且abab2，则ab=_______． 【答案】23 【解析】可知a，b，ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由abab2可知满足条件的只能是底角为60，边长a2的菱形， 从而可求出另一条对角线的长度为3a23．

3．建立直角坐标系

例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC2BD，CA3CE，则ADBE__________．

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AEB

CD1【答案】ADBE

4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 311A0,B,0C如图建系：，，,0， 222

131下面求E坐标：令Ex,y，∴CEx,y，CA2,2， 21113xx13223E由CA3CE可得：，∴3,6， 33y3y625331AD0,BE,ADBE∴，，∴． 6624

对点增分集训

一、单选题

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1．已知向量a，b满足a1，b2，且向量a，b的夹角为，若ab与b垂直，则实数的值4为（ ）

A．11222B．2C．4D．4

【答案】D

【解析】因为ab12cos42，所以abb24024，故选D． 2．已知向量a，b满足a1，b2，ab7，则ab（ ） A．1B．2C．3D．2 【答案】A

【解析】由题意可得：ab2a2b22ab142ab7，则ab1．故选A． 3．如图，平行四边形ABCD中，AB2，AD1，A60，点M在AB边上，且AM13AB，则DMDB（ ）

A．1B．1C．33D．33

【答案】B

【解析】因为AM13AB，所以DBABAD，DMAMAD13ABAD， 则DBBMABAD112423ABAD3AB3ABADAD 13443211211．故选B． 4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若ABa，ACb，则AO（ 3 / 10

）

11111111A．abB．abC．abD．ab

22244244【答案】B

【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC的中线，所以AE又因为O是BE边的中点，所以AO所以AO1ABAE， 21AC， 211111ABAEABAEab，故选B． 222245．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD1，ABBC2，BCD120，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且BPBC，DQ

339A．2B．C．D．

2481DC，则APBQ的最大值为（ ） 8【答案】D

【解析】因为AB∥CD，CD1，ABBC2，BCD120， 所以ABCD是直角梯形，且CM3，BCM30，

以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

因为BPBC，DQ1DC，动点P和Q分别在线段BC和CD上， 84 / 10

11，B2，0，P2,3，Q，3， 则0，81112，354， 所以APBQ2，3488令f5111， 4且0，48由基本不等式可知，当1时可取得最大值， 则fmaxf151194．故选D． 4886．已知△ABC中，AB2，AC4，BAC60，P为线段AC上任意一点，则PBPC的范围是（ ）

94B．0，4C．，4 4D．2，A．1，4【答案】C

【解析】根据题意，△ABC中，AB2，AC4，BAC60，

则根据余弦定理可得BC416224cos6012，即BC23．∴△ABC为直角三角形以B2，C23，0， 为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A0，2

则线段AC的方程为x23y1，0x23． 2设Px,y，则PBPCx，y23x，yx2y223x9∵0x23，∴PBPC4．故选C．

442103xx4． 337．已知非零向量a，b，满足aA．

3B．C．D． 4242b且ab3a2b0，则a与b的夹角为（ ） 2【答案】A

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【解析】非零向量a，b，满足a22b且ab3a2b0，则ab3a2b0， ∴3a2ab2b20，∴3a2abcos2b20， ∴312b222bbcos2b20， ∴cos22，4，∴a与b的夹角为4，故选A．

8．在Rt△ABC中斜边BCa，以A为中点的线段PQ2a，则BPCQ的最大值为（ ） A．2B．0C．2D．22 【答案】B

【解析】∵在Rt△ABC中斜边BCa，∴BACA， ∵A为线段PQ中点，且PQ2a，

∴原式a2BAAQAQCAa2AQBACAa2AQCBa2a2cos，

当cos1时，有最大值，BPCQ0．故选B．

9．设向量a，b，c，满足ab1，ab12，ac,bc60，则c的最大值等于（ A．1B．2C．3D．2 【答案】D

【解析】设OAa，OBb，OCc，因为ab12，ac,bc60，

所以AOB120，ACB60，所以O，A，B，C四点共圆， 因为ABba，AB2ba2b2a22ab3，所以AB3，

由正弦定理知2RABsin1202，即过O，A，B，C四点的圆的直径为2，

所以c的最大值等于直径2，故选D．

10．已知a与b为单位向量，且ab，向量c满足cab2，则c的取值范围为（ ） A．1,12B．22,22

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）

C．2,22D．322,322

【答案】B

【解析】由a，b是单位向量，ab0，可设a1,0，b0,1，cx,y， 由向量c满足cab2，∴x1,y12， ∴x122y12，即x1y14，其圆心C1,1，半径r2，

22∴OC2，∴22cx2y222．故选B．

11．平行四边形ABCD中，AC，BD在AB上投影的数量分别为3，1，则BD在BC上的投影的取值范围是（ ）

A．1,B．1,3C．0,D．0,3 【答案】A

【解析】建立如图所示的直角坐标系：设Ba,0，

则C3,b，Da1,b，则3a1a，解得a2．所以D1,b，C3,b．BD在BC上的摄影BMBDcos1b2cos，

当b0时，cos1，得到：BM1，当b时，0，BM，故选A．

112．如图，在等腰直角三角形ABC中，ABAC2，D，E是线段BC上的点，且DEBC，

3则ADAE的取值范围是（ ）

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8448884A．,B．,C．,D．,

9333933【答案】A

【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

21则A0,1，B1,0，C1,0，设Dx,0，则Ex,0，1x．

332据此有ADx,1，AEx,1，

3218则ADAExx1x．

3392218据此可知，当x时，ADAE取得最小值；

39当x1或x14时，ADAE取得最大值； 3384

的取值范围是ADAE9,3．故选A． 

二、填空题

13．已知向量a1,2，b2,2，c1,，若c∥2ab，则________． 【答案】

1． 2【解析】因为a1,2，b2,2，所以2ab4,2， 又c1,，且c∥2ab，则42，即1． 28 / 10

14．若向量a，b满足a1，b2，且aab，则a与b的夹角为__________． 3【答案】

4【解析】由aab得，aab0，即a2ab0，

2据此可得ababcosa,ba，∴cosa,b1123又a与b的夹角的取值范围为0,，故a与b的夹角为．

42， 215．已知正方形ABCD的边长为2，E是CD上的一个动点，则求AEBD的最大值为________． 【答案】4

【解析】设DEDCAB，则AEADDEADAB， 又BDADAB，

∴AEBDADABADABADAB1ABAD44， ∵01，∴当0时，AEBD取得最大值4，故答案为4．

16．在△ABC中，C90，B30，AC2，P为线段AB上一点，则PBPC的取值范围为____．

【答案】3,27

22【解析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，

可得C0,0，A0,2，B23,0，则直线AB的方程为设Px,y，则y22x23y1， 2x3，0x23，PB23x,y，PCx,y，

则|PBPC232x22y

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x4x4y83x124x4283x12

32222

163165353x240x28x3，由，可得PBPC的最小x0,2323334值为 ，

时，则PBPC的最大值为

即PBPC的取值范围为3,27．故答案为3,27．10 / 10

4