专题08 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)

【高考地位】

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用． 【方法点评】

方法一 定点问题

求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．

x2【例1】【四川省广安市2014年高2011级第三次诊断考试20】(本小题13分)已知A、B是椭圆y212上的两点，且AFFB，其中F为椭圆的右焦点. (1)求实数的取值范围;

(2)在x轴上是否存在一个定点M，使得MAMB为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.

[来源:学科网] Go the distance

【变式演练1】【2015届广东惠州市第二次调研】已知椭圆C过点M(1,6)，点F(2,0)是椭圆的左焦2点，点P、Q是椭圆C上的两个动点，且PF、MF、QF成等差数列． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.

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方法二 定值问题

解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【例2】【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试20】

x2y234椭圆C：221(a＞b＞0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直

ab55线l交C于A、B两点.当m＝0时，PAPB(1)求C的方程；

(2)证明：|PA||PB|为定值.

2241 2 Go the distance

【变式演练2】【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】如图，已知椭圆

x2y222C1:221(ab0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2 .点P 为直线

ab22l：x＋y＝2 上且不在x轴上的任意一点，直线PF1 和PF2 与椭圆的交点分别为A、B 和C、D，O 为

坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)设直线PF1、PF2 的斜率分别为k1、k2 .

(ⅰ)证明：

[来源学科网]

13＝2. k1k2(ⅱ)问直线l 上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD 的斜率kOA、kOB、kOC、kOD 满足

kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0 ？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明由．

[来源:Z_xx_k.Com]

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【高考再现】

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点

F0,cc0到直线l:xy20的距离为

线PA,PB，其中A,B为切点． (1) 求抛物线C的方程；

32．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切2(2) 当点Px0,y0为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3) 当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值．

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2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F0,cc0到直线l:xy20的距离为

32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中2A,B为切点.

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(Ⅰ) 求抛物线C的方程；

(Ⅱ) 当点Px0,y0为直线l上的定点时,求直线AB的方程； (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值.

解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x4cy,由解得c1. 所以抛物线C的方程为x4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x4y,即y2220c2232结合c0,2[来源:Z_xx_k.Com]

121x,求导得yx 42 Go the distance

3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平分

线, 证明直线l过定点.

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4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】

x2y23椭圆C： 221ab0的左、右焦点分别是F1,F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线

ab2被椭圆C截得的线段长为1. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点Mm,0，求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l,使l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线的PF1,PF2斜率分别为k1,k2.若k0，试证明

11为定值，并求出这个定值. kk1kk2 Go the distance

k0x3,ky0112x1y2x,0003k1k2y.

0 Go the distance

5.【2012年高考湖南卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值. 解：（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为(x,y)，由已知得

x2(x5)2y23，

易知圆C2上的点位于直线x2的右侧.于是x20，所以

(x5)2y2x5.

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y1y2y3y4400(y04k1)(y04k2)

k1k2

2400y04(k1k2)y016k1k2k1k2 Go the distance

22400y0y016k1k2k1k26400.

所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400..

x2y26.【2012年高考辽宁卷理科】如图，椭圆C0:2+2=1a>b>0,a,b为常数，动圆C1:x2+y2=t12,bab点A1,A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A,B,C,D四点 （1）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；

（2）设动圆C2:x2+y2=t22与C0相交于A',B',C',D'四点，其中bABCD''''的面积相等，证明：t12+t22为定值

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x2y27.【2012年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，

ab3e)和e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． F2(c，0)．已知(1，2y A P B F1 O F2 x （第19题）

（1）求椭圆的离心率；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P． （i）若AF1BF2[来源:学科网]

6，求直线AF1的斜率； 2（ii）求证：PF1PF2是定值．

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∴设AF1、BF2的方程分别为my=x1，my=x1，Ax1，y1，Bx2，y2，y1>0，y2>0,

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由①②得，AF1BF= ∴PF1+PF2=22 ∴PF1PF2是定值.

22m21m2223=2, 22，AFBF=m1， 2m228.【2014山东，理21】已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA||FD|.当点A的横坐标为3时，ADF2 Go the distance

为正三角形. （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

y0故直线AB的斜率kAB＝－. 2因为直线l1和直线AB平行，

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所以点B到直线AE的距离为

d＝

4＋x0＋4＋my0＋8－1

y04（x0＋1）x0

1＋m2＝

x0

＝4x0＋



1， x0

111

则△ABE的学科网面积S＝×4x0＋x0＋＋2≥16，

2x0x01

当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．

x0所以△ABE的面积的最小值为16.

9. 【2014辽宁，理 20】圆xy4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面

22x2y2积最小时，切点为P（如图），双曲线C1:221过点P且离心率为3.

ab（1）求C1的方程；

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（2）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求l的方程.

4 3

x＋x＝m（y＋y）＋2 3＝ ， ③m＋2

6－6m

xx＝myy＋3m（y＋y）＋3＝m＋2. ④

1

2

1

2

22

12

212

1

2

2→→→→

因为AP＝(2－x1，2－y1)，BP＝(2－x2，2－y2)，由题意知AP·BP＝0， 所以x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，⑤

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将①②③④代入⑤式整理得 2m2－2 6m＋4 6－11＝0， 3 66

解得m＝－1或m＝－＋1.

22因此直线l的方程为

3 66

x－(－1)y－3＝0或x＋(－1)y－3＝0.

22

x2210. 【2014江西，理20】如图，已知双曲线C:2y1(a0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐

a近线上，AFx轴，ABOB,BF∥OA(O为坐标原点）. （1）求双曲线C的方程；

（2）过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:x0x3与直线相交于点，与直线相交于点MAFxyy10a22N，证明点P在C上移动时，

MF恒为定值，并求此定值 NF

（2）A(2，

23xx)，l:0y0y1，F（2,0）， 33M(2，

3x22x03)，N(，0)………………………………………………… 9分

23y02y0 Go the distance

MFNF|2x03|3y01x02244y022|2x03|23y0(x02)22|2x03|2x031(x02)232|2x03|23 3|2x03|33【反馈练习】

1．已知动圆E过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线C （1）求曲线C方程；

（2）点A为直线l：xy20上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P,Q，求证：直线PQ 恒过定点，并求出该定点．

2．过x轴上动点A(a,0)引抛物线yx1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点,设切线AP、AQ的斜率分别为k1和k2．

2 Go the distance

（Ⅰ）求证：k1k24；

（Ⅱ）求证：直线PQ恒过定点，并求出此定点坐标；

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x2y23．【天津一中2014---2015高三年级月考数学试卷，理19】已知椭圆221,ab0的离心率为

ab2，且过点2,2 2(1)求椭圆的标准方程：

(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kACkBD（i）求OAOB的最值：

（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值.

[来源学科网]b22

a

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4．【山东省实验中学2014---2015第一次诊断性考试，理20】（本小题满分13分）已知椭圆

x2y2C:221ab0，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.

ab（I）求椭圆的方程；

AEEB.判断（II）过点Q1,0的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x4于点E，AQQB，是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.

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5. 【河南八校2014-2015学年上学期第一次联考，理20】（本小题满分12分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于

1 ，它的一个顶点恰好是抛物线x283y的焦点. 2 Go the distance

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点， ①若直线AB的斜率为

1，求四边形APBQ面积的最大值； 2②当A、B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

[来源:Z。xx。k.Com]

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6. 【湖南省衡阳市八中2014届高三上学期第三次月考试卷数学】已知直线l:xmy1过椭圆

x2y2C:221(ab0)的右焦点F，抛物线x243y的焦点为椭圆C的上顶点,且直线l交椭圆Cab于A,B两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l交y轴于点M,且MA1AF,MB2BF,当m变化时,

求出这个定值，若不是，说明由.

12的值是否为定值？若是，

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x2y27. 【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】已知椭圆221ab0的离心率为

abe3，直线yx2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切. 2（1）求椭圆C的方程；

（2）如下图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：2mk为定值.

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8. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】（本小题满分12分）已知点M是椭圆C：

x2y221(ab0)上一点，F1,F2分别为C的左右焦点|F1F2|4，F1MF2600，F1MF2的面积2ab为

43. 3（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设N(0,2)，过点P(1,2)作直线l，交椭圆C异于N的A,B两点，直线NA,NB的斜率分别为

k1,k2，证明：k1k2为定值.

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9．【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】已知左焦点为F(1,0)的椭圆过点E(1,分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD，设M,N分别为线段AB,CD的中点．

23过点P(1,1))．3

[来源学科网Z|X|X|K]（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为线段AB的中点，求k1；

（3）若k1k21，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

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10. 【四川省内江六中2014届高三第二次月考数学试题】（本小题满分13分）已知椭圆

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x2y23C:221ab0过点A(2,0),离心率为.

ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点B(1,0)且斜率为k（k0）的直线l与椭圆C相交于E,F两点，直线AE、AF分别交直线x3 于M、N两点,线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k，求证: kk为定值.

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