2016-2017学年广东省东莞市旭东学校九年级（上）第一次月考数学
试卷
一、选择题
=2
1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．ax2+bx+c=0
B．x2+2x=x2﹣1
C．（x﹣1）（x﹣3）=0 D．
D．
2．下列函数中，开口方向向上的是（ ） A．y=ax2
2
B．y=﹣2x2 C．
C．x轴上
3．抛物线y=2x﹣3的顶点在（ ） A．第一象限
B．第二象限
2
D．y轴上
4．用配方法解一元二次方程x+8x+7=0，则方程可化为（ ） A．（x+4）2=9
2
B．（x﹣4）2=9 C．（x+8）2=23 D．（x﹣8）2=9
5．方程ax+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么成立的式子是（ ） A．b2﹣4ac＞0
B．b2﹣4ac＜0
2
C．b2﹣4ac≤0 D．b2﹣4ac≥0
6．关于x的一元二次方程x+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（ ） A．k=﹣4
B．k=4
C．k≥﹣4
D．k≥4
7．下列方程中两实数根互为倒数有（ ） ①x2﹣2x﹣1=0；②2x2﹣7x+2=0；③x2﹣x+1=0． A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（ ） A．
B．x（x﹣1）=90
C．
D．x（x+1）=90
9．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．已知a，b为实数，（a+b）﹣（a+b）﹣6=0，则代数式a+b的值为（ ） A．2 二、填空题
2
2222222
B．3
C．﹣2
D．3或﹣2
11．方程3x=x的解为 ．
2
12．已知方程x+kx﹣2=0的一个根是1，则另一个根是 ，k的值是 ． 13．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程： ．
14．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是 ．
15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ． 三、解答题 16．按要求解方程
2
（1）x﹣4x+1=0（配方法） （2）4x2﹣6x﹣3=0（运用公式法）
2
（3）（2x﹣3）=5（2x﹣3）（分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）
17．求证：方程2x2+3（m﹣1）x+m2﹣4m﹣7=0对于任何实数m，永远有两个不相等的实数根．
2
18．阅读下面的例题，解方程（x﹣1）﹣5|x﹣1|﹣6=0
例：解方程x2﹣|x|﹣2=0；解：令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0 解得：y1=2，y2=﹣1
当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时（不合题意，舍去） ∴原方程的解是x1=2，x2=﹣2．
19．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
20．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
2
的值．
21．关于x的一元二次方程（a﹣6）x﹣8x+9=0有实根． （1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求
2016-2017学年广东省东莞市旭东学校九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．ax2+bx+c=0
B．x2+2x=x2﹣1
C．（x﹣1）（x﹣3）=0 D．
=2
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义分别判断即可．
【解答】解：A、没有说明a是否为0，所以不一定是一元二次方程； B、移项合并同类项后未知数的最高次为1，所以不是一元二次方程；
C、方程可整理为x﹣4x+3=0，所以是一元二次方程； D、不是整式方程，所以不是一元二次方程； 故选：C．
2
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，注意有的方程需要整理成一元二次方程的一般形式后再进行判断．
D．
2．下列函数中，开口方向向上的是（ ） A．y=ax2
B．y=﹣2x2
C．
【考点】二次函数的性质．
【分析】当二次函数的中二次项的系数大于0时，其开口向下，可求得答案．
【解答】解： 在y=ax中，
2
当a＞0时，抛物线开口向上， 在y=x中，a=＞0， ∴其开口向上， 故选C．
2
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的中二次项系数的正负决定抛物线的开口方向是解题的关键．
2
C．x轴上
3．抛物线y=2x﹣3的顶点在（ ） A．第一象限
B．第二象限
D．y轴上
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点坐标的特点，直接写出顶点坐标，再判断顶点位置．
【解答】解：由y=2x2﹣3得：抛物线的顶点坐标为（0，﹣3）， ∴抛物线y=2x2﹣3的顶点在y轴上， 故选D．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法．
4．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（ ） A．（x+4）2=9
B．（x﹣4）2=9
C．（x+8）2=23
D．（x﹣8）2=9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2+8x+7=0， 移项得：x2+8x=﹣7，
配方得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9． 故选A
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
2
5．方程ax+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么成立的式子是（ ） A．b2﹣4ac＞0
B．b2﹣4ac＜0
C．b2﹣4ac≤0
D．b2﹣4ac≥0
【考点】根的判别式．
【分析】直接根据判别式的意义判断． 【解答】解：根据题意得△=b2﹣4ac≥0． 故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
2
6．关于x的一元二次方程x+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（ ） A．k=﹣4
B．k=4
C．k≥﹣4
D．k≥4
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，
∴△=4﹣4k=0， 解得：k=4， 故选：B．
2
2
2
【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
7．下列方程中两实数根互为倒数有（ ） ①x2﹣2x﹣1=0；②2x2﹣7x+2=0；③x2﹣x+1=0． A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【考点】根与系数的关系．
【分析】两根互为倒数就是两根之积为1，从而求解． 【解答】解：设方程的两根为a，b， ①ab=﹣1，不合题意； ②ab==1，符合题意；
2
③b﹣4ac=1﹣4＜0，没有实数根，所以不符合题意． 故选B．
【点评】考查了根与系数的关系，解题的关键是了解两根之积等于多少，难度一般．
8．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（ ） A．
B．x（x﹣1）=90
C．
D．x（x+1）=90
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】如果设某一小组共有x个队，那么每个队要比赛的场数为（x﹣1）场，有x个小队，那么共赛的场数可表示为x（x﹣1）=90． 【解答】解：设某一小组共有x个队， 那么每个队要比赛的场数为x﹣1；
则共赛的场数可表示为x（x﹣1）=90． 故本题选B．
【点评】本题要注意比赛时是两支队伍同时参赛，且“每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场”，以免出错．
2
9．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
2
2
2
2
2
2
2
10．已知a，b为实数，（a+b）﹣（a+b）﹣6=0，则代数式a+b的值为（ ） A．2
B．3
C．﹣2
D．3或﹣2
【考点】换元法解一元二次方程．
【分析】设a2+b2=x，将原方程变形，解一元二次方程即可． 【解答】解：设a2+b2=x，
原方程变形为，x﹣x﹣6=0， 解得x=3或﹣2， ∵a2+b2≥0， ∴a+b=3， 故选B．
2
2
2
【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是找出要变形的整体． 二、填空题
2
11．方程3x=x的解为 x1=0，x2= ． 【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】可先移项，然后运用因式分解法求解． 【解答】解：原方程可化为：3x﹣x=0， x（3x﹣1）=0， x=0或3x﹣1=0，
2
解得：x1=0，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
2
12．已知方程x+kx﹣2=0的一个根是1，则另一个根是 ﹣2 ，k的值是 1 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出k值和方程的另一根． 【解答】解：设方程的也另一根为x1， 又∵x=1， ∴
，
解得x1=﹣2，k=1．
【点评】此题也可先将x=1代入方程x2+kx﹣2=0中求出k的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根．
2
13．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程： x﹣x﹣6=0 ． 【考点】根与系数的关系．
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一根为3，另一个根为﹣2，则方程是（x﹣3）（x+2）=0的形式，即可得出答案．
【解答】解：根据一个根为x=3，另一个根为x=﹣2的一元二次方程是：x2﹣x﹣6=0；
2
故答案为：x﹣x﹣6=0．
【点评】此题考查了根与系数的关系，已知方程的两根，写出方程的方法是需要熟练掌握的一种基本题型．
14．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是 289（1﹣x）2=256 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
2
【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2， 即方程为289（1﹣x）=256． 故答案为：289（1﹣x）=256．
22
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0， ∴x=0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x+x+m﹣1=0，且m﹣1≠0， ∴m﹣1=0，即（m﹣1）（m+1）=0且m﹣1≠0， ∴m+1=0， 解得，m=﹣1； 故答案是：﹣1．
2
2
2
【点评】本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零． 三、解答题 16．按要求解方程
（1）x2﹣4x+1=0（配方法） （2）4x﹣6x﹣3=0（运用公式法）
2
（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求解． 【解答】解：（1）x2﹣4x+4=4﹣1， ∴（x﹣2）=3， ∴x=2±
；
2
（2）∵a=4，b=﹣6，c=﹣3，
2
2
∴△=b﹣4ac=（﹣6）﹣4×4×（﹣3）=36+48=84， ∴x=
=
；
（3）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=0， ∴（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0， ∴x=或x=4；
（4）x+9x+8=﹣12， ∴x2+9x+20=0，
2
∴（x﹣4）（x﹣5）=0， x=4或x=5
【点评】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题型．
17．求证：方程2x2+3（m﹣1）x+m2﹣4m﹣7=0对于任何实数m，永远有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【分析】先计算△=9（m﹣1）2﹣4×2（m2﹣4m﹣7）=m2+14m+65=（m+7）2+16，由（m+7）2≥0得到△＞0，即可证明原方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：△=9（m﹣1）﹣4×2（m﹣4m﹣7）， =m+14m+65， =（m+7）2+16．
2
2
2
2
∵对于任何实数m，（m+7）≥0，
∴△＞0，即原方程有两个不相等的实数根．
2
2
所以方程2x+3（m﹣1）x+m﹣4m﹣7=0对于任何实数m，永远有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
2
18．阅读下面的例题，解方程（x﹣1）﹣5|x﹣1|﹣6=0
例：解方程x﹣|x|﹣2=0；解：令y=|x|，原方程化成y﹣y﹣2=0 解得：y1=2，y2=﹣1
2
2
当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时（不合题意，舍去） ∴原方程的解是x1=2，x2=﹣2． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】仿照例题依次计算即可．
【解答】解：令y=|x﹣1|，原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，
解得：y=﹣1或y=6，
当|x﹣1|=﹣1时，不符合题意，舍去； 当|x﹣1|=6时，即x﹣1=6或x﹣1=﹣6， 解得：x=7或x=﹣5．
【点评】本题主要考查解方程的能力，理解题意是解题的根本，掌握因式分解法解方程的能力是关键．
19．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；
（2）根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2017年该县投入教育经费为8640×（1+0.2），再进行计算即可．
【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得： 6000（1+x）2=8640
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；
（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，
所以2017年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元）， 答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）=b．
的值．
2
21．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根． （1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤
且a≠6，然后在次范围内找出最大的整数；
（2）①把a的值代入方程得到x2﹣8x+9=0，然后利用求根公式法求解；
②由于x﹣8x+9=0则x﹣8x=﹣9，然后把x﹣8x=﹣9整体代入所求的代数式中得到原式=2x﹣
=2x2﹣16x+，再变形得到2（x2﹣8x）+，再利用整体思想计算即可．
2222
【解答】解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0， 解得a≤
且a≠6，
所以a的最大整数值为7；
（2）①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0， △=64﹣4×9=28， ∴x=∴x1=4+
2
； ，
2
， ，x2=4﹣
②∵x﹣8x+9=0， ∴x2﹣8x=﹣9， 所以原式=2x2﹣=2x﹣16x+， =2（x2﹣8x）+， =2×（﹣9）+， =﹣
．
2
【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法以及整体思想．
2
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