参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置． 1．若3x=2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ） A．
B． C． D．
【考点】交叉相乘法则．
【解析】各选项中，对比例交叉相乘，可知，只有A与已知条件相符。 故选：A．
2．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（ ） A．4：9
B．2：3
C．
：
D．16：81
【考点】相似多边形的性质．
【解析】∵两个相似多边形的周长比等于面积的比的平方，所以， ∴这两个相似多边形周长的比是2：3． 故选：B．
3．已知函数y=（m﹣3）x是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣3
B．±3
C．3
D．±
【考点】二次函数的定义． 【解析】∵函数y=（m﹣3）x是二次函数，
∴
，
解得：m=﹣3． 故选：A．
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD=1，BD=2，那么
的值为（
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
）
【考点】平行线分线段成比例． 【解析】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
=
，
∵AD=1，DB=2， ∴=， ∴
=．
故选：B．
5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（
A． B． C． D．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式；GA：反比例函数的应用． 【解析】设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=， ∵过（2，3）， ∴k=3×2=6， ∴I=， 故选：D．
6．反比例函数y=的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是（ A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y1=y2
D．不能确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），
）
） ∴y1=﹣3，y2=， ∵﹣3＜， ∴y1＜y2． 故选：A．
7．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．a+b+c＞0 C．b+2a=0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
B．ab＞0
D．当y＞0，﹣1＜x＜3
【解析】A、由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故本选项错误，
B、由对称轴x＞0．可得﹣
＞0，可得ab＜0，故本选项错误，
=1，可得b+2a=0，故本选项正确，
C、由与x轴的交点坐标可得对称轴x=1，所以﹣
D、由图形可得当y＜0，﹣1＜x＜3．故本选项错误， 故选：C．
8．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
【考点】二次函数的应用．
【解析】根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）， 则
解得，
所以x=﹣故选：B．
==15（m）．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．请写出一个开口向上，且与y轴交于（0，﹣1）的二次函数的解析式 y=x2+2x﹣1 ． 【考点】二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式． 【解析】根据题意得：y=x2+2x﹣1， 故答案为：y=x+2x﹣1 10．已知
，则
=
．
2
【考点】比例的性质． 【解析】
，得x=y，
=．
把x=y，代入
故答案为：．
11．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为 y=（x﹣3）
2
+1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【解析】抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把（0，1）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，1），所以平移后的抛物线为y=（x﹣3）2+1． 故答案为y=（x﹣3）2+1．
12．若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为 6 ． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【解析】∵x=1是方程2ax2+bx=3的根， ∴2a+b=3，
∴当x=2时，函数y=ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）=6， 故答案为6．
13．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是 100米 ．
【考点】相似三角形的应用． 【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC， ∴∠B=∠C=90°． 又∵∠ADB=∠EDC， ∴△ADB∽△EDC． ∴
，即
．
解得：AB=100米． 故答案为：100米
14．如图，C1是反比例函数y=在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为 y=﹣ （x＞0）．
【考点】反比例函数的图象；G4：反比例函数的性质；G7：待定系数法求反比例函数解析式；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【解析】∵C2与C1关于x轴对称， ∴点A关于x轴的对称点A′在C2上， ∵点A（2，1）， ∴A′坐标（2，﹣1），
∴C2对应的函数的表达式为y=﹣， 故答案为y=﹣．
15．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．
【考点】相似三角形的应用；U5：平行投影． 【解析】如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°， ∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF， 有
=
；即DC2=ED•FD，
代入数据可得DC2=16， DC=4； 故答案为：4．
16．如图，在直角坐标系中，有两个点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C坐标为 （﹣1，0）或者（1，0）或者（﹣4，0） 时，使得由B、O、C三点组成的三角形和△AOB相似．
【考点】坐标与图形性质；S9：相似三角形的判定与性质． 【解析】∵点C在x轴上，
∴∠BOC=90°两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应， 若OC与OA对应，则OC=OA=4，C（﹣4，0）；
若OC与OB对应，则OC=1，C（﹣1，0）或者（1，0）．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）
17．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．
（1）将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）与y轴的交点坐标是 （0，﹣3） ，与x轴的交点坐标是 （3，0）（﹣1，0） ； （3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
x … y … … … （4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是 x＜﹣1或x＞3 ．
【考点】二次函数的图象；H9：二次函数的三种形式；HC：二次函数与不等式（组）． 【解析】（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4；
（2）令x=0，则y=﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是 （0，﹣3）， 又y=x﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），
所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）． 故答案是：（0，﹣3）；（3，0）（﹣1，0）；
2
（3）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 图象如图所示：
；
（4）如图所示，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3． 故答案是：x＜﹣1或x＞3．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质． 【解析】∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴∠AED=∠C=90°， 又∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB， ∴
，
又∵DE=2，BC=3，AC=6， ∴
，
∴AE=4．
19．（5分）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式．
【解析】∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）和（1，﹣2）两点， ∴解得：
， ，
∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x+1．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x+1的图象的一个交点为A（﹣1，m）． （1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请确定当x＜n时，对应的反比例函数y=的值的范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【解析】（1）∵点A在一次函数y=﹣x+1的图象上， ∴m=﹣（﹣1）+1=2， ∴点A的坐标为（﹣1，2）． ∵点A在反比例函数∴k=﹣1×2=﹣2．
∴反比例函数的表达式为y=﹣． （2）令y=﹣x+1=0，解得：x=1， ∴点B的坐标为（1，0）， ∴当x=1时，
=﹣2．
的图象上，
由图象可知，当x＜1时，y＞0或y＜﹣2．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F． （1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
【考点】平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质． 【解答】（1）证明：如图． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB． 又∵∠DAE=∠F， ∴∠AEB=∠F． ∴△ABE∽△ECF；
（2）解：∵△ABE∽△ECF， ∴
，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8．
∴EC=BC﹣BE=8﹣2=6． ∴∴
． ．
22．（5分）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）y与x之间的函数关系式为 y=﹣2x2+4x+16 （不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问
此时BE的长为多少米？
【考点】一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用． 【解析】（1）y=（4﹣x）（4+2x）=﹣2x2+4x+16， 故答案为：y=﹣2x2+4x+16；
（2）根据题意可得：﹣2x2+4x+16=16， 解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去）， 答：BE的长为2米．
23．（6分）已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 【考点】抛物线与x轴的交点．
【解答】（1）证明：令y=0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0， ∵△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1 =（4m2﹣4 m+1）﹣（4m2﹣4m） =1＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）解：令x=0，根据题意有：m﹣m=﹣3m+3， 解得m=﹣3或1．
24．（6分）已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．
（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；
（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．
2
【考点】相似三角形的应用． 【解析】如图，∵HE∥DF，HC∥AB， ∴△CDF∽△ABE∽△CHE， ∴AE：AB=CF：DC，
∴AE=8米，由AC=7米，可得CE=1米， 由比例可知：CH=1.5米＞1米， 故影响采光．
25．（6分）如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．
（1）画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；
（2）在抛物线型拱壁E、F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？
【考点】HE：二次函数的应用．
【解析】（1）画出直角坐标系xOy，如图：
由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为（6，10）， A点坐标为（0，4），
可设抛物线ADC的函数表达式为y=a（x﹣6）2+10， 将x=0，y=4代入得：a=﹣，
∴抛物线ADC的函数表达式为：y=﹣ （x﹣6）2+10． （2）由y=8得：﹣ （x﹣6）2+10=8， 解得：x1=6+2则EF=x1﹣x2=4
，x2=6﹣2
，
米．
，即两盏灯的水平距离EF是4
26．（6分）有这样一个问题：探究函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质． （1）先从简单情况开始探究：
①当函数y=（x﹣1）+x时，y随x增大而 增大 （填“增大”或“减小”）；
②当函数y=（x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为 （1，1），（2，2） ；
（2）当函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时， 下表为其y与x的几组对应值． x y … ﹣ … ﹣0 ﹣3 1 1 2 2 3 3 4 7 … … ①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： y随x的增大而增大 ．
【考点】二次函数的图象；H3：二次函数的性质． 【解析】（1）①∵y=（x﹣1）+x=x﹣， k=＞0，
∴y随x增大而增大， 故答案为：增大；
②解方程组得：，，
所以两函数的交点坐标为（1，1），（2，2）， 故答案为：（1，1），（2，2）； （2）①
②该函数的性质： ①y随x的增大而增大；
②函数的图象经过第一、三、四象限； ③函数的图象与x轴y轴各有一个交点等， 故答案为：y随x的增大而增大．
27．（7分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为 3
．
【考点】二次函数综合题．
【解析】（1）如图，直线l为所作；
（2）∵△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3， 即OB=OC=3，
∴C（0，3），B（3，0），
把C（0，3），B（3，0）分别代入y=x2+mx+n得解得
，
，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x=3；
（3）连接BC交直线l于P，如图，则PA=PB， ∵PC+PA=PC+PB=BC， ∴此时PC+PA的值最小， 而BC=
OB=3
，
．
∴PA+PC的最小值为3故答案为3
．
28．（7分）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G． （1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．则DE•CD = CF•AD（填“＜”或“=”或“＞”）；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE•CD=CF•AD成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若BA=BC=3，DA=DC=4，∠BAD=90°，DE⊥CF．则
的值为
．
【考点】四边形综合题．
【解答】（1）解：DE•CD=CF•AD， 理由是：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠FDC=90°， ∵CF⊥DE， ∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°， ∴∠CFD=∠AED， ∵∠A=∠CDF， ∴△AED∽△DFC， ∴
=
，
∴DE•CD=CF•AD， 故答案为：=．
（2）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°， ∵∠B+∠EGC=180°， ∴∠A=∠EGC=∠FGD， ∵∠FDG=∠EDA， ∴△DFG∽△DEA， ∴
=
，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°， ∴∠CGD=∠CDF， ∵∠GCD=∠DCF， ∴△CGD∽△CDF， ∴∴
==
， ，
∴DE•CD=CF•AD，
即当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立．
（3）解：=．
理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x， ∵∠BAD=90°，即AB⊥AD， ∴∠A=∠M=∠CNA=90°， ∴四边形AMCN是矩形， ∴AM=CN，AN=CM， 在△BAD和△BCD中
∴△BAD≌△BCD（SSS）， ∴∠BCD=∠A=90°， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°， ∴∠MBC=∠ADC， ∵∠CND=∠M=90°， ∴△BCM∽△DCN， ∴=
，
∴
=，
∴CM=x，
在Rt△CMB中，CM=x，BM=AM﹣AB=x﹣3，由勾股定理得：∴（x﹣3）2+（x）2=32， x=0（舍去），x=，
CN=
，
∵∠A=∠FGD=90°， ∴∠AED+∠AFG=180°， ∵∠AFG+∠NFC=180°， ∴∠AED=∠CFN， ∵∠A=∠CNF=90°， ∴△AED∽△NFC， ∴
=
=
， 故答案为：
．
BM2+CM2=BC2，
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