高中数学等差数列多选题专项训练专题复习及答案(1)

一、等差数列多选题

1．已知数列an的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）

A．an0,n为奇数

2,n为偶数n 2B．an(1)n11 D．ancos(n1)1

C．an2sin解析：BD 【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列an的前4项为2，0，2，0， 选项A：不符合题设；

选项B：a1(1)12,a2(1)10,

01a3(1)212,a4(1)310，符合题设；

选项C：，a12sin22,a22sin0,

a32sin32不符合题设； 2选项D：a1cos012,a2cos10,

a3cos212,a4cos310，符合题设.

故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2．已知数列an满足：a13，当n2时，an说法正确的是（ ） A．a28

C．数列an为周期数列 解析：ABD 【分析】

由已知递推式可得数列可得结果. 【详解】

B．数列an为递增数列

2D．ann2n

an1111，则关于数列an2an1是首项为a112，公差为1的等差数列，结合选项

anan1111得an12an111，

2∴an1即数列

an111，

an1是首项为a112，公差为1的等差数列，

∴an12(n1)1n1，

2∴ann2n，得a28，由二次函数的性质得数列an为递增数列，

所以易知ABD正确， 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.

3．在下列四个式子确定数列an是等差数列的条件是（ ）

A．anknb（k，b为常数，nN*）； B．an2and（d为常数，

nN*）；

C．an22an1an0nN； （nN*）. 解析：AC 【分析】

直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】

A选项中anknb（k，b为常数，nN*），数列an的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，

B选项中an2and（d为常数，nN*），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；

C选项中an22an1an0nN，对于数列an符合等差中项的形式，所以是等差

**2D．an的前n项和Snnn1数列，故正确；

22D选项an的前n项和Snnn1（nN*），不符合SnAnBn，所以an不

为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】

本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

4．首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn，现有下列4个命题中正确的有（ ）

A．若S100，则S2S80；

B．若S4S12，则使Sn0的最大的n为15

C．若S150，S160，则Sn中S8最大 D．若S7S8，则S8S9 解析：BC 【分析】

根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】

A选项，若S1010a1109d0，则2a19d0， 2那么S2S82a1d8a128d10a129d16d0.故A不正确； B选项，若S4S12，则a5a6a11a124a8a90，

又因为a10，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为S1616a1a168a8a90， 2所以使Sn0的最大的n为15.故B正确； C选项，若S1515a1a1516a1a168a8a90， 15a80，S1622则a80，a90，则Sn中S8最大.故C正确；

D选项，若S7S8，则a80，而S9S8a9，不能判断a9正负情况.故D不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型. 5．已知数列an为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A．an1and（d为常数）

B．数列an是等差数列 D．an1是an与an2的等差中项

1C．数列是等差数列

an解析：ABD 【分析】

由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项. 【详解】

A.因为数列an是等差数列，所以an1and，即an1and，所以A正确； B. 因为数列an是等差数列，所以an1and，那么

an1anan1and，所以数列an是等差数列，故B正确；

C.

11aan1d1n，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正an1ananan1anan1an确；

D.根据等差数列的性质可知2an1anan2，所以an1是an与an2的等差中项，故D正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 6．等差数列an中，Sn为其前n项和，a115,A．d1 B．a4a13 C．Sn的最大值为S8

D．使得Sn0的最大整数n15 解析：BCD 【分析】

S5S11，则以下正确的是（ ）

d2a设等差数列n的公差为d，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐

a151项判断即可得解. 【详解】

设等差数列an的公差为d，

5411105ad11add211由题意，，所以，故A错误； 22a115a115所以a4a13d9,a13a112d9，所以a4a13，故B正确； 因为Sna1nnn122dn216nn864，

2所以当且仅当n8时，Sn取最大值，故C正确； 要使Snn8640，则n16且nN， 所以使得Sn0的最大整数n15，故D正确. 故选：BCD.

7．公差不为零的等差数列an满足是（ ） A．S110

C．当S110时，SnS5 解析：BC 【分析】

B．SnS10n（1n10） D．当S110时，SnS5

a3a8，Sn为an前n项和，则下列结论正确的

设公差d不为零,由【详解】 设公差d不为零, 因为

a3a8，解得a1d，然后逐项判断.

92a3a8，

所以a12da17d， 即a12da17d， 解得a1d，

92119S1111a155d11d55dd0，故A错误；

22nn110n9nddn210nddn210n,S10n10na12222，故B正确； Snna1若S1111a155d11119d55dd0，解得d0，

22d2dd2n10nn525S5，故C正确；D错误； 222故选：BC Sn8．已知等差数列an的公差不为0，其前n项和为Sn，且2a1、S8、S9成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A．2a53a9S8 解析：BD 【分析】

设等差数列an的公差为d，根据条件2a1、S8、S9成等差数列可求得a1与d的等量关系，可得出an、Sn的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】

设等差数列an的公差为d，则S88a1B．S2S7

C．S5最小

D．a50

87d8a128d，2S99a198d9a136d， 2因为2a1、S8、S9成等差数列，则2S82a1S9，即16a156d2a19a136d，

n29ndnn1d. 解得a14d，ana1n1dn5d，Snan122对于A选项，2a53a934d12d，S88289d24d，A选项错误；

对于B选项，S22292d27d，S77297d27d，B选项正确；

2d2d981对于C选项，Snn9nn.

2224若d0，则S4或S5最小；若d0，则S4或S5最大.C选项错误； 对于D选项，a50，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n项和Sn的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.

9．公差为d的等差数列an，其前n项和为Sn，S110，S120，下列说法正确的有（ ） A．d0 解析：AD 【分析】

先根据题意得a1a110，a1a120，再结合等差数列的性质得a60，a70，

B．a70

C．Sn中S5最大

D．a4a9

d0，Sn中S6最大，a4a9，即：a4a9.进而得答案.

【详解】

解：根据等差数列前n项和公式得：S11所以a1a110，a1a120， 由于a1a112a6，a1a12a6a7， 所以a60，a7a60， 所以d0，Sn中S6最大， 由于a1a12a6a7a4a90， 所以a4a9，即：a4a9. 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 【点睛】

本题考查等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，是中档题. 10．已知递减的等差数列an的前n项和为Sn，S5S7，则（ ） A．a60 C．S130

B．S6最大 D．S110

11a1a1112a1a120，S120 22解析：ABD 【分析】

转化条件为a6a70，进而可得a60，a70，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解. 【详解】

因为S5S7，所以S7S50，即a6a70，

因为数列an递减，所以a6a7，则a60，a70，故A正确； 所以S6最大，故B正确； 所以S13所以S11a1a131313a270，故C错误； 0，故D正确.

a1a111111a26故选：ABD.

11．已知数列an的前n项和为SnSn0，且满足an4Sn1Sn0(n2),a1下列说法正确的是（ ）

1，则41A．数列an的前n项和为Sn

4nC．数列an为递增数列 解析：AD 【分析】

B．数列an的通项公式为anD．数列{1

4n(n1)1}为递增数列 Sn先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求Sn，最后根据和项与通项关系得an. 【详解】

an4Sn1Sn0(n2),SnSn14Sn1Sn0 Sn0因此数列{114 SnSn111}为以4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确； SnS1所以

1144(n1)4nSn，即A正确； Sn4n当n2时anSnSn1111 4n4(n1)4n(n1)1,n14所以an，即B，C不正确；

1,n24n(n1)故选：AD 【点睛】

本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

12．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A．a68 C．a1a3a5解析：ABD 【分析】

根据a11，a21，an2an1an，计算可知A,B正确；根据a1a2，

B．S733

a2019a2022

22a12a2a2019a2020 D．

a2019a3a4a2，a5a6a4，a7a8a6，，a2019a2020a2018，累加可知C不正

222确；根据a1a2a1，a2a2(a3a1)a2a3a1a2，a3a3(a4a2)a3a4a2a3，2a4a4(a5a3)a4a5a3a4，

2，a2019a2019(a2020a2018)a2019a2020a2018a2019，

累加可知D正确. 【详解】

依题意可知，a11，a21，an2an1an，

a3a1a2112，a4a2a3123，a5a3a4235，a6a4a5358，故A正确； a7a5a65813，所以

S7a1a2a3a4a5a6a71123581333，故B正确；

由a1a2，a3a4a2，a5a6a4，a7a8a6，可得

，a2019a2020a2018，

a1a3a5a7故C不正确；

a2019a2a4a2a6a4a8a6a2020a2018a2020，

22a12a2a1，a2a2(a3a1)a2a3a1a2，a3a3(a4a2)a3a4a2a3，2a4a4(a5a3)a4a5a3a4，

2，a2019a2019(a2020a2018)a2019a2020a2018a2019，

所以

222a12a2a3a42a2019a1a2a2a3a1a2a3a4a2a3a4a5a3a4a2019a2020a2018a2019 a2019a2020，

22a12a2a2019a2020，故D正确. 所以

a2019故选：ABD. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.

13．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)．再将扇形面积设为bn (n∈N*)，则（ ）

A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021

C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021 解析：ABD 【分析】

对于A，由题意得bn ＝

B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1

D．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0

2

an，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解4即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－2－an－1 an，然后累加求解；对于D，由题意an－1＝an－an－2，a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化简可得结果 则a2019·【详解】

2an，则4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)444a2021，则选项A正确； ＝πa2018·

由题意得bn ＝

又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，则选项B正确；

数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an

－1

2

＝an－1 an－2－an－1 an，则a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a2a1－a2a3)＋(a3a2－a3a4)＋…＋

(a2020a2019－a2020a2021)＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，则选项C错误；

a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋由题意an－1＝an－an－2，则a2019·

a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，则选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】

此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 14．已知数列an满足an11A．a31

1nN*，且a12，则（ ） anB．a20191 22019 23 2解析：ACD 【分析】

C．S3【详解】

D．S2 019先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．

111a311131由题意a21，，A正确，S321，C正确；

22222a4112，∴数列{an}是周期数列，周期为3． 1a2019a3673a31，B错；

32019S2019673，D正确．

22故选：ACD． 【点睛】

本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解． 15．已知数列an满足an0，

an1n2(nN)，数列an的前n项和为anann1B．a1a21 D．S2019a20202019

Sn，则（ ）

A．a11

C．S2019a20202019 解析：BC 【分析】

根据递推公式，得到an根据求和公式，得到Sn【详解】

nn11，令n1，得到a1，可判断A错，B正确；

a2an1ann，求出S2019a20202019，可得C正确，D错. an1an1nnn1an2n1nn1aan由可知，即n， 2anann1an1anan1anan当n1时，则a11，即得到a1a21，故选项B正确；a1无法计算，故A错； a2Sna1a21021ana2a1a3a2nn1n0n，aaaaann11n1n1所以Snan1n，则S2019a20202019，故选项C正确，选项D错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：

由递推公式求通项公式的常用方法：

（1）累加法，形如an1anfn的数列，求通项时，常用累加法求解；

an1fn的数列，求通项时，常用累乘法求解； （2）累乘法，形如an（3）构造法，形如an1panq（p0且p1，q0，nN+）的数列，求通

SnSn1,n2求

a,n11项时，常需要构造成等比数列求解；

（4）已知an与Sn的关系求通项时，一般可根据an解.16．题目文件丢失！

*17．设数列{an}的前n项和为Sn(nN)，关于数列{an}，下列四个命题中正确的是

（ ）

A．若an1an(nN*)，则{an}既是等差数列又是等比数列

2B．若SnAnBn(A，B为常数，nN*)，则{an}是等差数列

C．若Sn11，则{an}是等比数列

*D．若{an}是等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)也成等差数列

n解析：BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: an1an(nN*),an1an0得{an}是等差数列，当an0时不是等比数列，故错; 选项B:

SnAn2Bn,anan12A,得{an}是等差数列，故对;

n选项C: Sn11,SnSn1an2(1)n1(n2),当n1时也成立，

an2(1)n1是等比数列，故对;

*选项D: {an}是等差数列，由等差数列性质得Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)是等差数

列，故对; 故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n项和公式是解题关键. 18．在等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，则（ ） A．a4a6a1a9

C．若S9S15，则Sn中的最大值是S12 解析：AD 【分析】

对于A，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；

对于B，根据等差数列的前n项和公式得到a70和a7a80， 进而可得a80，由此可知|a7||a8|，故B不正确；

对于C，由S9S15得到，a12a130，然后分类讨论d的符号可得答案； 对于D，由Sn求出an及a1，根据数列an为等差数列可求得a0. 【详解】

对于A，因为a4a6a1a9(a13d)(a15d)a1(a18d)15d2，且d0，

2所以a4a6a1a915d0，所以a4a6a1a9，故A正确；

B．S130，S140，则a7a8

2D．若Snnna，则a0

对于B，因为S130，S140，所以

13(a7a7)13a70，即a70，

214(a7a8)7(a7a8)0，即a7a80，因为a70，所以a80，所以

2|a7||a8|a7a80，即|a7||a8|，故B不正确；

对于C，因为S9S15，所以a10a11a14a150，所以3(a12a13)0，即

a12a130，当d0时，等差数列an递增，则a120,a130，所以Sn中的最小值

是S12，无最大值；当d0时，等差数列an递减，则a120,a130，所以Sn中的最大值是S12，无最小值，故C不正确；

2对于D，若Snnna，则a1S1a，n2时，

anSnSn1n2na(n1)2(n1)a2n2，因为数列an为等差数列，

所以a12120a，故D正确. 故选：AD 【点睛】

关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式是解题关键.

19．已知等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，若S6S12，则下列结论中正确的有（ ） A．a1:d17:2

C．当d0时，a6a140 解析：ABC 【分析】

因为an是等差数列，由S6S12可得a9a100，利用通项转化为a1和d即可判断选项A；利用前n项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质

B．S180

D．当d0时，a6a14

a6a14a9a10dd即可判断选项C；由d0可得a6a14d0且a60，

a140即可判断选项D，进而得出正确选项.

【详解】

因为an是等差数列，前n项和为Sn，由S6S12得：

S12S6a7a8a9a10a11a120，即3a9a100，即a9a100，

对于选项A：由a9a100得2a117d0，可得a1:d17:2，故选项A正确； 对于选项B：S1818a1a18218a9a1020，故选项B正确；

对于选项C：a6a14a9a11a9a10dd，若d0，则a6a14d0，故选项C正确；

对于选项D：当d0时，a6a14d0，则a6a14，因为d0，所以a60，a140，

所以a6a14，故选项D不正确， 故选：ABC 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是由S6S12得出a9a100，熟记等差数列的前n项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.

20．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等

腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A．4 解析：BD 【分析】

依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为a1，公差即每一层比上一层多的根数为d1，设一共放nn2层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】

依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为a1，公差为d1，设一共放nn2层，则总得根数为：

B．5

C．7

D．8

Snna1nn1dnn1na1100 222001n， n整理得2a1因为a1N，所以n为200的因数，验证可知n5,8满足题意. 故选：BD. 【点睛】

2001n2且为偶数， n关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.