高考全国二卷理科数学题及其答案

普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学）

理科数学(必修+选修Ⅱ)

第Ⅰ卷

一、选择题

1．设集合M{mZ|3m2}, N{nZ|1≤n≤3}，则MIN（ ） A．01，

B．101，，

C．0，1，2

3

D．101，，，2

2．设a，bR且b0, 若复数(abi)是实数, 则（ ） A．b3a 3．函数f(x)22B．a3b

22C．b9a

22D．a9b

221x的图像关于（ ） xA．y轴对称 B． 直线yx对称 C． 坐标原点对称 D． 直线yx对称

1)alnx，b2lnx，clnx, 则（ ） 4．若x(e，，A．aB．cC． bD． b13y≥x，5．设变量x，y满足约束条件：x2y≤2，, 则zx3y的最小值（ ）

x≥2．A．2 B．4 C．6 D．8

6．从20名男同学, 10名女同学中任选3名参加体能测试, 则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A．

9 29B．

10 29C．

19 29D．

20 297．(1x)6(1x)4的展开式中x的系数是（ ）

B．3

C．3

D．4

A．4

8．若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图像分别交于M，N两点, 则MN的最大值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．2

x2y21的离心率e的取值范围是（ ） 9．设a1, 则双曲线2a(a1)22) A．(2，B．(2，5)

5) C．(2，

D．(2，5)

10．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等, E是SB的中点, 则AE，SD所成的角的余弦值为（ ）

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A．

1 3B．2 3C．3 3D．

2 311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为xy20与x7y40, 原点在等腰三角形的底边上, 则底边所在直线的斜率为（ ） A．3

B．2

C．1 3D．1 212．已知球的半径为2, 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2, 则两圆的圆心距等于（ ） A．1

B．2

C．3

D．2

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a(1，，2)b(2，3), 若向量ab与向量c(4，7)共线, 则 ． 14．设曲线ye在点(0，1)处的切线与直线x2y10垂直, 则a ．

15．已知F是抛物线C：y4x的焦点, 过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设

2axFAFB, 则FA与FB的比值等于 ．

16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个, 如两组对边分别平行, 类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）

三、解答题：本大题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在△ABC中, cosB（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）设△ABC的面积S△ABC54, cosC． 13533, 求BC的长． 218．（本小题满分12分）

购买某种保险, 每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元, 若投保人在购买保险的一年度内出险, 则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为

10.999104．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元, 为保证盈利的期望不小于0, 求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分）

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如图, 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中, AA12AB4, 点E在CC1上且

C1E3EC．

平面BED； （Ⅰ）证明：AC1（Ⅱ）求二面角A1DEB的大小．

20．（本小题满分12分）

A1 D1 C1 B1 E

D A B C

n*设数列an的前n项和为Sn．已知a1a, an1Sn3, nN． n（Ⅰ）设bnSn3, 求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）若an1≥an, nN, 求a的取值范围．

*21．（本小题满分12分）

设椭圆中心在坐标原点, A(2，，0)B(0，1)是它的两个顶点, 直线ykx(k0)与AB相交于点D, 与椭圆相交于E、F两点．

uuuruuur（Ⅰ）若ED6DF, 求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值． 22．（本小题满分12分） 设函数f(x)sinx．

2cosx（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何x≥0, 都有f(x)≤ax, 求a的取值范围．

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2008年参考答案和评分参考

一、选择题

1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C

部分题解析：2. 设a，bR且b0, 若复数(abi)3是实数, 则（ ）

A．b3a

22B．a3b

22C．b9a

22D．a9b,

22bi3ag(bi)2(bi)3 （←考查和的立方公式, 或二项式定理） 解：(abi)3a33a2gb)(3agbb)i （←考查虚数单位i的运算性质） (a3ag3223 R （←题设条件）

∵a，bR且b0

bb0 （←考查复数与实数的概念） ∴ 3ag ∴ b3a. 故选A.

22236. 从20名男同学, 10名女同学中任选3名参加体能测试, 则选到的3名同学中既有

男同学又有女同学的概率为（ ） A．

9 29B．

10 29C．

19 29D．

20 29思路1：设事件A：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”, 其概率为：

2112C20C10C20C10 （←考查组合应用及概率计算公式） P(A)3C302019109102021 （←考查组合数公式） 2130292832110191010109  （←考查运算技能）

10291420 

29故选D.

思路2：设事件A：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”,

事件A的对立事件为A：“选到的3名同学中要么全男同学要么全女同学”

其概率为：

P(A)1P(A) （←考查对立事件概率计算公式）

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33C20C10 1 （←考查组合应用及概率计算公式） 3C30201981098321321（←考查组合数公式） 13029283212019181098  （←考查运算技能）

30292820 

29故选D.

12.已知球的半径为2, 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2,

则两圆的圆心距等于（ ） A．1

B．2

C．3

D．2

分析：如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆, 想成一般情况, 问题解决起来

就比较麻烦, 许多考生就是因为这样思考的, 所以浪费了很多时间才得道答案；但是, 如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆, 想成其中一个恰好是大圆, 那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离3, 问题解决起来就很容易了. 二、填空题

13．2 14．2 5．322

16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案, 同样给分． 三、解答题 17．解：

512, 得sinB, 131343由cosC, 得sinC．

55（Ⅰ）由cosB所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC（Ⅱ）由S△ABC33． ···································· 5分 6533133得ABACsinA, 22233由（Ⅰ）知sinA,

65故ABAC65, ··················································································· 8分

ABsinB20AB, 又ACsinC132013AB265, AB． 故132ABsinA11． ·所以BC········································································ 10分

sinC2

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18．解：

各投保人是否出险互相独立, 且出险的概率都是p, 记投保的10 000人中出险的人数为, 则~B(10，p)．

（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金, 则A发生当且仅当0, ·················································································································· 2分

4P(A)1P(A)

1P(0)

1(1p),

又P(A)10.99910,

故p0.001． ······························································································ 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a元, 支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1000050000,

盈利 10000a(1000050000),

盈利的期望为 E10000a10000E50000, ···································· 9分

410410)知, E1000010, 由~B(10，E104a104E5104

433104a1041041035104． E≥0104a104105104≥0

a105≥0 a≥15（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ························································· 12分

19．解法一：

D1 C1 依题设知AB2, CE1．

A1 （Ⅰ）连结AC交BD于点F, 则BDAC． B1 由三垂线定理知, BDA1C． ··································································· 3分

H E

G F B C 第6页（共11页）

D A

在平面A1CA内, 连结EF交A1C于点G, 由于

AA1AC22, FCCE故Rt△A1AC∽Rt△FCE, AA1CCFE,

CFE与FCA1互余．

于是A1CEF．

A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直,

所以A1C平面BED． ················································································· 6分 （Ⅱ）作GHDE, 垂足为H, 连结A1H．由三垂线定理知A1HDE, 故A1HG是二面角A1DEB的平面角． ······················································· 8分

EFCF2CE23, CG3CECF222, EGCECG． 3EF3EG11EFFD2． , GHEF33DE15又AC1AA12AC226, A1GA1CCGAG155． HG56． 3tanA1HG所以二面角A1DEB的大小为arctan55． ·················································· 12分 解法二：

以D为坐标原点, 射线DA为x轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系Dxyz．

z D1 A1 C1 B1 2，，0)C(0，2，，0)E(0，2，，1)A1(2，0，4)． 依题设, B(2，

E D x A B C y uuuruuurDE(0，2，，1)DB(2，2，0),

uuuruuuur··································································· 3分 AC(2，2，4)，DA1(2，0，4)． ·1uuuruuuruuuruuur（Ⅰ）因为ACDB0, ACDE0, 1g1g第7页（共11页）

故A1CBD, A1CDE． 又DBIDED,

平面DBE．·所以AC················································································· 6分 1（Ⅱ）设向量n(x，y，z)是平面DA1E的法向量, 则

rrurruuuruuunDE, nDA1．

故2yz0, 2x4z0．

令y1, 则z2, x4, n(4，···································· 9分 1，2)． ·

rruuurn，AC等于二面角A1DEB的平面角, 1ruuuruuurrngA1C14cosn，A1Cruu． ur42nA1C所以二面角A1DEB的大小为arccos20．解：

nn（Ⅰ）依题意, Sn1Snan1Sn3, 即Sn12Sn3,

14． ················································· 12分 42由此得Sn13n12(Sn3n)． ······································································· 4分

因此, 所求通项公式为

bnSn3n(a3)2n1, nN*．① ························································ 6分

nn1*（Ⅱ）由①知Sn3(a3)2, nN,

于是, 当n≥2时,

anSnSn1

3n(a3)2n13n1(a3)2n2 23n1(a3)2n2, an1an43n1(a3)2n2

2n23n212ga3, 2当n≥2时,

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3an1≥an12g2a≥9．

又a2a13a1．

综上, 所求的a的取值范围是9，··················································· 12分 ． ·22．解： （Ⅰ）f(x)n2a3≥0

(2cosx)cosxsinx(sinx)2cosx1．····························· 2分

(2cosx)2(2cosx)22π2π1（kZ）时, cosx, 即f(x)0； x2kπ3322π4π1当2kπ（kZ）时, cosx, 即f(x)0． x2kπ332当2kπ因此f(x)在每一个区间2kπ2π2π，2kπ（kZ）是增函数, 332π4π2kπ··························· 6分 f(x)在每一个区间2kπ，（kZ）是减函数． ·33（Ⅱ）令g(x)axf(x), 则

g(x)a2cosx1

(2cosx)2a23 22cosx(2cosx)21113a．

32cosx3故当a≥1时, g(x)≥0． 3又g(0)0, 所以当x≥0时, g(x)≥g(0)0, 即f(x)≤ax． ······· 9分 当0a1时, 令h(x)sinx3ax, 则h(x)cosx3a． 3故当x0，arccos3a时, h(x)0． 因此h(x)在0，arccos3a上单调增加．

arccos3a)时, h(x)h(0)0, 故当x(0，第9页（共11页）

即sinx3ax．

于是, 当x(0，arccos3a)时, f(x)当a≤0时, 有fsinxsinxax．

2cosx3ππ10≥ag． 2221． ·因此, a的取值范围是，····························································· 12分 3

x2y21, 21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为4直线AB，EF的方程分别为x2y2, ykx(k0)． ································ 2分 如图, 设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2), 其中x1x2, 且x1，x2满足方程(14k)x4, 故x2x122y B O E F D A x 214k2．①

uuuruuur1510由ED6DF知x0x16(x2x0), 得x0(6x2x1)x2；

277714k由D在AB上知x02kx02, 得x0所以

2． 12k210,

212k714k2化简得24k25k60,

23或k． ····················································································· 6分 38（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知, 点E，F到AB的距离分别为

解得kh1x12kx125x22kx2252(12k14k2)5(14k)2,

h22(12k14k2)5(14k)2． ······················································ 9分

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又AB2215, 所以四边形AEBF的面积为

S1AB(h1h2) 214(12k) g5g225(14k)2(12k)14k2 14k24k 214k2≤22,

当2k1, 即当k1时, 上式取等号．所以S的最大值为22． ·············· 12分 2解法二：由题设, BO1, AO2．

设y1kx1, y2kx2, 由①得x20, y2y10, 故四边形AEBF的面积为

SS△BEFS△AEF

x22y2 ··································································································· 9分

(x22y2)2 22x24y24x2y2 22≤2(x24y2) 22,

当x22y2时, 上式取等号．所以S的最大值为22． ·································· 12分

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