2021北京西城初二上学期期末数学试卷(附答案)

数 学

2021.1

1.本试卷共6页，共三道大题，26道小题。满分100分。考试时间100分钟。 考 生 须 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 知 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 第1~10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 3-2的计算结果为

A. 6

B.

1 9C.

1 6D. 9

2.下列图形中，是轴对称图形的是

A B

3.下列运算中正确的是

A. a2＋a＝a3

C

D

B. a5•a2＝a10 C. (a2)3＝a8 D. (ab2)2＝a2b4

4.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是 ．．

A. ∠A＝∠D，∠B＝∠E C. ∠A＝∠D，AB＝DE 5.化简分式

B. AC＝DF，AB＝DE D. AC＝DF，CB＝FE

xyx的结果是 x2B.

A.

y xy1 xC. y1

1 / 16

D.

yx x6.如果m2＋m＝5，那么代数式 m（m－2）＋（m＋2）2 的值为

A. 14

B. 9

C. －1

D. －6

7.已知一次函数y＝kx－6，且y随x的增大而减小.下列四个点中，可能是该一次函数图象与x轴交点的是

A. （0，0）

B. （2，0）

C. （－2，0）

D. （6，0）

8.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E 关于直线CD对称.若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为

A. 9 C. 11

B. 10 D. 12

9.在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座450m高的山.乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15 min.如果 设甲组的攀登速度为x m/min，那么下面所列方程中正确的是 A.

4504501.2 xx15450450 1.2xx15B.

45045015 1.2xx45045015 1.2xxC. D.

10.如图1，四边形ABCD是轴对称图形，对角线AC，BD所在直线都是其对称轴，且AC，BD相交于点E.动点P从四边形ABCD的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动.设点P运动的时间为x，线段EP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则点P的运动路径可能是

图1

A. C→B→A→E

B. C→D→E→A

C. A→E→C→B

图2

D. A→E→D→C

二、填空题（本题共18分，第15，17题每小题3分，其余每小题2分） 11.若分式

1有意义，则x的取值范围是__________. x412.点A（1，－3）关于x轴对称的点的坐标为__________. 13.计算：10a2b3÷（－5ab3）＝__________.

14.如图，△ABC≌△ADE，点D在边BC上，∠EAC＝36°，则∠B＝__________°.

2 / 16

15.已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上.小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回家.下面的图象反映了这个过程中小腾离家的距离y（单位：m）与时间x（单位：min）之间的对应关系.根据图象可知，小腾从食堂到图书馆所用时间为_________min；请你根据图象再写出一个结论：____________________________________.

16.如图1，先将边长为a的大正方形纸片ABCD剪去一个边长为b的小正方形EBGF，然后沿直线EF将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接 （无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形AEGC. 根据图1和图2的面积关系写出一个等式：__________________________.（用含a，b的式子表示）

17. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E.若AD＝12，则DE＝________；△EDC与△ABC的面积关系是：

SSEDCABC________.

18. 如图，一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象交于点P.下列结论中，所有正确结论的序号是 ________________. ①b＜0；②ac＜0；③当x＞1时，ax＋b＞cx＋d；④a＋b＝c＋d；⑤c＞d.

3 / 16

三、解答题（本题共52分，第19题8分，第20~24题每小题6分，第25，26题每小题7分） 19.分解因式：

（1）x3－25x； 20.计算：

21.小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形.已知：在△ABC中，∠ACB＝90°.求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形.下面是小红设计的尺规作图过程.

（2）m（a－3）＋2（3－a）.

1a3a1. 2a1a2a1a1 作法：如图，

① 作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D； ② 作直线CD.

所以直线CD就是所求作的直线. 根据小红设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明.

证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上， ∴DC＝DB.（_____________________）（填推理的依据） ∴∠______＝∠______. ∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝90°―∠DCB， ∠A＝90°―∠ ______. ∴∠ACD＝∠A.

∴DC＝DA.（______________________________）（填推理的依据） ∴△DCB 和△DCA 都是等腰三角形.

4 / 16

22.解方程：

xx81 x3x(x3)23.如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED.

（1）求证：BC＝CD；

（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：yB，且与直线l1交于点C（－1，m）. （1）求m和b的值； （2）求△ABC的面积；

（3）若将直线l2向下平移t（t＞0）个单位长度后，所得到的直线与直线l1的交点在第一象限，直接写出t的取值范围.

24x与x轴交于点A，直线l2：y＝2x＋b与x轴交于点33

5 / 16

25.给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距”.例如：如图，点P1（－1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“最佳间距”是1.

（1）点Q1（2，1），Q2（4，1），Q3（4，4）的“最佳间距”是__________； （2）已知点O（0，0），A（－3，0），B（－3，y）. ① 若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为________； ② 点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________；

（3）已知直线l与坐标轴分别交于点C（0，3）和D（4，0），点P（m，n）是线段CD上的一个动点.当点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标.

26.课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB＋BD＝AC. 求证：∠ABC＝2∠ACB.

小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论.

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝________，连接DF.请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；

（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB＋BD＝AC. 求证：∠ABC＝2∠ACB.请你解答小芸提出的这个问题；

（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠

6 / 16

ACB，点D在边BC上，AB＋BD＝AC，那么AD平分∠BAC.小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.

7 / 16

附加题

一、填空题（本题6分）

1.我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为 整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：

a3(a1)442a12(a1)33，. 12a1a1a1a1a1a1参考上面的方法，解决下列问题： （1）将

aa变形为满足以上结果要求的形式：＝________________； a1a13a2＝________； a1（2）① 将 3a＋2 变形为满足以上结果要求的形式：

② 若

3a2为正整数，且a也为正整数，则a的值为________. a1二、解答题（本题共14分，第2题6分，第3题8分）

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋3与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B. 点C在第四象限，BC⊥BA，且BC＝BA.

（1）点B 的坐标为________，点C 的横坐标为________；

（2）设BC与x轴交于点D，连接AC，过点C作CE⊥x轴于点E.若射线AO平分∠BAC，用等式表示线段AD与CE的数量关系，并证明.

3.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），定义如下：

点M与点N的“直角距离”为 |x1－x2|＋|y1－y2|，记作dMN.

例如：点M（1，5）与N（7，2）的“直角距离”dMN＝|1－7|＋|5－2|＝9. （1）已知点P1（－1，0），P2（311111，），P3（－，），P4（－，－），则在这四个点中，与222422原点O的“直角距离”等于1的点是________；

（2）如图，已知点A（1，0），B（0，1），根据定义可知线段AB 上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1.

8 / 16

若点P与原点O的“直角距离”dOP＝1，请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； （3）已知直线y＝kx＋2，点C（t，0）是x轴上的一个动点.

① 当t＝3时，若直线y＝kx＋2上存在点D，满足dCD＝1，求k 的取值范围；

② 当k＝－2时，直线y＝kx＋2与x轴，y轴分别交于点E，F.若线段EF上任意一点H都满足1≤dCH≤4，直接写出t的取值范围.

9 / 16

2021北京西城初二（上）期末数学

参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 A 7 C 8 B 9 B 10 D 二、填空题（本题共18分，第1s， 17 题每小题3分，其余每小题2分） 11. x≠4. 12.（1，3） 13. －2a. 14.72.

15. 12； 答案不唯一，如：小腾家到图书馆的距离为1200米. 16. 答案不唯一，如：a2－b2＝(a+b)(a-b). 17. 6；

1。 18. ②，④，⑤. 8（说明：第15，17题第一个空2分，第二个空1分；第18题答对一个得1分，全对得2分） 三、解答题（本题共52分，第19题8分，第20~24题每小题6分，第25，26题每小题7分） 19. 解：（1）x3－25x

＝x（x2－25） ………………………………………………………………………2分 ＝x（x＋5）（x－5）………………………………………………………………4分 （2）m（a－3）＋2（3－a）

＝m（a－3）－2（a－3） …………………………………………………………2分 ＝（a－3）（m－2）.………………………………………………………………4分 20.解：

1a3a12. a1a2a1a11a3a1 …………………………………………………………………2分 a1a12a11a3 …………………………………………………………………3分 a1a1a12a2 …………………………………………………………………………3分

a1a12 ……………………………………………………………………………………6分 a121.解：（1）补全图形，如图所示； …………………………2分

（2）证明：∵ 直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，

10 / 16

∴ DC＝DB.

（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等） ………………………………………………………3分 ∴ ∠DCB＝CB ∵ ∠ACB＝90°

∴ ∠ACD－90°－∠DCB，

∠A＝90°－∠B ……………………………………………5分 ∴ ∠ACD＝∠A

∴ DC＝DA. （等角对等边）………………………………6分 ∴ △DCB和△DCA都是等腰三角形.

22. 解：方程两边同乘：x(x－3)， ………………………………………………1分

得x2＋x＋8＝x(x－3) ……………………………………………………3分 整理，得4x＝－8.

解得x＝－2. …………………………………………………………3分 检验：当x＝－2时，x(x－3)≠0.

所以，原分式方程的解为x＝－2. ……………………………………3分 23.证明：（1）∵ AB//CD，

∴ ∠ABC＝∠ECD. ……………………………………………3分 在△ABC与△ECD中，

ABC＝ECD, A＝E,AC＝ED,∴ △ABC≌△ECD ……………………………………………3分 ∴ BC＝CD. ……………………………………………………3分 （2）如图， ∵ BC＝CD，

∴ ∠CBD＝∠CDB ……………………5分 ∵ ∠ABD＝∠ABC＋∠CBD， ∠EBD＝∠BCD＋∠CDB，

∴ ∠ABD＝∠EBD. ……………………6分

11 / 16

24.解：（1）∵ 直线l2：y＝2x＋b与直线l1：y24x交于点C（－1，m）， 33∴ m2412. ……………………………………………… 1分 33∴ 2＝2×(－1)＋b.

∴ b＝4. ………………………… 2分 （2）过点C作CD⊥x轴于点D，如图. 直线l1：y24x，当y＝0时，x＝2； 33直线l2：y＝2x＋4，当y＝0时，x＝－2； ∴ A（2， 0）， B （－2， 0）. ∴ AB＝4. ∴ SABC11ABCD424 ……………………………………………… 4分 22（3）

8t8. ……………………………………………………………………………… 6分 325.解：（1）2； ……………………………………………………………………………………… 2分

（2）①1或－1；……………………………………………………………………………… 4分 （3）设直线l的表达式为y＝kx＋b. ∴ 直线1经过点C（0，3）和D（4，0），

b3b3∴  解得3

k.4kb0.4∴ 直线l的表达式为y3x3. ………………………………………………… 6分 4∵ 点P（m，n）是线段CD上的一个动点， ∴ n3m3 4如图，当OE＝PE时，点O，E，P的“最佳间距” 取到最大值.

12 / 16

12mmn,7∴  解得 3nm3.n1247∴ 此时点P的坐标为（

1212，） ……………………………………………… 7分 7726.解：（1）BD，………………………………………… 1分

如图1所示； ……………………………… 2分 （2）证明：在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE， 如图2

则AC＝AE＋EC＝AB＋EC. ∵ AC＝AB ＋BD， ∴ EC＝BD.

∵ AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB， ∴ ∠1＝∠2，∠ABC＝2∠3，∠ACB＝2∠4. 在△ABD与△AED中，

ABAE,12, ADAD,∴ △ABD≌△AED. ∴ ∠3＝∠5，BD＝ED. ∴ EC＝ED. ∴ ∠4＝∠6.

∴ ∠5＝∠4＋∠6＝2∠4＝∠ACB. ∴ ∠3＝∠ACB.

∴ ∠ABC＝2∠3＝2∠ACB. ……………………………………………… 7分 （3）证明：延长AB至E，使BE＝BD， 连接ED，EC， 如图3.

13 / 16

∵ BE＝BD， ∴ ∠1＝∠2.

∴ ∠ABC＝∠1＋∠2＝2∠1. ∵ ∠ABC＝2∠ACB， ∴ ∠1＝∠ACB.

∵ AE＝AB＋BE＝AB＋BD＝AC， ∴ ∠AEC＝∠ACE.

∵ ∠3＝∠AEC－∠1，∠4＝∠ACE－∠ACB， ∴ ∠3＝∠4. . ∴ DE＝DC.

在△AED与△ACD中，

AE＝AC， DE＝DC，AD＝AD，∴ △AED≌△ACD. ∴ ∠5＝∠6.

∴ AD平分∠BAC ………………………………………………………… 7分

附加题参考答案

一、填空题（本题6分） 1.解：（1）11； ………………………………………………………………………… 2分 a15； ………………………………………………………………………… 4分 a1（2）①3二、解答题（本题共14分，第2题6分，第3题8分）

2.解：（1）（0，3）， ………………………………………………………………………… 2分

3； …………………………………………………………………………………… 3分 （2）AD＝2CE. ……………………………………………………………………………… 4分 证明：延长CE交直线AB于点F，如图. ∵ BC⊥BA，

14 / 16

∴ ∠ABD＝∠CBF＝90°. ∴ ∠1＋∠2＝90°. ∵ CE⊥x轴于点E， ∴ ∠AEF＝∠AEC＝90°. ∴ ∠3＋∠2＝90°. ∴ ∠3＝∠1.

在△ABD与△CBF中，

ABD＝CBF， BA＝BC，3＝1，∴ △ABD≌△CBF. ∴ AD＝CF.

∵ 射线AO平分∠BAC， ∴ ∠3＝∠4. ∴ ∠2＝ LACE. ∴ AF＝AC. ∴ CF＝2CE.

∴ AD＝2CE. …………………………………………………………………… 6分

3.解：（1）P1，P4； ……………………………………………………………………………… 2分

（2）如图1所示； ………………………………………………………………………… 4分

（3）①如图2，与点C的“直角距离”等于1的点组成的图形是四边形MNST. 当直线y＝kx＋2经过点M（3，1）时， 1＝3k＋2，解得k；

当直线y＝kx＋2经过点N（2，0）时， 0＝2k＋2，解得k＝－1，

15 / 16

13此时点S（3，－1）也在这条直线上.

∵ 直线y＝lox＋2上存在点D，满足dCD＝1， ∴ k的取值范围是1k1. 3② -2≤1≤0或t＝2. …………………………………………………………… 4分

16 / 16