几何证明题

几何证明题

1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．

2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE．

4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

．过点E

5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长；

（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．

几何证明题参考答案

1、

证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点， ∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE， ∴△BAE≌△CDE， ∴BE=CE；

（2）延长CD和BE的延长线交于H， ∵BF⊥CD，∠HEC=90°，

∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90° ∴∠EBF=∠ECH， 又∠BEC=∠CEH=90°， BE=CE（已证）， ∴△BEG≌△CEH，

∴EG=EH，BG=CH=DH+CD， ∵△BAE≌△CDE（已证）， ∴∠AEB=∠GED， ∠HED=∠AEB， ∴∠GED=∠HED， 又EG=EH（已证），ED=ED， ∴△GED≌△HED， ∴DG=DH， ∴BG=DG+CD． 2、（1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE，

∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G是HC的中点， ∴HG=GC， ∴HE=GC，

∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC；

（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°， ∴AD=DF，

∵DF=DC﹣FC， ∵△EBH≌△GFC， ∴FC=BH=1， ∴AD=4﹣1=3． 3、（1）解：∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， ∵DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，

∴，

∵DC∥AB，AD=BC， ∴∠DAB=∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°， ∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE=90°，

∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°， 在Rt△BCE中，BE=2CE=2，

，

∴…（5分）

（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M， ∴四边形FDME是矩形， ∴FE=DM，

∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°， ∴△BME≌△ECB， ∴BM=CE，

∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分） 4、解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图）， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC， ∵EF∥CA，EG∥CA，

∴四边形ACEG是平行四边形， ∴AG=CE， 又∵∴

，AD=BC，

，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠ECF， 在△CEF和△DGF中，

∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG， ∴△CEF≌△DGF（AAS）， ∴CF=DF，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∴OF∥BE．

（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形． 证明：∵OF∥CE，EF∥CO， ∴四边形OCEF是平行四边形， ∴EF=OC，

又∵梯形OBEF是等腰梯形，

∴BO=EF， ∴OB=OC，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO． ∴AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

5、（1）解：连接BD， 由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°， 又∵BF⊥CD， ∴∠DFE=90°

又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF， ∴△GAD≌△EFD， ∴DA=DF， 又∵BD=BD，

∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL）， ∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF 又∵CF=6， ∴BC=

，

又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠BDF=∠CBD， ∴CD=CB=8．

（2）证明：∵AD∥BC， ∴∠E=∠CBF， ∵∠HDF=∠E， ∴∠HDF=∠CBF，

由（1）得，∠ADB=∠CBD， ∴∠HDB=∠HBD， ∴HD=HB，

由（1）得CD=CB，

CBDCDBCBDHDFCDBCBH即BDH=HBDHB=HD∴△CDH≌△CBH， ∴∠DCH=∠BCH，

∴∠BCH=∠BCD=

=．