抛物线知识点归纳总结

y22px(p0)抛 物 线 l y y22px(p0)y x22py(p0)y F O x x22py(p0)y O F l O x l x O F x F l 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫定义 做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 {M范围 对称性 (焦点 MF=点M到直线l的距离} x0,yR xR,y0 xR,y0 x0,yR 关于x轴对称 p,0) 2关于y轴对称 p,0) 2((0,p) 2(0,p) 2焦点在对称轴上 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 xp 2xp 2O(0,0) e=1 yp 2yp 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 p 2p 焦半径 A(x1,y1) AFx1p 2AFx1p 2AFy1p 2AFy1p 2焦 点弦 长 (x1x2)p (x1x2)p (y1y2)p (y1y2)p AB 焦点弦 y o Ax1,y1 F x Bx2,y2 AB的几条性质A(x1,y1)B(x2,y2) 以AB为直径的圆必与准线l相切 2p2pAB 若的倾斜角为，则 AB22sincos若AB的倾斜角为，则ABp2x1x2 y1y2p2 411AFBFAB2 AFBFAF•BFAF•BFp切线 方程

y0yp(xx0) y0yp(xx0) x0xp(yy0) x0xp(yy0) 1. 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

，消y得：

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：ykxb 抛物线

① 联立方程法：

ykxbk2x22(kbp)xb20 2y2px，(p0)

设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出

y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2by1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2

，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦长

AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2 a或 AB11122yy1(yy)4yy1k 12121222kkab. 中点M(x0,y0), x0② 点差法：

x1x2yy2， y01 22设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

y12px1 y22px2

22将两式相减，可得

(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)

y1y22px1x2y1y2

2p y1y2a. 在涉及斜率问题时，kABb. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

y1y22p2pp， x1x2y1y22y0y0 即kABp， y0同理，对于抛物线x22py(p0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点

M(x0,y0)是弦AB的中点，则有kABx1x22x0x0 2p2pp（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）