CT技术的图像重建

CT(计算机断层成像，Computed Tomography 的缩写)技术是20世纪50至70年代由美国科学家A. M. Cormark和英国科学家G. N. Hounsfield通过核物理、核医学等领域的一系列研究和实验发明的，他们因此共同获得1979年诺贝尔医学奖。从1971年第一代供临床应用的CT设备问世以来，随着电子技术的飞速发展，CT技术不断改进，诸如螺旋式CT机、电子束扫描机等新型设备逐渐被医疗机构普遍采用。此外，CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到 了广泛的应用（参考文献）。

什么是CT，它与传统的X射线成像（如人们在医院拍的X光片）有什么区别？让我们看一个一般的概念图示，如图一。

假定有一个半透明物体，其中嵌入5个不同透明度的球。如果按照照片1（a）那样单方向地观察，因为有2个球被前面的球遮挡，我们可能错误地认为只有3个球，尽管重叠球的透明度较低，任无法确定球的数目，更不要说各个球的透明度了。而如果按照图1（b）那样让物体旋转起来，从多角度观察，就能够分辨出5个球以及他们各自的透明度。到医院作射线检查时，人体的内脏就像上面的半透明物体，传统的X射线成像原理就像图1（a），X射线和胶片相当于光源和人眼；CT技术原理就像图1（b）,只不过旋转的不是人体，而是X光管和探测器。

概括地说，传统的X射线成像将人体器官和组织前后重叠地直接投影到胶片上，呈现出具有一定分辨率、但仍不够清晰的图像，CT则在不同深度的断面上，从各个角度用探测器接收旋转的X光管发出、并由于穿过人体而使强度衰减的射线，再经过测量和计算，将人体器官和组织的影像重新构建出来，称为图像重建。

X射线强度衰减与图像重建的数学原理 X射线在穿过均匀材料的物质时，其强度的衰减率与强度本身成正比，即

其中I为射线强度，l为物质在射线方向的厚度，u为物质对射线的衰减系数。由此可得

其中I0为入射强度，当X射线的能量一定时，衰减系数u随射线穿过的材料不同而改变，如骨骼的u比软组织的大，X射线的强度在骨骼中衰减得更快。（2）式称Beer-Lambert定律。

当X射线穿过由不同衰减系数的材料组成的非均匀物体，如人体内部的某一断面时，（1）式中的u为某平面坐标x,y的函数u（x,y），当射线沿xy平面内直线L穿行时，（2）式变为

（4）式右端的数值可从CT的X光管和探测器的测量数据得到。

如果根据（4）式得到了沿许多条直线L的线积分 ，能不能确定被积函数u（x,y）呢？如果能，就可以根据人体内各个断面对X射线的衰减系数，得到反映人体器官和组织的大小、形状、密度的图像，即图像重建。

1917年奥地利数学家Radon给出以下积分变换的逆变换的表达式，为图像重建提供了理论基础。

定义函数f（x,y）在平面上沿直线L的线积分为

对任意一点Q（x,y）,作与Q相距为q（）0）的直线L的线积分 ，对所有的q,取 的平均值，记作 ，则Q点的函数值f为

（5）、（6）式分别给出了图像重建问题的完整解答，而从应用的角度看这仅仅是个开

始。Radon逆变换需要无穷多条直线L的线积分，实际上只能再有限条直线上得到投影，在逆变换的数学方法及其稳定性、重建图像的清晰度以及积分的离散化等方面有许多工作要做。从反投影算法到滤波反投影算法和迭代算法，从平行光束到扇形光束、锥形光束的重建算法，图像重建问题在数学方法上的进展，为CT技术在各个领域成功的和不断拓广的应用提供了必要的条件。