第一章单元测试卷
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 1. 已知△ABC 的三边长分别是 3 cm，4 cm，5 cm△，则 ABC 的面积是(A) A．6 cm2 B．7.5 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2 2. 如图，字母 B 所代表的正方形的面积是(C)
A．12 B．13 C．144 D．194
3. 三角形的三条边长分别为 a，b，c，且(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是(C) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 4. 已知一直角三角形木板，三边的平方和为 1800，则斜边长为(B) A．80 B．30 C．90 D．120 5. 下列结论中不正确的是(C)
A．三个内角之比为 1∶2∶3 的三角形是直角三角形 B．三条边长之比为 3∶4∶5 的三角形是直角三角形 C．三条边长之比为 8∶16∶17 的三角形是直角三角形 D．三个内角之比为 1∶1∶2 的三角形是直角三角形
6. 如图，小明将一张长为 20 cm，宽为 15 cm 的长方形纸(AE>DE)剪去了一角，量得 AB＝3 cm，CD＝4 cm，则 剪去的直角三角形的斜边 BC 长为(D)
A．5 cm B．12 cm C．16 cm D．20 cm
错误!
错误! ,第 7 题图) 错误! ,第 8 题图) 错误!
,第 9 题图)
7. 如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长 25 m，高 7 m 的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为 3 m，则共 需购买红地毯(C)
A．21 m2 B．75 m2 C．93 m2 D．96 m2
8. 如图，已知长方形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′处，BC′交 AD 于 E，AD＝8，AB＝4，则 DE 的长为(C)
A．3 B．4 C．5 D．6
9. 如图，在三角形 ABC 中，D 是边 BC 上的一点，已知 AC＝5，AD＝6，BD＝10，CD＝5，那么三角形 ABC 的面积是(B)
A．30 B．36 C．72 D．125
10. 在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12△，则 ABC 的周长是(C) A．42 B．32 C．42 或 32 D．30 或 35
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 11. 在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°.若 b＝8，c＝17，则 S△ABC＝60.
12. 在△ABC 中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，BC 边上的中线 AD＝4 cm，则∠ADC 的度数是 90°. 13. 如图，每个小正方形边长为 1
8
则△， ABC 边 AC 上的高 BD 的长为 .
5
,第 13 题图)
7
AD，BC 于点 E，F，则 AE 的长为 8 cm.
,第 14 题图) ,第 16 题图)
14. 如图，已知长方形 ABCD，AB＝3 cm，AD＝4 cm，过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂直平分线 EF，分别交
， 15. 李明从家出发向正北方走了 1200 m 接着向正东方向走到离家 2000 m 的地方，则李明向正东方向走了 1600m.
16. 如图，一块砖的宽 AN＝5 cm，长 ND＝10 cm，CD 上的点 B 距地面的高 BD＝8 cm.地面上 A 处的一只蚂蚁 要到 B 处吃食，需要爬行的最短路径是 17cm.
三、解答题(一)(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分) 17. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求 AB 的长和△ABC 的周长．
解：由勾股定理得 AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，所以 AB＝5△，
ABC 的周长是 AC＋BC＋AB＝3＋4＋5＝12
18. 如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB 于点 P，求证：BM2＝AP2＋BC2＋PM2.
证明：因为 BM2＝BC2＋CM2，CM＝AM，所以 BM2＝BC2＋AM2.又 AM2＝AP2＋PM2，所以 BM2＝BC2＋AP2 ＋PM2
19. 如图，△在 ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且 AD＝12△，求 ABC 的周长．
解：因为 AD 为 BC 边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，在 Rt△ ABD 中，AB＝20，AD＝12，所以 BD2＝ AB2－AD2，即 BD＝16，在 Rt△ ADC 中，AC＝15，AD＝12，所以 DC2＝AC2－AD2，即 DC＝9，所以 BC＝25，所 以△ABC 的周长是 60
四、解答题(二)(本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分)
20. 如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24. (1)证明：△ABC 是直角三角形． (2)请求图中阴影部分的面积．
解：(1)因为在 Rt△ ADC 中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，所以 AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，所以 AC ＝10.在△ABC 中，因为 AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，所以 AC2＋BC2＝AB2△，所以 ABC 为直角三
角形
1 1
＝－＝××－(2)S阴影S△ABCS△ACD1024×8×6＝96 22
21. 如图，小明的家位于一条南北走向的河流 MN 的东侧 A 处，某一天小明从家出发沿南偏西 30°方向走 60 m
到达河边 B 处取水，然后沿另一方向走 80 m 到达菜地 C 处浇水，最后沿第三方向走 100 m 回到家 A 处．问小明到 河边 B 处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
解：因为 AB＝60，BC＝80，AC＝100，所以 AB2＋BC2＝AC2，∠ABC＝90°.因为 AD∥NM，所以∠NBA＝ ∠BAD＝30°，所以∠MBC＝180°－90°－30°＝60°，所以小明在河边 B 处取水后是沿南偏东 60°方向行走的
22. 学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 米，BC＝15 米，CD＝7 米，土地价格为 1000 元/平方米，请你计算学校征收这块地需要多少元？
解：连接 AC△，在 ABC 中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15.由勾股定理得：AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625. 在△ADC 中，∠D＝90°，CD＝7，由勾股定理得：AD2＝AC2－CD2＝625－72＝576，AD＝24，所以四边形的面积
1 1
为 AB·BC＋ CD·AD＝234(平方米)，234×1000＝234000(元)，所以学校征收这块地需要 234000 元
2 2
五、解答题(三)(本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分) 23. 如图△， ABC 的面积为 84，BC＝21△，现将 ABC 沿直线 BC 向右平移 a(0＜a＜21)个单位到△DEF 的位置． (1)求 BC 边上的高； (2)若 AB＝10，
①求线段 DF 的长； ②连接 AE△，当 ABE 时等腰三角形时，求 a 的值．
1
解：(1)作 AM⊥BC 于 M 因为△， ABC 的面积为 84，所以 BC·AM＝84，解得 AM＝8，即 BC 边上的高为 8
2 (2)①在 Rt△ ABM 中，BM2＝AB2－AM2，所以 BM＝6，所以 CM＝BC－BM＝15，在 Rt△ ACM 中，AC2＝AM2 ＋CM2，所以 AC＝17，由平移的性质可知，DF＝AC＝17；②当 AB＝BE＝10 时，a＝BE＝10；当 AB＝AE＝10 时， BE＝2BM＝12，则 a＝BE＝12；当 EA＝EB＝a 时，ME＝a－6，在 Rt△ AME 中，AM2＋ME2＝AE2，即 82＋(a－6)2
25 25 ＝a2，解得 a＝ 则当，△ ABE 时等腰三角形时，a 的值为 10 或 12 或
3 3
24. 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过．事实 1 1 1 1
上，勾是三时，股和弦的算式分别是 (9－1)， (9＋1)；勾是五时，股和弦的算式分别是 (25－1)， (25＋1)．根据你
2 2 2 2 发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
(2)根据(1)的规律，请用含 n(n 为奇数，且 n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之 间的相等关系(请写出两种)，并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察 4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 4 起也没有间断过．运 用类似上述探索的方法，直接用 m(m 为偶数，且 m＞4)的代数式来表示股和弦．
1 1 1 1
解：(1) (72－1)， (72＋1) (2)当 n≥3，且 n 为奇数时，勾、股、弦分别为：n， (n2－1)， (n2＋1)，它们之间
2 2 2 2
1 21 21 21 1 21
222的关系为：①弦－股＝1，②勾 ＋股 ＝弦 ，如证明①，弦－股＝ (n＋1)－ (n－1)＝ n＋ － n＋ ＝1
2 2 2 2 2 2
m 2m 2
m>4，且 m 为偶数时，股、弦分别为：( －1，( ＋1
2) 2)
25. 如图△，在 ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D，E 是直线 AB 上两点．∠DCE＝45°. (1)当 CE⊥AB 时，点 D 与点 A 重合，求证：DE2＝AD2＋BE2； (2)当点 D 不与点 A 重合时，求证：DE2＝AD2＋BE2；
(3)当
(3)当点 D 在 BA 的延长线上时，(2)中的结论是否成立？画出图形，说明理由．
解：(1)因为 CE⊥AB，所以 AE＝BE，因为点 D 与点 A 重合，所以 AD＝0，所以 DE2＝AD2＋BE2 (2)如图①， 过点 A 作 AF⊥AB，使 AF＝BE，连接 DF，CF△，因为在 ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠CAB＝∠B＝ 45°，所以∠FAC＝45°△，所以 CAF≌△CBE(SAS)，所以 CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，因为∠ACB＝90°，∠DCE ＝45°，所以∠ACD＋∠BCE＝∠ACB－∠DCE＝90°－45°＝45°，因为∠ACF＝∠BCE，所以∠ACD＋∠ACF ＝45°，即∠DCF＝45°，所以∠DCF＝∠DCE，又因为 CD＝CD△，所以 CDF≌△CDE(SAS)，所以 DF＝DE，因 为 AD2＋AF2＝DF2，所以 AD2＋BE2＝DE2
(3)结论仍然成立．理由：如图②，过点 A 作 AF⊥AB，使 AF＝BE，连接 DF，CF△，因为在 ABC 中，AC＝BC， ∠ACB＝90°，所以∠CAB＝∠B＝45°，所以∠FAC＝45°△，所以 CAF≌△CBE(SAS)，所以 CF＝CE，∠ACF＝ ∠BCE，因为∠BCE＋∠ACE＝90°，所以∠ACF＋∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，因为∠DCE＝45°，所以∠ DCF＝45°，所以∠DCF＝∠DCE，又因为 CD＝CD，△所以 CDF≌△CDE(SAS)，所以 DF＝DE，因为 AD2＋AF2 ＝DF2，所以 AD2＋BE2＝DE2
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