近五年(含2017)新课标I卷高考理科立体几何考点分布统计表

6 7 8 （全国Ⅰ卷)2013 立体几何:球体嵌入正方体体积计算 三视图：长方体与圆柱组合，体积计算 2014 2015 实际应用题、圆锥体积 三视图、球、圆柱的表面积 2016 三视图及球的表面积与体积 2017 空间几何体求表面积 11 平面的截面问题， 面面平行的性质定理,异面直线所成的角 垂直问题的证明及空间向量的应用 平面图形折叠后最大体积 证明面面垂直关系，求二面角的余弦值 12 16 17 18 立体几何：线线垂直证明线面角 19

三视图还原立体图 空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算; 立体几何：线面垂 直、二面角的求法 【2013】

6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm，将一个球放在容器口，

再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （ ） A、错误!cm3B、错误!cm3 C、错误!cm3D、错误!cm3

8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 。168。88 。1616。816 18、（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=A A1，∠BA A1=60°.

(Ⅰ）证明AB⊥A1C;

（Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

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【2014】

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 .62。42。6 .4

19。 （本小题满分12分）如图三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C. (Ⅰ） 证明：ACAB1;

o（Ⅱ）若ACAB1，CBB160，AB=BC

求二面角AA1B1C1的余弦值.

【2015】

(6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1。62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有

A。14斛 B.22斛 C。36斛 D。66斛

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=

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(A）1（B）2（C）4(D)8

（18)如图,四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC。

A （1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

E

F D

B

C

【2016】

(6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的

半径。若该几何体的体积是

28π，则它的表面积是 3

（A）17π (B）18π （C)20π （D）28π

（11）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，αABCD=m，α平面ABB1 A1=n，则m,n所成角的正弦值为

平面

（A）

1332（B）(C)（D) 2323（18）(本小题满分12分）

如图,在以A，B，C，D，E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．

（I)证明：平面ABEF平面EFDC； （II)求二面角EBCA的余弦值．

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【2017】

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形。该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为

A．10B．12C．14D．16

16．如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D，E,F为圆O

上的点,△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB,使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3)的最大值为。

18.（12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD,且BAPCDP90。

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90,求二面角A−PB−C的余弦值。

【2013】

6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm，将一个球放在容器

口，再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （ )

500π3A、cmB、错误!cm3

3C、错误!cm3D、错误!cm3

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【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题。

【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R—2，则

4533=错误!cm，故选A。 R(R2)4，解得R=5，∴球的体积为

32228、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 。168。88 。1616。816

【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题。 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为

1224422 =168，故选. 218、（本小题满分12分）

如图,三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°。

（Ⅰ）证明AB⊥A1C;

(Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2,求直线A1C 与平

面BB1C1C所成角的正弦值。

【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题。

【解析】（Ⅰ）取AB中点E,连结CE，A1B,A1E， ∵AB=AA1，BAA1=，∴BAA1是正三角形，

∴A1E⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵CEA1E=E，∴AB⊥面CEA1，

∴AB⊥AC1； ……6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知EC⊥AB，EA1⊥AB，

又∵面ABC⊥面ABB1A1，面ABC∩面ABB1A1=AB,∴EC⊥面ABB1A1，∴EC⊥,

∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向,||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，

有题设知A（1,0,0），(0,,0），C(0，0,)，B(－1，0，0）,则BC=（1,0，），BB1=AA1=（－1,0，）,A1C=(0,－,）， ……9分

设=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,

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n•BC0x3z0则，即，可取=(,1，—1）， n•BB10x3y0∴cosn,A1C=

n•A1C10，

|n||A1C|510。 ……12分 5∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为

【2014】

12。如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 .62。42。6 。4 【答案】:C

【解析】：如图所示,原几何体为三棱锥DABC， 其中

ABBC4,AC42,DBDC25,DAC

42246，故最长的棱的长度为DA6，选

19。 （本小题满分12分)如图三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C。 (Ⅰ) 证明：ACAB1；

o（Ⅱ）若ACAB1,CBB160,AB=BC

求二面角AA1B1C1的余弦值.

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【解析】：（Ⅰ)连结BC1，交B1C于O，连结AO．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1与BC1的中点．又ABB1C,所以B1C平面ABO，故B1CAO6分

（Ⅱ)因为ACAB1且O为B1C的中点,所以AO=CO 又因为AB=BC，所以BOABOC

故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直． 以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建

0立如图所示空间直角坐标系O-xyz． 因为CBB160，所以

,且O为B1C又 B1OCO，故ACAB1………

CBB1为等边三角形．又AB=BC，则

333B0,,0A0,0,C0,,0，,, B1,0,013333333AB10,3,3，A1B1AB1,0,3,B1C1BC1,3,0

设nx,y,z是平面的法向量,则

nn33yz0AB1033,即 所以可取n1,3,3

A1B103xz03mA1B10设是平面的法向量，则，同理可取m1,3,3

nB1C10则cosn,mnmnm11,所以二面角AA1B1C1的余弦值为. 77【2015】

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内

角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何？\"其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1。62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有

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A.14斛 B。22斛 C。36斛 D.66斛 【答案】B 【解析】

11611162320设圆锥底面半径为r，则23r8=r，所以米堆的体积为3()5=，故堆放的

943433320米约为÷1。62≈22，故选B.

9（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=

（A）1（B）2（C)4（D)8

【答案】B 【解析】

由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为

14r2r2rr22r2r=5r24r2=16 + 20，解得r=2，故选B. 2

（18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. （1)证明:平面AEC⊥平面AFC

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（18）解:

E

F

A B

D

C

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（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.

在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，

可得AG=GC=。由BE平面ABCD， AB=BC可知AE=EC. 又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，

可得BE=故DF=

62。在RtFDG中,可得FG=。

22在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=2， 2可得FE=又AC32。从而EG2FG2EF2,所以EGFG 2FGG,可得EG平面AFC.因为EG平面AEC

所以平面AEC平面AFC

（I） 如图,以G为坐标原点,分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向,

GB为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.

23,0),E(1，0，2),F(1，0，),C(0，3,0)所以 由（I)可得A(0，2AE(1，32),CF(1，3,AECF32. ).故cosAE,CF32AECF所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为

3。 3

【2016】

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（6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是

28π，则它的表面积是 3

（A)17π (B）18π （C)20π （D）28π 【答案】A 【解析】

由三视图知，该几何体的直观图如图所示：

774328π1是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则VπR，解得

8883373722R2，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即4π2π217π，故

884选A．

（11）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1，αm，n所成角的正弦值为 （A）

平面ABCD=m，α平面ABB1 A1=n，则

1332（B）（C）（D） 2323【答案】A

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【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角 (18）（本小题满分12分）

如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．

（I）证明：平面ABEF平面EFDC； （II)求二面角EBCA的余弦值． 【答案】（I）见解析；（II）【解析】

试题分析：（I）证明ΑF平面ΕFDC，结合F平面ΑΒΕF，可得平面ΑΒΕF平面ΕFDC．（II)建立空间坐标系，利用向量求解.

219 19第11页 共15页

试题解析:（I）由已知可得ΑFDF,ΑFFE，所以ΑF平面ΕFDC． 又F平面ΑΒΕF，故平面ΑΒΕF平面ΕFDC． （II）过作DGΕF,垂足为，由（I）知DG平面ΑΒΕF．

以为坐标原点，GF的方向为轴正方向,GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz． 由（I）知DFE为二面角DAFE的平面角,故DFE60,则DF2,DG3，可得

A1,4,0，B3,4,0，E3,0,0，D0,0,3．

由已知,AB//EF，所以AB//平面EFDC． 又平面ABCD平面EFDCDC,故AB//CD，CD//EF．

由BE//AF,可得BE平面EFDC，所以CΕF为二面角CBEF的平面角,

CΕF60．从而可得C2,0,3．

所以ΕC1,0,3,ΕΒ0,4,0，ΑC3,4,3，ΑΒ4,0,0． 设nx,y,z是平面ΒCΕ的法向量,则



【2017】

第12页 共15页

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形。该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10B．12C．14D．16 【答案】B

【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2(24)2112,故选B。 2

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O

上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC，CA,AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA,AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3）的最大值为.

【答案】415 第13页 共15页

18.（12分）

如图，在四棱锥P−ABCD中,AB//CD,且BAPCDP90。

(1）证明:平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A−PB−C的余弦值。

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【解析】(1）由已知BAPCDP90，得AB⊥AP，CD⊥PD。 由于AB//CD ,故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD. 又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. （2）在平面PAD内作PFAD，垂足为，

由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD。

以为坐标原点，的方向为轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.

由（1)及已知可得A(2222,0,0)，P(0,0,)，B(,1,0)，C(,1,0)。 2222所以PC(2222,1,),CB(2,0,0)，PA(,0,)，AB(0,1,0). 2222设n(x,y,z)是平面PCB的法向量，则

22nPC0,xyz0,即 22nCB0,2x0,可取n(0,1,2).

设m(x,y,z)是平面PAB的法向量,则

22nm3mPA0,xz0,即可取.则， m(1,0,1)cos22|n||m|3mAB0,y0.所以二面角APBC的余弦值为3. 3第15页 共15页