2013-2014学年广东省深圳市红岭中学八年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共36分） 1．（3分）9的算术平方根是（ ） ±3 A． B．3 2．（3分）若
C． ﹣3 D． 在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
D．x ＜2 是无理数 D． x≥2 A． B．x ≤2 C． x＞2 3．（3分）下列说法正确的是（ ） A． B． C． 0（）是无理数 是有理数 4．（3分）如图，数轴上点N表示的数可能是（ ） A． B． C． 5．（3分）下列各式正确的是（ ） A． B． =±2 =25 是有理数 D． C． ﹣+ =3 D． （﹣）=﹣4 26．（3分）位于平面直角坐标系上第四象限的点是（ ） A． （3，4） B．（ 3，﹣2） C． （﹣5，3） D．（ ﹣7，﹣2） 7．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点是（ ） A． （2，4） B．（ 2，﹣4） C． （﹣4，2） D．（ ﹣2，4） 8．（3分）在x轴上到点A（3，0）的距离为4的点一定是（ ） A． （7，0） B．（﹣1，0） C． （7，0）和（﹣1，0） D． 以上都不对 9．（3分）边长为下列各组数的三角形中，是直角三角形的是（ ） A． B． 、6、7 1、2、 、2、 C． 、、 D．510．（3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（3分）直角三角形一直角边长为4，另一边长为5，则其周长为（ ） A． 12 B． C． 9+D．以 上答案都不对 12或9+ 12．（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是（ ）
A． B．2 +22+ 二、填空题（每空3分，共12分）
12 C． D．1 8 1
13．（3分）如图的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使帅位于点（﹣1，0）上，相位于点（1，0）上，则炮位于点 _________ ．
14．（3分）化简：
= _________ ．
，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC
15．（3分）（2006•中山）如图，已知圆柱体底面圆的半径为
是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短D路线的长度是 _________ （结果保留根式）．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，以斜边AC作为正方形ACDE，则BE的长是 _________ ．
三、解答题（共52分，其中17题3小题每题4分共12分；18、19题5分；20、21题各7分，22、23题各8分） 17．（12分）计算 （1）
﹣9
+
×
； （2）（2﹣
）；
2
（3）（2+3）（2﹣3）﹣． 18．（5分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
2
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （3）写出点B′的坐标．
19．（5分）如图，对于边长为6的正△ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．
20．（7分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=．
（1）求CD，AD的值； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 21．（7分）老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？
22．（8分）已知在Rt△OAB中，∠B=90°，AO=，BA=2，把△OAB按如图方式放置在直角坐标系中，使O与原点重合，点A落在x轴正半轴上，求点B的坐标．
3
23．（8分）在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为s，周长为l，探索与a+b﹣c的值之间的关系． （1）填表： 三边a，b，c a+b﹣c 3，4，5 5，12，13 8，15，17 （2）分析后猜想：若设a+b﹣c=m（m为正实数），则= _________ （用m表示）； （3）请写出（2）中结论的推导过程．
4
2013-2014学年广东省深圳市红岭中学八年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分） 1．（3分）9的算术平方根是（ ） ±3 A． B．3 C． ﹣3 D． 考点： 算术平方根． 专题： 计算题． 分析： 根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，由此即可求出9的算术平方根． 2解答： 解：∵3=9， ∴9的算术平方根是3． 故选B． 点评： 此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义． 2．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
x≥2 A． B．x ≤2 C． x＞2 D．x ＜2 考点： 二次根式有意义的条件． 专题： 计算题． 分析： 二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围． 解答： 解：∵在实数范围内有意义， ∴x﹣2≥0，解得x≥2． 故选A． 点评： 本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数． 3．（3分）下列说法正确的是（ ） A． B． C． 是无理数 D． 0（）是无理数 是有理数 是有理数 考点：实 数． 专题：应 用题． 分析：先 对各选项进行化简，然后根据有理数和无理数的定义即可判断． 解答： 0解：A、（）=1是有理数，故本选项错误，B、是无理数，故本选项错误， C、=2是有理数，故本选项错误，D、=﹣2是有理数，故本选项正确． 故选D． 点评：本 题主要考查了有理数和无理数的定义，比较简单． 4．（3分）如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
5
A． B． C． D． 考点：估 算无理数的大小；实数与数轴． 专题：图 表型． 分析：先 对四个选项中的无理数进行估算，再根据N点的位置即可求解． 解答： ：∵≈3.16，≈2.24，≈1.73，≈1.41， 解根据点N在数轴上的位置，知：3＜N＜4， ∴四个选项中只有3＜3.16＜4，即3＜＜4． 故选A． 点评：本 题考查了同学们估算无理数大小的能力，及能够根据点在数轴的位置确定数的大小． 5．（3分）下列各式正确的是（ ） A． B． =±2=25 C． ﹣+=3 D． （﹣）=﹣4 2 考点：实 数的运算． 专题：计 算题． 分析：原 式各项计算得到结果，即可做出判断． 解答： 解：A、==5，故选项错误； B、原式=2，故选项错误； C、原式=﹣+4=3，故选项正确； D、原式=2，故选项错误． 故选C． 点评：此 题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（3分）位于平面直角坐标系上第四象限的点是（ ） A． （3，4） B．（ 3，﹣2） C． （﹣5，3） D．（ ﹣7，﹣2） 考点：点的坐标． 分析：根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解． 解答：解：A、 （3，4）在第一象限，故本选项错误； B、（3，﹣2）在第四象限，故本选项正确； C、（﹣5，3）在第二象限，故本选项错误； D、（﹣7，﹣2）在第三象限，故本选项错误． 故选B． 点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特 点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 7．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点是（ ） A． （2，4） B．（ 2，﹣4） C． （﹣4，2） D．（ ﹣2，4） 考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标． 分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案． 解答：解：点A（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点是（﹣2，4） ， 故选：D． 点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律． 6
8．（3分）在x轴上到点A（3，0）的距离为4的点一定是（ ） A． （7，0） B． （﹣1，0） C． （7，0）和（﹣1，0） D． 以上都不对 考点：点 的坐标． 专题：分 类讨论． 分析：x 轴上的点纵坐标是0，这点有可能在点A的左边，也有可能在点A的右边． 解答：解 ：∵3+4=7，3﹣4=﹣1， ∴点的横坐标是7或﹣1， ∴在x轴上到点A（3，0）的距离为4的点为（7，0）和（﹣1，0）． 故选C． 点评：本 题考查了点到坐标轴距离的含义，到x轴上到一定点等于定长的点的有2个． 9．（3分）边长为下列各组数的三角形中，是直角三角形的是（ ） A． 1、2、 B． C． D． 5、6、7 、2、 、、 考点： 勾股定理的逆定理． 专题： 探究型． 分析： 分别根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一解答． 解答： 解：A、由于12+22=5=（）2，故本选项正确； 222B、由于2+（）=9≠（2）=12，故本选项错误； 222C、由于（）+（）=8≠（）=7，故本选项错误； 222D、由于5+6=61≠7=49，故本选项错误． 故选A． 点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理，即判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 10．（3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： 欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 222222222解答： 解：A、7+24=25，15+20≠24，22+20≠25，故A不正确； 222222B、7+24=25，15+20≠24，故B不正确； 222222C、7+24=25，15+20=25，故C正确； 222222D、7+20≠25，24+15≠25，故D不正确． 故选：C． 点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定222理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形． 11．（3分）直角三角形一直角边长为4，另一边长为5，则其周长为（ ） A． 12 B． 12或9+C． 9+D． 以上答案都不对 7
考点： 勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 分别根据当5为斜边以及当5为直角边求出第三边长，进而得出其周长． 解答： 解：∵直角三角形一直角边长为4，另一边长为5， ∴当5为斜边，则第三边长为：∴其周长为：3+4+5=12； 当5为直角边，则第三边长为：=， =3， ∴其周长为：4+5=9+， 故选：B． 点评： 此题主要考查了勾股定理，利用分类讨论得出第三边长是解题关键． 12．（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是（ ）
A． 12 B．2 +2C． D．1 8 2+ 考点： 剪纸问题；勾股定理． 专题： 压轴题． 分析： 折叠后长方形的长为原来长的一半，减去4后即为得到等腰三角形底边长的一半；利用勾股定理即可求得等腰三角形的斜边长，周长=底边长+2腰长． 解答： 解：展开后等腰三角形的底边长为2×（10÷2﹣4）=2； 腰长==， 所以展开后三角形的周长是2+2，故选B． 点评： 解决本题的难点是利用折叠的性质得到等腰三角形的底边长． 二、填空题（每空3分，共12分） 13．（3分）如图的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使帅位于点（﹣1，0）上，相位于点（1，0）上，则炮位于点 （﹣4，3） ．
考点： 坐标确定位置． 分析： 以“帅”向右1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出炮的坐标即可． 解答： 解：建立平面直角坐标系如图所示， 炮（﹣4，3）． 故答案为：（﹣4，3）． 8
点评：本 题考查了坐标确定位置，准确确定出坐标原点的位置是解题的关键． 14．（3分）化简：
= π﹣3 ．
考点：二次根式的性质与化简；二次根式的定义． 专题：常规题型． 分析： 二次根式的性质：=a（a≥0），根据性质可以对上式化简． 解答： 解：==π﹣3． 故答案是：π﹣3． 点评：本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简． 15．（3分）如图，已知圆柱体底面圆的半径为
，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线若一
（结果保留根式）．
只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短D路线的长度是 2
考点：平面展开-最短路径问题． 专题：压轴题． 分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知． 解答：解：沿母线AD展开，则C点落在C′ 点位置（如图）， 由条件易知，AD=2，DC′=×2π×小虫爬行的最短距离为AC′的长． ∴AC′==2． ． 点评：考查圆柱侧面展开图及空间图形想象能力、运算能力． 结合圆柱侧面展开图知识，把立体图形问题转化为平面图形问题来解决． 16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，以斜边AC作为正方形ACDE，则BE的长是 ．
9
考点：全 等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． 分析：过 点E作EF⊥AB交BA的延长线于F，根据正方形的性质可得AC=AE，再求出∠EAF=∠ACB，然后利用“角角边”证明△ABC和△EFA全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=AB，AF=BC，再求出BF，然后在Rt△BEF中，利用勾股定理列式计算即可得解． 解答：解 ：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于F， 在正方形ACDE中，AC=AE，∠CAE=90°， ∵∠EAF+∠BAC=180°﹣∠CAE=180°﹣90°=90°， ∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠EAF=∠ACB， 在△ABC和△EFA中，∴△ABC≌△EFA（AAS）， ∴EF=AB=1，AF=BC=2， ∴BF=AB+AF=1+2=3， 在Rt△BEF中，BE=故答案为：． =， =． 点评：本 题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造成全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题（共52分，其中17题3小题每题4分共12分；18、19题5分；20、21题各7分，22、23题各8分） 17．（12分）计算 （1）
﹣9
2
+×；
（2）（2﹣）； （3）（2+3）（2﹣3）﹣． 考点：实 数的运算． 专题：计 算题． 分析：（ 1）原式利用平方根及立方根定义化简，计算即可得到结果； （2）原式利用完全平方公式展开，计算即可得到结果； 10
（3）原式第一项利用平方差公式化简，合并即可得到结果． 解答： 解：（1）原式=3﹣9×+=3﹣3+6=9﹣3； （2）原式=4﹣4+5=9﹣4； （3）原式=28﹣27﹣4=﹣3． 点评：此 题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（5分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （3）写出点B′的坐标．
考点：作图-轴对称变换；坐标与图形变化-对称． 专题：作图题． 分析：（1）易得y轴在C的右边一个单位，x轴在C的下方3个单位； （2）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标． 解答：解： （1）（2）如图； （3）点B′的坐标为（2，1）． 点评：本题考查轴对称作图问题．用到的知识点：图象的变换，看关键点的变换即可． 19．（5分）如图，对于边长为6的正△ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．
考点：等 边三角形的性质；坐标与图形性质；勾股定理． 11
分析：如 图，以BC所在的直线为x轴，以过A垂直于BC的直线为y轴，建立坐标系，然后利用边长为6和等边三角形的性质即可求出各个顶点的坐标． 解答：解 ：如图，以BC所在是直线为x轴，以过A垂直于BC的直线为y轴，建立坐标系，O为原点， ∵△ABC是正△ABC， ∴O为BC的中点，而△ABC的边长为6， ∴BO=CO=3， 222在Rt△AOB中，AB=AO+BO， ∴AO=3， ∴B（﹣3，0），C（3，0），A（0，3）． 点评：此 题主要考查了根据已知图形特点建立坐标系，所建立的坐标系一定要方便确定图形中所求各点的坐标． 20．（7分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=． （1）求CD，AD的值； （2）判断△ABC的形状，并说明理由．
考点：勾 股定理的逆定理． 分析：利 用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形． 解答： 解：（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=，故△CDB为直角三角形， ∴在Rt△CDB中，CD=， 在Rt△CAD中，AD= （2）△ABC为直角三角形． 理由：∵AD=222． ，BD=，∴AB=AD+BD=222+=5， ∴AC+BC=4+3=25=5=AB， ∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形． 点评：本 题考查了勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，是一个好题目． 21．（7分）老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？
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考点：勾 股定理的应用． 专题：计 算题． 分析：设 未知数，根据2次测量中竹竿相等的等量关系列出方程根据勾股定理求解． 解答：解 ：设河水的深度为h米． 由勾股定理得：h+1.5=（h+0.5） 22h+2.25=h+h+0.25 h=2 答：河水的深度为2米． 点评：本 题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，解本题的关键是正确的运用勾股定理求解． 22．（8分）已知在Rt△OAB中，∠B=90°，AO=，BA=2，把△OAB按如图方式放置在直角坐标系中，使O与原点重合，点A落在x轴正半轴上，求点B的坐标．
222
考点：勾 股定理；坐标与图形性质． 专题：计 算题． 分析：过 B作BD⊥x轴，交x轴于点D，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出OB的长，由三角形BOD与三角形AOB相似，由相似得比例，求出OD与BD的长，即可确定出B坐标． 解答：解 ：过B作BD⊥x轴，交x轴于点D， 在Rt△AOB中，AO=2，BA=2， 根据勾股定理得：OB==2， ∵∠ODB=∠OBA=90°，∠BOD=∠AOB， ∴△BOD∽△AOB， ∴==，即==， ）． ， 解得：BD= 则D坐标为（，OD=， 13
点评：此 题考查了勾股定理，以及坐标与图形性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 23．（8分）在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为s，周长为l，探索与a+b﹣c的值之间的关系． （1）填表： 三边a，b，c a+b﹣c 3，4，5 5，12，13 8，15，17 （用m表示）；
（2）分析后猜想：若设a+b﹣c=m（m为正实数），则=
（3）请写出（2）中结论的推导过程．
考点：勾 股定理的逆定理；整式的混合运算；三角形；三角形的面积． 专题：探 究型． 分析：（ 1）按图中给出的信息进行计算即可； （2）根据（1）中得出的结果，我们可看出m的值都是的4倍，因此=； （3）可先从a+b+c=l及a+b﹣c=m入手，让两者相乘正好可以用平方差公式进行化简．可得出a+2ab+b﹣2222c=lm，我们发现a+b正好符合勾股定理应等于c．而2ab又正好是4s，因此原式最终可化简为4s=lm，就此可得出结论． 解答： 解：（1）a+b﹣c的值依次为2，4，6；的值依次为，1，； （2）； （3）由a+b+c=l及a+b﹣c=m，得（a+b+c）（a+b﹣c）=lm， 222222即a+2ab+b﹣c=lm，因为a+b=c， 所以2ab=lm，再由，得2ab=4s，所以4s=lm，故． 22点评：本 题考查了多项式乘多项式，要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值，再证明规律的过程中，运用整式运算的知识将整式进行正确的化简合并是解题的关键．
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