江苏专用2018版高考数学专题复习专题4三角函数解三角形第30练三角函数综合练练习理

第30练 三角函数综合练练习 理

训练目标 (1)三角函数图象、性质的应用；(2)三角函数与解三角形的综合． (1)讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象、性质；(2)三角变换和三角函数的训练题型 结合；(3)三角函数与解三角形． (1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形解题策略 式或复合函数；(2)解题中贯穿整体代换、数形结合思想；(3)三角函数和解三角形的综合问题，一定要结合正弦、余弦定理，利用三角形中的边角关系. 3πcosα－10π

1．(2015·重庆改编)若tan α＝2tan ，则＝________.

5πsinα－52．已知α∈R，sin α＋2cos α＝

10

，则tan 2α＝________. 2

3．已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm.

2

π7π4．当x∈，时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．

66

111ππ5．若cos α＝，cos(α＋β)＝－，α∈0，，α＋β∈，π，则β＝________.

271426．(2016·扬州一模)函数y＝sinx＋cos(x－________________________．

ππ7．(2016·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|≤，x＝－为f(x)

24的零点，x＝________．

π8．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ0＜φ＜个单位后得到函数g(x)的图象，若

2π

对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝________.

3

9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，

ππ5π为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在，上单调，则ω的最大值为

41836

2

2

π

)的单调增区间是3

B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，

2

∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．在A地测得该仪器至最高点H时的

17

1

仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH＝________ m．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)

10．(2016·黄冈适应性测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f(x)πππ2

＝2sin(x＋)－cos 2x，x∈[，]在x＝A处取到最大值．

342(1)求角A的大小；

23

(2)若b＝4，c＝a，求△ABC的面积．

3

2

答案精析

37

1．3 2.－ 3.1 2 1 4. 2

48π

5. 3

1π解析 ∵cos α＝，α∈0，，

2743

∴sin α＝. 7

11π又∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈，π， 14253

∴sin(α＋β)＝，

14∴cos β＝cos[(α＋β)－α]

1

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝.

2

ππ又∵α∈0，，α＋β∈，π，

22

π

∴β∈(0，π)，∴β＝. 3

π5π

6．[kπ－，kπ＋]，k∈Z(开区间也正确)

1212

2π

1＋cos2x－31－cos 2x1333

解析 原式＝＋＝1＋(－·cos 2x＋sin 2x)＝1＋

222222πππππ5π

sin(2x－)．令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

32321212π5π

故所求增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(开闭均可)

12127．9

π

解析 因为x＝－为f(x)的零点，

4

πππTπ4k＋14k＋12πx＝为f(x)图象的对称轴，所以－－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω

4

4

4

4

244ω

5πππT2ππ5π*

＝4k＋1(k∈N)，又因为f(x)在，上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，

36181222ω1836

3

由此得ω的最大值为9. π8. 6

解析 因为g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)， 所以|f(x1)－g(x2)|

＝|sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x1≤1， －1≤sin(2x2－2φ)≤1，

所以sin 2x1和sin(2x2－2φ)的值中，

一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋π

－2φ＝2k2π－，k2∈Z，

2

2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z， π得|x1－x2|＝k1－k2π＋－φ. 2πππ

因为0＜φ＜，所以0＜－φ＜，

222

πππ

故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，则φ＝. 2369．1403

2

解析 由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40) m．在△ABC中，由余弦定理，得

17

π，k1∈Z,2x22

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以CH＝AC·tan∠CAH＝1403(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH为1403 m. π2

10．解 (1)f(x)＝2sin(x＋)－cos 2x

32π

＝1－cos(2x＋)－cos 2x

313

＝1＋cos 2x＋sin 2x－cos 2x

22＝1＋31π

sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)＋1. 226

ππππ5π又x∈[，]，所以≤2x－≤，

42366

4

所以当2x－π6＝π2，即x＝π

3时，函数f(x)取到最大值．

所以A＝π

3

.

(2)由余弦定理知a2

＝b2

＋c2

－2bccos A， 即a2

＝16＋422313a－2×4×3a×2，

解得a＝43，c＝8，

∴S113

△ABC＝2bcsin A＝2×4×8×2＝83.

5