构造法求数列通

高二数学

构造法求数列通项

型如a n+1=pa n+f(n) (p为常数且p≠0， p≠1)的数列

(1)f(n)= q (q为常数) 一般地，递推关系式a n+1=pan+q (p、q为常数，且p≠0，p≠1)等价与

aqn11pp(aq1p)，则{aqnn1p}为等比数列，从而可求an．

例1、已知数列{a1n}满足a3an12，a1n2（n2），求通项an． 解：由a3an1n2，得1a11n2(1an1)，又1a120， 所以数列{1a1n}是首项为2，公比为12的等比数列， ∴an1n1(1a1)(12)1(1)n2．

练习：已知数列{an}的递推关系为an12an1，且a11，求通项an． 答案：an2n1．

(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qa n (q为常数) ，两边同除以q n，得qn1qn1panqn1， 令bnnaqn，则可转化为bn+1=pbn+q的形式求解． 例1、已知数列{a =5n}中，a16，a11n1n13an(2)，求通项an． 解：由条件，得2 n+1a2 n+1=3(2 n

a n)+1，令b n=2 na n， 则b22n+1=3bn+1，bn+1-3=3（bn-3） 易得 b4 n=3(23)n13，即242 na n=3(3)n13， ∴ a2n=3n32n． 练习、已知数列{an}满足an12an32n，a12，求通项an． 答案：an(3n1)2n22．

(3) f(n)为等差数列，如an1AanBnC型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）

1

1例1、已知数列{an}满足a11，anan12n1（n2），求

2．

解：令bnanAnB，则anbnAnB， ∴an1bn1A(n1)B，代入已知条件，

12得bnAnB[bn1A(n1)B]2n1，

即bnbn1(A2)n(AB1)，

12121212令

AAB20，10，解得A=－4，B=6， 2221所以bnbn1，且bnan4n6，

21∴{bn}是以3为首项、以为公比的等比数列，

2故bn33，故a4n6． n2n12n1点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．

练习：在数列{an}中，a13，2anan16n3，求通项an． 2n答案：an6n99·()．

11解：由2anan16n3，得anan1(6n3)，

2212令anAnB[an1A(n1)B]，

19比较系数可得：A=－6，B=9，令bnanAnB，则有bnbn1，又b1a1AB，

2212191n11n9∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，所以bn()，故an6n99·()．

22222

2

(4) f(n)为非等差数列，非等比数列 法一、构造等差数列法

n1n例1、在数列an中，a12，an1an(2)2(nN)，其中0，求数列an的

通项公式．

2解：由条件可得n1an1n12n1， annnnan2an2∴数列n是首项为0，公差为1的等差数列，故n1，

n∴an(n1)n2n．

练习：在数列{an}中，a13，nan1(n2)an2n(n1)(n2)，求通项an。 答案an1n(n1)(4n1)． 2an1an2，

(n1)(n2)n(n1)解：由条件可得：∴数列{ana13}是首项为、公差为2的等差数列。 (n1)n(11)×12法二、构造等比数列法

例1、⑴在数列{an}中，a12，a23，an23an12an，求an；

21⑵在数列an中，a11，a22，an2an1an，求an．

33解：⑴由条件an23an12an,

∴an2an12(an1an), 故an2an12n122(12n2)， 叠加法得：ana22n1；

12731n11⑵由条件可得an2an1(an1an)（等比数列）， 故an=()．

3443点拨：形如f(an2，an1,an)0的复合数列，可把复合数列转化为等差或等比数列，再用初等方法求得an．

例2、已知数列{an}满足a11，an13an52n4，求数列{an}的通项公式． 解：设an1x2n1y3(anx2ny)，将已知条件代入此式，整理后得

3

x552x3x(52x)2n4y3x2n3y，令4y3y，解得y2，

∴有an152n123(an52n2)，

又a52112112130，

且an52n20，故数列{an52n2}

是以a5211211213为首项，以3为公比的等比数列，

∴an2133n1，故an1nn52n133522．

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