2013-9-13归纳及深入π的平方是非负的。的平方是非负的。解:个体：个体：π的平方：的平方：以a表示谓词：谓词：…是非负的：是非负的：以Q表示符号化：符号化：Q(a)个体：个体：π函词（函词（函数符号）：函数符号）：…的平方：的平方：以f表示谓词：谓词：…是非负的：是非负的：以Q表示符号化：符号化：Q(f(π))9898所有实数的平方都是非负的。所有实数的平方都是非负的。另解：另解：个体：个体：每一个数：每一个数：以z代表个体变元x和z谓词：谓词：…是一个实数，是一个实数，以R表示的取值范围不同。函词：函词：…的平方：的平方：以f表示谓词：谓词：…是非负的：是非负的：以Q表示个体变元的取量词：量词：所有：所有：以∀表示值范围称为它的论域（个体符号化：符号化：(∀z)[R(z) => Q(f(z))]域）。100100人总是要死的。人总是要死的有些人不怕死。。有些人不怕死。如果论域是全人类用F(x)表示“表示“x是不怕死的”是不怕死的，用D(x”)表示“表示，则“x是要死的”是要死的”，人总是要死的。人总是要死的。。((∀∃xx))DF((xx))有些人不怕死。有些人不怕死如果论域是全总个体域人”，则，用M(x)表示“表示“x是人总是要死的。人总是要死的有些人不怕死。。(∀x)[M(x)=>D(x)]有些人不怕死。(∃x)[M(x) ∧F(x)]102102所有实数的平方都是非负的。所有实数的平方都是非负的。解：个体：个体：每一个实数：每一个实数：以x代表函词：函词：…的平方：的平方：以f表示谓词：谓词：…是非负的：是非负的：以Q表示量词：量词：所有：所有：以∀表示符号化：符号化：(∀x)Q(f(x))x可以代表不同的个体，称为个体变元；相对地π等称为个体常元9999对不同的个体变元，对不同的个体变元但有时，，不同的个体变元一起讨论时，，用不同的论域是可以的。不同的个体变元一起讨论时用不同的论域是可以的，用不同。但有时的论域甚为不便。的论域甚为不便。于是我们设想有一个集合，于是我们设想有一个集合变元的所有个体域，，它包括谓词中各个变元的所有个体域，我们称它为全总个体域。用了但不同的论述对象，全总个体域后，个体变元取值范围一致了，但不同的论述对象，个体变元取值范围一致了需要不同的特性谓词再加，以刻画。以刻画。101101如果论域是全总个体域，如果论域是全总个体域人”，则，用M(x)表示“表示“x是人总是要死的。人总是要死的有些人不怕死。。(∀x)[M(x)=>D(x)]有些人不怕死M。(∃x)[M(x) ∧F(x)]这一特征。这一特征(x)是特性谓词。特性谓词的使用有以下两条规则：特性谓词的使用有以下两条规则，用以刻画论述对象具有“用以刻画论述对象具有“人：”（件而加入之；件而加入之1）对全称量词，对全称量词；，特性谓词作为蕴含式的前（入之；入之2）；对存在量词，对存在量词，特性谓词作为合取项而加10310312013-9-13人总是要死的。人总是要死的。(∀x)[M(x)=>D(x)]有些人不怕死。有些人不怕死。(∃x)[M(x) ∧F(x)]（件而加入之；件而加入之1）对全称量词，对全称量词；，特性谓词作为蕴含式的前（入之；入之2）；对存在量词，对存在量词，特性谓词作为合取项而加人总是要死的。人总是要死的。(∀x)[M(x)∧D(x)] ？上述的意义是“上述的意义是的”因而这样表示不正确。因而这样表示不正确“所有的x都是人并且都是要死。104104例：教室里有同学在说话。教室里有同学在说话。解：x：同学C(x) ：x在教室里T(x)：x在说话(∃x)[C(x) ∧T(x)]106106例：有一个整数大于其它每个整数。有一个整数大于其它每个整数。解：x, y:数Z(x): x是整数(∃x){Z(x) ∧(∀y)[Z(y)∧~(y=x)=>x>y]}108108例：凡是有理数皆可写成分数解：x：数Q(x)：x是有理数F(x)：x可写成分数(∀x)[Q(x)=>F(x)]105105例：对于任意x,y，都存在唯一的z，使x+y=z。解：(∀x) (∀y)(∃z)[(x+y=z) ∧(∀u)(x+y=u =>u=z)]注：量词的嵌套“存在唯一”存在唯一”的表示一般的谓词用设定的字母表示，常用的谓词用特定的符号表示。107107量词的辖域定义:量词的辖域是邻接量词之后的最小子公式，是邻接量词之后的最小子公式，故除非辖域是个原子公式，故除非辖域是个原子公式，否则应在该子公式的两端有括号。端有括号。例：(∀x)P(x)→Q(x) ∀x的辖域是P(x) (∃x )[P(x, y)→Q(x，y)] ∨P(y, z) ∃x的辖域是P(x，y)→Q(x，y)10910922013-9-13定义：定义：在量词∀x，∃x辖域内变元x的一切出现叫约束出现，出现，称这样的x为约束变元。变元的非约束出现称为自由出现,称这样的变元为自由变元。例指明量词的辖域：指出下列谓词公式中的自由变元和约束变元，指出下列谓词公式中的自由变元和约束变元，并(∀x )[P(x) ∧R(x)]→(∀x )P(x) ∧Q(x)解：表达式中的∀x[P(x)∧R(x)]中x的辖域是P(x) ∧R(x),其中的x是约束出现(∀x )P(x)中x的辖域是P(x),其中的x是约束出现Q(x)中的x是自由变元110110注意事项符号化为一元和(1) 分析命题中表示n（n≥性质2）和元谓词。元谓词关系的谓词，的谓词。，分别量词(2) 。根据命题的实际意义选用全称量词或存在能不一样。能不一样(3) 在不同的个体域中，在不同的个体域中，命题符号化的形式可全总个体域。如果事先没有给出个体域，如果事先没有给出个体域为个体域。，都应以为个体域。的顺序，的顺序(4)多个量词同时出现时，多个量词同时出现时，颠倒后会改变原命题的含义。颠倒后会改变原命题的含义，不能随意颠倒它们。112112利用谓词公式表示知识的步骤如下:练习1 定义谓词及个体,确定其含义;2根据要表达的事物或概念,为每个谓词中的变元赋值;3根据表达的知识的含义,用适当的连接符号将各个谓词连接起来,形成谓词公式。用谓词演算公式表示下列句子。用谓词演算公式表示下列句子。（1）猫比老鼠跑得快。猫比老鼠跑得快。（2）有的猫比所有老鼠跑得快。有的猫比所有老鼠跑得快。（3）并不是所有的猫比老鼠跑得快。并不是所有的猫比老鼠跑得快。（4）不存在跑得同样快的两只猫。不存在跑得同样快的两只猫。解L（xC，（yx）：x）：）：x）：xx和是猫；是猫y跑得同样快。跑得同样快；M（y）：y）：。y是老鼠；是老鼠；Q（x，y）：x）：x比y跑得快；跑得快；这4个命题分别符号化为：1）(∀个命题分别符号化为：（x )(∀y)[C(x)∧M(y)⇒Q(x，Q(x，y)]；y)]；（2）(∃x)[C(x)∧(∀y)（M(y)⇒Q(x，Q(x，y))]；y))]；（3）～(∀x) )(∀y)[C（[C（x）∧M（y)⇒Q（x，y）]；（4）～(∃x)(∃y)[C（[C（x）∧C（y）∧L（x，y）]。114114例并指明量词的辖域。：指出下列谓词公式中的自由变元和约束变元。, 并指明量词的辖域(∀x )[P(x，y)→(∃y)R(x，y) ]解：其中的P(x中的，y)中的y是自由变元，是自由变元，x变元，变元，R(是约束x，y)x，y是约束变元。是约束变元。注又可以自由出现。：在一个公式中，又可以自由出现在一个公式中。，为避免混淆可用改名规则对变一个变元既可以约束出现，一个变元既可以约束出现，元改名。元改名。111111利用谓词公式表示知识的步骤如下:1 定义谓词及个体1 定义谓词及个体,定义谓词及个体,确定其含义;确定其含义;2值根据要表达的事物或概念,根据要表达的事物或概念;,为每个谓词中的变元赋3谓词连接起来,根据表达的知识的含义,根据表达的知识的含义,用适当的连接符号将各个谓词连接起来,形成谓词公式。形成谓词公式。113113练习如果张三比李四大，那么李四比张三小。若一个人是老实人，他就不会说谎。For every set of yis greater than the cardinality of x, there is a set y, such that the cardinality x.并不是所有的学生选修了历史和生物。所有选修人工智能课程的学生都喜欢玩游戏。选修人工智能课程的学生都不喜欢玩游戏。并不是所有选修人工智能课程的学生都喜欢玩游戏。11511532013-9-13作业自然数是大于零的整数。任何人的姐妹必是女性。历史考试中有学生不及格。历史考试中只有一个学生不及格。星期六，所有的学生或者去了舞会，或者去工作，但是没有两者都去的。星期六，未选修人工智能课程的学生都去舞会了。每个力都有一个相等的反作用力。116116置换&合一令置换s＝{t1/x1,… ,t,… ,tn/xn}，而E是一谓词公式，是一谓词公式，那么s那么s作用于E作用于E，就是将E就是将E中出现的变量x中出现的变量xi均以t均以ti代入(i=1, …,n),结果以=1, …,n),结果以Es结果以Es表示Es表示，表示，并称为E并称为E的一个例118118常使用的置换间的运算是若θ＝{t置换乘法（合成）。1/x1,…,tn/xn}λ＝{u1/y1,…,um/ym}置换的乘积θ·λ是个新的置换，作用于E相当于先θ后λ对E的作用。为此可如下定义先作置换{t1·λ/x1,…,tn·λ/xn,u1/y1,… ,um/ym}若yi∈{x1,…,xn}时，先从中删除ui/yiti·λ=xi时，再从中删除ti·λ/xi所得的置换称作θ与λ的乘积，记作θ·λ。120置换&合一一个表达式的置换就是在该表达式中用置换项置换变量.置换（Subtitution)Subtitution)是形如{ t1/x1, t2/x2, …，tn/xn}的有限集合。的有限集合。其中，其中，ti是不同于x是不同于x…，xi的项（的项（常量、）；x常量、变量、变量、函数）；函数）；x1，x2，n是互不相同的变量；变量；ti/xi表示用t表示用ti代换x代换xi。例子：例子：{a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换{a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换;是置换;{x/x}, {y/f(x)}不是置换{x/x}, {y/f(x)}不是置换;不是置换;117117例表达式P[x,f(y),B]的4于是，我们可得到P[x,f(y),B]的4个置换为个置换的例，如下：s1={z/x,w/y}P[x,f(y),B]s1=P[z,f(w),B]s2={A/y} P[x,f(y),B]s2=P[x,f(A),B]s3={q(z)/x,A/y} P[x,f(y),B]s3=P[q(z),f(A),B]s4={c/x,A/y}P[x,f(y),B]s4=P[c,f(A),B]119119例: θ＝{f(y)/x,z/y}λ＝{a/x, b/y, y/z}求θ·λ。先作置换{f(y)·λ/x,z·λ/y,a/x,b/y,y/z}={f(b)/x,y/y,a/x,b/y,y/z}先删除a/x,b/y,再删y/y得θ·λ＝{f(b)/x,y/z}当E =P(x,y,z) 时，E(θ·λ)＝P(f(b),y,y)而Eθ= P(f(y),z,z)(Eθ)λ＝P(f(b),y,y)=E(θ·λ)12142013-9-13置换是成。L表示一表达式，则有可结合的。用s1s2表示两个置换s1和s2的合(LS1)S2=L(S1S2)以及(S1S2)S3=S1(S2S3)即用s1和s2相继作用于表达式L是同用s1s2作用于L一样的。一般来说，置换是不可交换的.122122置换&合一如果一个置换s则我们用{{Es作用于表达式集{{Ei}的每个元素，i}s来表示置换例的集。}s称表达式集{Ei}是可合一的。如果存在一个置换s，使得：E1s= E2s= E3s=…那么我们称此s为{E集合{Ei}的合一者，因为s的作用是使i}成为单一形式。124124置换&合一s={A/x,B/y}它不是最简单的合一者是P[x,f(y),B],P[x,f(B),B]};的一个合一者,但最简单的合一者应为: g={B/y}通过置换最少的变量以使表达式一致，这个置换就叫最一般合一者,记为mgu126126置换&合一合一（Unification) Unification) 合一：寻找项对变量的置换，以使两表达式一致。123123置换&合一例2表达式集{P[x,f(y),B],P[x,f(B),B]}的合一者为s={A/x,B/y}因为P[x，f(y),B]s=P[x,f(B),B]s =P[A,f(B),B]即s使表达式成为单一形式P[A,f(B),B]1251255