一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果延长线段AB到C，使得A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2
2．在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（ ）
A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα
3．将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（ ） A．y=2（x﹣1）+5
2
，那么AC：AB等于（ ）
B．y=2（x﹣1）+1
2
C．y=2（x+1）+3 D．y=2（x﹣3）+3
22
4．在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．下列命题不一定成立的是（ ）
A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两个等腰直角三角形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 6．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，A．40° B．60° C．80° D．100°
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．线段3cm和4cm的比例中项是 cm． 8．抛物线y=2（x+4）的顶点坐标是 ．
9．函数y=ax（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而 ．
10．如果抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线 ． 11．如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为 ．
2
2
2
，那么∠B的度数是（ ）
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那么S△ADC：S△ABC的值为 ．
13．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是 cm．
14．如果+=3，2﹣=，那么= （用表示）． 15．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α= 度．
16．如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1： ．
17．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：
x y=ax+bx+c 2 … … 1 0 2 ﹣1 3 0 4 3 … … 那么该二次函数在x=0时，y= ．
18．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF=AB、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G． （1）设
=，
=，试用向量和表示向量
与
的和向量．
；
（2）在图中求作向量
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
20．（10分）已知抛物线y=﹣x+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）． （1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离． 21．（10分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为．
求：（1）对角线BD的长； （2）梯形ABCD的面积．
2
22．（10分）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD
相交于点F．
（1）求证：AC2=AD•AB； （2）若
=
，求证：CG2=DF•BG．
24．（12分）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M． （1）求点D、点M的坐标；
（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．
（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；
（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．
2017年上海市杨浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果延长线段AB到C，使得A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2 【考点】两点间的距离．
【分析】作出图形，用AB表示出AC，然后求比值即可． 【解答】解：如图，∵BC=AB， ∴AC=AB+BC=AB+AB=AB， ∴AC：AB=3：2． 故选D．
【点评】本题考查了两点间的距离，用AB表示出AC是解题的关键，作出图形更形象直观．
2．在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（ ）
A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可． 【解答】解：∵∠BAC=α，BC=100m， ∴AB=BC•cotα=100cotαm． 故选：B．
，那么AC：AB等于（ ）
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形
结合求解是解答此题的关键．
3．将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（ ） A．y=2（x﹣1）+5
2
B．y=2（x﹣1）+1
2
C．y=2（x+1）+3 D．y=2（x﹣3）+3
22
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位，可得y=2（x﹣1﹣2）2+3，即y=2（x﹣3）2+3， 故选：D．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．在二次函数y=ax+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据已知条件“a＞0，b＜0，c＞0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限． 【解答】解：①∵a＞0、c＞0，
∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴； ②∵a＞0，b＜0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴是x=﹣＞0， ∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴在第一象限； 综合①②，二次函数y=ax+bx+c的图象一定不经过第三象限． 故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．
5．下列命题不一定成立的是（ ）
A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
2
2
B．两个等腰直角三角形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 【考点】命题与定理．
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
【解答】解：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似一定成立； 两个等腰直角三角形相似一定成立；
两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立； 各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似一定成立， 故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，A．40° B．60° C．80° D．100° 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】根据解题． 【解答】解：∵
，
可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可
，那么∠B的度数是（ ）
∴∠B与∠D是对应角， 故∠B=∠D=60°． 故选B．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．线段3cm和4cm的比例中项是 2【考点】比例线段．
【分析】根据比例中项的概念，a：b=b：c，设比例中项是xcm，则列比例式可求．
cm．
【解答】解：设比例中项是xcm，则： 3：x=x：4， x2=12， x=±2
，
∵线段是正值， ∴负值舍去， 故答案为：2
．
【点评】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数是解答此题的关键．
8．抛物线y=2（x+4）的顶点坐标是 （﹣4，0） ． 【考点】二次函数的性质．
【分析】由抛物线的解析式可求得答案． 【解答】解： ∵y=2（x+4），
∴抛物线顶点坐标为（﹣4，0）， 故答案为：（﹣4，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
9．函数y=ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而 减小 ． 【考点】二次函数的性质．
【分析】由解析式可确定其开口方向，再根据增减性可求得答案． 【解答】解： ∵y=ax（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
2
2
2
10．如果抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线 x= ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等可求得答案． 【解答】解：
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2）， ∴对称轴为x=故答案为：x=．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等是解题的关键．
11．如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为
．
=，
2
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】利用DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，利用相似的性质的得性质得
=，然后证明△CEF∽△CAB，然后利用相似比可得到
=
=，再利用比例
的值．
【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∴
=
=，
=，
∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB，
∴==．
故答案为．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算．
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那么S△ADC：S△ABC的值为 1：2 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．
【分析】根据梯形的性质和三角形的面积计算公式，可以解答本题．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，设AD与BC间的距离为h，
则，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查梯形、三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是 20 cm． 【考点】相似三角形的性质．
【分析】因为两个三角形的面积之比9：25，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形的中线． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25， ∴大三角形的周长：小三角形的周长是5：3， ∵小三角形一边上的中线长是12cm，
∴12÷=20cm，
∴大三角形对应边上的中线长是20cm．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比．
14．如果+=3，2﹣=，那么= 【考点】*平面向量．
【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵2﹣=， ∴6﹣3=3， ∵+=3， ∴+=6﹣3， ∴=
．
（用表示）．
故答案是： ．
【点评】本题考查了平面向量的运算，类似于解一元一次方程进行计算即可，比较简单，要注意移项要变号．
15．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α= 60 度． 【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】根据30°角的余弦值等于【解答】解：∵tanα=2cos30°=2×∴α=60°． 故答案为：60．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的正弦值、余弦值、正切值是解此类题目的关键．
16．如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1： 2.4 ．
，正切值是=
，
的锐角为60°解答即可．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成一个直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据定义解答． 【解答】解：由题意得，水平距离=∴坡比i=5：12=1：2.4． 故答案为2.4
【点评】本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题．
17．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：
x y=ax2+bx+c … … 1 0 2 ﹣1 3 0 4 3 … … =12，
那么该二次函数在x=0时，y= 3 ． 【考点】二次函数的图象．
【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时，y的值即可．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0）， ∴对称轴为x=2，
∴当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值， ∵当x=4时，y=3， ∴当x=0时，y=3． 故答案是：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．
18．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是
．
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．
【分析】作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH、BD、CD、AD，根据旋转变换的性质得到∠FBD=∠CBA，证明FB∥AH，根据四点共圆得到∠EFD=∠GBD，求出tan∠GBD即可．
【解答】解：作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G， ∵AB=AC， ∴BH=CH=BC=3， 由勾股定理得，AH=
=4，
×BC×AH=×AC×BD，即6×4=5×BD， 解得，BD=∴CD=
，
=
，AD=，
∵∠FBD=∠CBA， ∴∠FBE=∠DBC，
∵∠DBC+∠C=90°，∠HAC+∠C=90°， ∴∠FBE=∠BAH， ∴FB∥AH，
∴∠FBC=∠AHC=90°， ∴EF∥BC，
∴∠E=∠ABC=∠C=∠EGA， ∴AG=AE=BE﹣AB=BC﹣AB=1， ∴DG=
，
∴∠F=∠BDC=90°，
∴F、B、D、G四点共圆， ∴∠EFD=∠GBD， tan∠GBD=
=，
∴∠EFD的正切值是， 故答案为：．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用，掌握旋转变换的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）（2017•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF=AB、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G． （1）设
=，
=，试用向量和表示向量
与
的和向量．
；
（2）在图中求作向量
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【考点】*平面向量；作图—复杂作图． 【分析】（1）证△AGF∽△BCF得得答案；
（2）延长CB到E，使BE=AG，连接AE，则
=
．
=
=，即AG=CB，由
=（
）可
【解答】解：（1）∵AG∥BC，AF=AB， ∴△AGF∽△BCF，∴∴
（2）如图所示，
=
=，
=，即AG=CB， =（
）=
﹣
；
==．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及向量的运算、作图，熟练掌握向量的基本运算法则是解题的关键．
20．（10分）（2017•杨浦区一模）已知抛物线y=﹣x+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换． 【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）求出原抛物线上x=﹣2时，y的值，若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，﹣1），根据纵坐标的变化可得其中的一种平移方式．
【解答】解：（1）将点B（﹣1，0）、C（2，3）代入y=﹣x+bx+c， 得：解得：
，
，
2
2
∴此抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在y=﹣x+2x+3中，当x=﹣2时，y=﹣4﹣4+3=﹣5， 若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，﹣1）， 则需将抛物线向上平移4个单位．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
21．（10分）（2017•杨浦区一模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为． 求：（1）对角线BD的长； （2）梯形ABCD的面积．
2
【考点】梯形；解直角三角形．
【分析】（1）求出△ABD∽△DCB，得出比例式，即可得出答案；
（2）过D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根据面积公式求出即可． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵∠ABD=∠C， ∴△ABD∽△DCB， ∴
=
，
∵AD=4，BC=9， ∴BD=6；
（2）
过D作DE⊥BC于E， 则∠DEB=90°，
∵锐角∠DBC的正弦值为， ∴sin∠DBC=∵BD=6， ∴DE=4，
∴梯形ABCD的面积为×（AD+BC）×DE=×（4+9）×4=26．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解直角三角形等知识点，能求出BD的长是解此题的关键．
22．（10分）（2017•杨浦区一模）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．
=，
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】首先证明AC=AB=12，根据时间=路程÷速度，计算即可解决问题． 【解答】解：如图，由题意，∠ABF=30°，∠CBF=60°， ∴∠FAB=60°，∠ABC=∠C=30°， ∴AC=AB=12，
货轮从出发到客轮相逢所用的时间=
=1.2小时．
答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间1，2小时．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型．
23．（12分）（2017•杨浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F． （1）求证：AC2=AD•AB； （2）若
=
，求证：CG2=DF•BG．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结论； （2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG，由已知证出△ADF∽△ACG，得出∠DAF=∠CAF，AG是∠BAC的平分线，由角平分线得出
，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB=AD：AC， ∴AC=AD•AB；
（2）证明：∵△ACD∽△ABC， ∴∠ADF=∠ACG， ∵
=
，
2
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF=∠CAF，
即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线， ∴∴
， ，
∴CG2=DF•BG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
24．（12分）（2017•杨浦区一模）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M． （1）求点D、点M的坐标；
（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．
2
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）由y=ax﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）+3，可得顶点D（2，3），M（2，0）． （2）作PN⊥DM于N．由△PDN∽△MAO，得
=
=
=，因为OM=2，OA=﹣4a﹣3，PN=1，
2
2
所以P（1，a+3），DN=﹣a，根据OA=2DN，可得方程﹣4a﹣3=﹣2a，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）2+3， ∴顶点D（2，3），M（2，0）．
（2）作PN⊥DM于N． ∵AM∥DP，
∴∠PDN=∠AMG， ∵DG∥OA，
∴∠OAM=∠AMG=∠PDN， ∵∠PND=∠AOM=90°， ∴△PDN∽△MAO， ∴
=
=
=，
∵OM=2，OA=﹣4a﹣3，PN=1， ∴P（1，a+3）， ∴DN=﹣a， ∵OA=2DN， ∴﹣4a﹣3=﹣2a， ∴a=﹣．
（当点A在y的正半轴上时，方法类似，求得a=﹣）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决问题，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．（14分）（2017•杨浦区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．
（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；
（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）先求出CP=1，利用对称得出∠MBN=90°，BP=BP=3，最后用锐角三角函数的定义即可；
（2）先求出FG，再利用同角的三角函数相等，得出PG，再用三角形的面积公式求解即可； （3）利用对称先判断出AM=AP=AN，进而得出三角形AMN是等腰直角三角形，即可得出∠AMN=45°，得出∠AFE=∠AMB，即可判断出△AEF∽△BAM． 【解答】解：（1）如图1，连接BN， ∵点P为边BC的中点， ∴CP=BP=BC=1，
∵点P与点M关于AC对称， ∴CM=CP=1
∵∠ACB=90°，AC=BC=2， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵点P与点N关于AB对称， ∴BP=BN=1，∠ABN=∠ABC=45°， ∴∠CBM=90°，BM=CM+BC=3 ，在Rt△MBN中，tan∠M=
=；
（2）如图2，过点F作FG⊥BC， 设PG=m，
∴BG=BP﹣PG=2﹣x﹣m，MG=MP+PG=2x+m， 在Rt△BFG中，∠FBG=45°，
∴FG=BG=2﹣x﹣m， 在Rt△FMG中，tan∠M=在Rt△MNB中，tan∠M=∴∴m=
， ，
=
（0＜x＜2）；
==
， ，
∴y=S△MPF=MP•FG=×2x×（3）△AEF∽△BAM
理由：如图3，连接AM，AP，AN，BN， ∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N， ∴AM=AP=AN．∠MAC=∠PAC，∠PAB=∠NAB， ∵∠BAC=∠PAC+∠PAB=45°，
∴∠MAN=∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB=2（∠PAC+∠PAB）=90°， ∴∠AMN=45°=∠ABC，
∵∠AFE=∠ABC+∠BMF，∠AMB=∠AMN+∠BMF， ∴∠AFE=∠AMB，∵∠EAF=∠ABM=45°， ∴△AEF∽△BAM．
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