初中数学二次根式练习
一．选择题（共10小题） 1．（2013•宜昌）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A． x =1 B．x
≥1 C． x＞1
D． x＜1
2．（2013•宜宾）二次根式
的值是（ ）
A． ﹣ 3 B． 3或﹣3 C． 9
D． 3
3．（2013•新疆）下列各式计算正确的是（ ） A． B． （﹣3）﹣2=﹣ C． a0=1
D．
4．（2011•泸州）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简
的结果是（ ）
A． ﹣ 2a+b B． 2a+b
C． ﹣b
D． b
5．（2011•凉山州）已知，则2xy的值为（ ）
A． ﹣ 15 B． 15 C．
D．
6．（2009•襄阳）函数y=的自变量x的取值范围是（ ） A． x ＞0 B． x≥﹣2
C． x＞﹣2
D． x≠﹣2
7．（2009•济宁）已知a为实数，那么等于（ ）
A． a
B． ﹣a
C． ﹣1
D． 0
8．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（ ）
A． ﹣ 1 B． 1 C． 2
D． 3
9．（2004•泰州）若代数式+的值为2，则a的取值范围是（ ） A． a ≥4 B．a ≤2 C．2
≤a≤4 D． a=2或a=4
10．（2002•鄂州）若x＜0，且常数m满足条件，则化简所得的结果是（ A． x B． ﹣x
C． x﹣2
D． 2﹣x
二．填空题（共12小题）
） 11．（2013•盘锦）若式子
12．（2012•自贡）函数
有意义，则x的取值范围是 _________ ．
中，自变量x的取值范围是 _________ ．
13．（2012•眉山）直线y=（3﹣a）x+b﹣2在直角坐标系中的图象如图所示，化简：_________ ．
=
14．（2010•孝感）使
15．（2010•黔东南州）把 _________ ．
16．（2002•娄底）若
17．（2001•沈阳）已知x≤1，化简
18．（2012•肇庆）计算
19．（2009•大连）计算：（
20．（2006•厦门）计算：（
21．（2007•河池）化简：
22．（2011•威海）计算的结果是 _________ ．
三．解答题（共8小题） 23．（2003•海南）先化简，后求值：（x+1）2﹣x（x+2y）﹣2x，其中x=
24．计算题： （1）
是整数的最小正整数n= _________ ．
根号外的因式移到根号内后，其结果是
=﹣1，则x _________ ．
= _________ ．
的结果是 _________ ．
）（）0+
•（
）= _________ ． ）1= _________ ．
﹣
= _________ ．
+1，y=﹣1．
；
（2）
25．计算：（ 26．计算：
27．计算：12
﹣
）2
．
．
．
28．（2010•鄂尔多斯）（1）计算﹣22+﹣（）1×（π﹣
﹣）0；
（2）先化简，再求值：
÷（a+），其中a=﹣1，b=1．
29．（2009•仙桃）先化简，再求值：
30．（2012•绵阳）（1）计算：（π﹣2）0﹣|（2）化简：（1+）+（2x﹣
）
+
|×（﹣
，其中x=2﹣．
）；
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．（2013•宜昌）若式子
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
C． x＞1
D． x＜1
x≥1 A． x =1 B．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 二次根式有意义：被开方数是非负数． 解答： 解：由题意，得
x﹣1≥0， 解得，x≥1． 故选B．
点评： 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
非负数，否则二次根式无意义．
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是
2．（2013•宜宾）二次根式的值是（ ）
C． 9
D． 3
A． ﹣ 3 B． 3或﹣3
考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 计算题． 分析：
本题考查二次根式的化简，
．
解答：
解：=﹣（﹣3）=3．
故选D．
点评： 本题考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式
化简规律：当a≥0时，
=a；当a≤0时，
=﹣a．
3．（2013•新疆）下列各式计算正确的是（ ） A． B． ﹣ （﹣3）2=﹣
C． a0=1
D．
考点： 二次根式的加减法；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的加减、负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简，分别进行各选项的判断，即可得出答
案．
解答： 解：A、﹣=3﹣4=﹣，运算正确，故本选项正确；
B、（﹣3）2=，原式运算错误，故本选项错误；
﹣
C、a0=1，当a≠0时成立，没有限制a的取值范围，故本选项错误； D、
=2，原式运算错误，故本选项错误；
故选A．
点评： 本题考查了二次根式的加减、负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简，解答本题的关键是掌握各部分
的运算法则．
4．（2011•泸州）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简
A． ﹣ 2a+b B． 2a+b C． ﹣b D． b
考点： 二次根式的性质与化简；实数与数轴．
分析： 根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，以及a+b＞0，即可化简求值． 解答： 解：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，a+b＞0，
的结果是（ ）
∴=﹣a+a+b=b，
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次根式的化简以及实数与数轴，根据数轴得出a，b的符号是解决问题的关键．
5．（2011•凉山州）已知 A． ﹣ 15
B． 15
，则2xy的值为（ ）
C．
D．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 首先根据二次根式有意义的条件求出x的值，然后代入式子求出y的值，最后求出2xy的值． 解答：
解：要使有意义，则，
解得x=， 故y=﹣3，
∴2xy=2××（﹣3）=﹣15．
故选A．
点评： 本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
6．（2009•襄阳）函数y=
的自变量x的取值范围是（ ）
A． x ＞0 B． x≥﹣2 C． x＞﹣2 D． x≠﹣2
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可求解． 解答： 解：根据题意得：x+2＞0，解得，x＞﹣2
故选C．
点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（2009•济宁）已知a为实数，那么 A． a
等于（ ）
C． ﹣1
B． ﹣a D． 0
考点： 二次根式的性质与化简． 分析：
根据非负数的性质，只有a=0时，
有意义，可求根式的值．
解答： 解：根据非负数的性质a2≥0，根据二次根式的意义，﹣a2≥0，
故只有a=0时，有意义，
所以，
=0．故选D．
点评： 注意：平方数和算术平方根都是非负数，这是解答此题的关键．
8．（2009•荆门）若
=（x+y）2，则x﹣y的值为（ ）
A． ﹣ 1 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可． 解答：
解：∵=（x+y）2有意义，
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0， ∴x=1，y=﹣1，
∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2． 故选C．
点评： 本题主要考查了二次根式的意义和性质：
概念：式子（a≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．（2004•泰州）若代数式
+的值为2，则a的取值范围是（ ） A． a ≥4 B．a ≤2 C．2
≤a≤4 D． a=2或a=4
考点： 二次根式的性质与化简． 分析：
若代数式+
的值为2，即（2﹣a）与（a﹣4）同为非正数．
解答： 解：依题意，得|2﹣a|+|a﹣4|=a﹣2+4﹣a=2， 由结果可知（2﹣a）≤0，且（a﹣4）≤0， 解得2≤a≤4．故选C．
点评： 本题考查了根据二次根式的意义与化简．
二次根式
规律总结：当a≥0时，
=a；当a≤0时，
=﹣a．
10．（2002•鄂州）若x＜0，且常数m满足条件
，则化简
所得的结果是（ A． x B． ﹣x C． x﹣2 D． 2﹣x
考点： 二次根式的性质与化简；分式的值为零的条件．
分析： 利用绝对值和分式的性质，先求m值，再对所求式子化简．
） 解答：
解：∵
则|m|﹣1=0，且m2+m﹣2=（m﹣1）（m+2）≠0 解得m=﹣1， ∵x＜0，
∴1﹣x＞1＞0，
原式=||x﹣1|﹣1|=|1﹣x﹣1|=|﹣x|=﹣x 故选B．
点评： 本题考查了二次根式的化简，注意二次根式、绝对值的结果为非负数．
二．填空题（共12小题） 11．（2013•盘锦）若式子
有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 分析： 根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
解答： 解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x≥﹣1，
又因为分式的分母不能为0，
所以x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．
点评： 此题主要考查了二次根式的意义和性质：
概念：式子（a≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义； 当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零．
12．（2012•自贡）函数中，自变量x的取值范围是 x≤2且x≠1 ．
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知2﹣x≥0；分母不等于0，可知：x﹣1≠0，则
可以求出自变量x的取值范围．
解答：
解：根据题意得：
解得：x≤2且x≠1．
点评： 本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．（2012•眉山）直线y=（3﹣a）x+b﹣2在直角坐标系中的图象如图所示，化简：1 ．
=
考点： 一次函数图象与系数的关系；二次根式的性质与化简． 专题： 压轴题．
分析： 先根据图象判断出a、b的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可． 解答： 解：根据图象可知直线y=（3﹣a）x+b﹣2经过第二、三、四象限，
所以3﹣a＜0，b﹣2＜0， 所以a＞3，b＜2，
所以b﹣a＜0，a﹣3＞0，2﹣b＞0，
所以=a﹣b﹣|a﹣3|﹣（2﹣b）=a﹣b﹣a+3﹣2+b=1．
故答案为1．
点评： 主要考查了一次函数的图象性质及绝对值的性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
14．（2010•孝感）使是整数的最小正整数n= 3 ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值． 解答： 解：=2，由于是整数，所以n的最小正整数值是3． 点评： 解答此题的关键是能够正确的对二次根式进行化简．
15．（2010•黔东南州）把 ﹣
．
根号外的因式移到根号内后，其结果是
考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 常规题型．
分析： 由题意得，2﹣a＞0，则a﹣2＜0，那么此根式为负，把负号留在根号外，a﹣2平方后，移到根号内，约分
即可．
解答： 解：由题意得，2﹣a＞0，则a﹣2＜0，
∴
故答案为：﹣
=﹣．
．
点评： 此题主要考查二次根式的性质，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，还要考虑分母不为0这个条
件．
16．（2002•娄底）若
=﹣1，则x ＜0 ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 解答：
根据已知变形得=﹣x，且分母x≠0，由二次根式的性质判断x的符号．
解：由得
=﹣1， =﹣x，且分母x≠0，
∴x＜0．
点评： 本题主要考查了开平方的性质，及分式运算符号的取法．
17．（2001•沈阳）已知x≤1，化简
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的性质化简以及运用完全平方公式． 解答： 解：∵x≤1，
∴1﹣x≥0，x﹣2＜0
= ﹣1 ．
原式=﹣
=|1﹣x|﹣|x﹣2|
=1﹣x﹣（2﹣x）=﹣1．
点评：
18．（2012•肇庆）计算
的结果是 2 ．
应把被开方数整理成完全平方公式的形式，再利用
=|a|进行化简．需注意二次根式的结果一定为非负数．
考点： 二次根式的乘除法． 专题： 计算题．
分析： 根据二次根式乘法、商的算术平方根等概念分别判断． 解答：
解：原式=2×
=2．
故答案为2．
点评： 本题考查了二次根式的乘除法，正确理解二次根式乘法、商的算术平方根等概念是解答问题的关键．
19．（2009•大连）计算：（）（）= 2 ．
考点： 二次根式的乘除法；平方差公式． 分析： 直接利用平方差公式解题即可． 解答： 解：（）（）=（）2﹣1=3﹣1=2．
点评： 本题考查学生利用平方差公式进行实数的运算能力，既要掌握数学中常用的平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a
﹣b），还要掌握无理数乘方的运算规律．
20．（2006•厦门）计算：（
）0+
•（
）1= 2 ．
﹣
考点： 分母有理化；零指数幂；负整数指数幂．
分析：
按照实数的运算法则依次计算，注意（根式的化简．
）0=1，（）1=
﹣
．考查知识点：负指数幂、零指数幂、二次
解答：
解：（
）0+
•（
）1=1+
﹣
•=1+1=2．
点评： 传统的小杂烩计算题，涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简．
21．（2007•河池）化简：
= 2+
．
考点： 分母有理化．
分析： 本题只需将原式分母有理化即可． 解答：
解：=
=2+．
点评： 本题考查的是二次根式的分母有理化，找出分母的有理化因式是解答此类问题的关键．
22．（2011•威海）计算的结果是 3 ．
考点： 二次根式的混合运算． 专题： 计算题．
分析： 本题只需将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式，最后进行二次根式的除法运算即可． 解答： 解：原式=（5﹣2）÷=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查二次根式的混合运算，难度不大，解答此类题目时往往要先将二次根式化为最简．
三．解答题（共8小题）
23．（2003•海南）先化简，后求值：（x+1）2﹣x（x+2y）﹣2x，其中x=+1，y=﹣1．
考点： 整式的混合运算—化简求值；二次根式的乘除法．
分析： 先运用完全平方公式、单项式与多项式的乘法去括号，再合并同类项，最后求值． 解答： 解：（x+1）2﹣x（x+2y）﹣2x，
=x2+2x+1﹣x2﹣2xy﹣2x， =1﹣2xy，
当x=+1，y=﹣1时， 原式=1﹣2（+1）（﹣1）=1﹣2×（3﹣1）=1﹣4=﹣3．
点评： 利用公式可以适当简化一些式子的计算．
24．计算题：
（1）；
（2）．
考点： 二次根式的乘除法．
分析： （1）根据二次根式的乘除法法则依次进行计算即可；
（2）可运用平方差公式进行计算．
解答：
解：（1）原式=2×2××=3×=；
（2）原式=（2）2﹣（）2=12﹣5=7．
点评： 一般情况下，在进行二次根式计算时，不是最简二次根式的要化为最简二次根式．能利用公式的要利用公
式，要看具体情况而定．
25．计算：（﹣）2
考点： 二次根式的乘除法；完全平方公式．
分析： 利用完全平方公式及二次根式的乘法进行计算即可， 解答： 解：原式=（）2+（）2﹣2•
=3+2﹣2 =5﹣2．
点评： 本题主要考查的是二次根式的乘法运算．涉及的知识点有完全平方公式的应用．
26．计算：．
考点： 二次根式的乘除法．
分析： 根据乘法法则分别进行计算；先把除法转化成乘法，再分别进行相乘即可求出答案； 解答：
解：=5××=10；
点评： 主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则
27．计算：12
．
=．
考点： 二次根式的乘除法．
分析： 首先把二次根式化为最简二次根式，再把除法化成乘法，然后约分计算即可． 解答：
解：原式=12×÷×，
=12×××，
=2．
点评： 此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是正确把二次根式进行化简．
28．（2010•鄂尔多斯）（1）计算﹣22+
﹣（）1×（π﹣
﹣
）0；
（2）先化简，再求值：÷（a+），其中a=﹣1，b=1．
考点： 分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化． 专题： 计算题．
分析： （1）涉及到立方根、负整数指数幂、零指数幂三个知识点，可分别针对各知识点进行计算，然后按实数的
运算规则进行求解；
（2）这道求代数式值的题目，不应考虑把a、b的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．
解答： 解：（1）原式=﹣4﹣3﹣3=﹣10；
（2）原式==；
当a=﹣1，b=1时，原式=．
点评： 本题考查了实数的运算及分式的化简计算．在分式化简过程中，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进
行分式的乘除．
29．（2009•仙桃）先化简，再求值：
，其中x=2﹣
．
考点： 分式的化简求值；分母有理化．
分析： 先把分式化简：先除后减，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分
子、分母能因式分解的先分解，然后约分；做减法运算时，应是同分母，可以直接通分．最后把数代入求值．
解答：
解：原式=
==
；
当x=2﹣原式=
时，
=﹣
．
点评： 考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等．
30．（2012•绵阳）（1）计算：（π﹣2）0﹣|（2）化简：（1+）+（2x﹣
）
+
|×（﹣
）；
考点： 分式的混合运算；零指数幂；二次根式的混合运算．
分析： （1）首先计算0次方，以及开方运算，去掉绝对值符号，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）首先计算括号内的分式，然后进行同分母的分式的加法运算即可．
解答：
解：（1）原式=1﹣|﹣2+|×（﹣）
=1﹣（2﹣=1+﹣1 =； （2）原式=
）×（﹣）
+
=+
=
=x+1．
点评： 本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
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