矩形、菱形
一. 选择题（共10小题）
1.下列性质中，菱形对角线不具有的是（ A.
）
对角线互相垂直 B.对角线所在直线是对称轴
C.对角线相等 D.对角线互相平分 【答案】C
【解析】菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的i条对称 轴，故选C.
2.如图，2XABC中，CD丄AB于D,且E是AC的中点.若AD=6, DE=5,则CD的长等于（ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D
【解析】试题分析：rtr直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半\"求得AC=2DE=10；然后在直角AACD屮, 利用勾股定理來求线段CD的长度即可.
解：如图，VAABC中，CD丄AB于D, E是AC的中点，DE=5, ・・・DE=*AO5, AAC=10.
在直角AACD中，ZADC=90°, AD=6, AC=10,则根据勾股定理，得
CD=
）
A/AC2 - AD2=A/102 - 62=8
故答案是：8.
考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线.
3. 如图，在\"BCD中，对角线AC与BD交于点0,若增加一个条件，使-ABCD成为菱形，下列给出的条 件不正确的是（
）
【答案】c
【解析】试题解析：A.根据菱形的定义可得，当AB=AD时创BCD是菱形； B. 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，口ABCD是菱形； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；
D • ZBAG乙DAC时，• ：MBCD中，AI）\\\\ BC，:.AACB^ADAC^ ：・ ZBAC= ZACB，・\\AB=AC> :dBCD是菱 形•故选c・
4. 如图，已知△ ABC, AB二AC,将厶ABC沿边BC翻转，得到的△ DBC与原△ ABC拼成四边形ABDC,则 能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（
）
• r
D
A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平分四边形是菱形 【答案】B
【解析】因为翻折后△ ABC和△DBC是全等三角形，所以AB=AC=BD=CD^以四边形ABDC是菱形，故 选B.
5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ A.对角线互相垂直 【答案】B
【解析】矩形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分且相等； 平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分. 故选B.
6. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, CE〃BD, DE〃AC,若AC=4,则四边形0CED的 周长为（
）
）
B.对角线相等C.对角线互相平分 D.对角相等
E
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B
【解析】四边形ABCD为矩形，得到0D二0C,再利用平行四边形的判定得到四边形DECO为平行四边形，利 用菱形的判定定理得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出0C的长，即可确定出其周长. 解：•・•四边形ABCD为矩形, A0A=0C, 0B二0D,且 AC=BD, A0A=0B=0C=0D=2, ・.・CE〃BD, DE〃AC,
・・・四边形DECO为平行四边形， V0D=0C,
・・・四边形DECO为菱形， .\\0D=DE=EC=0C=2,
则四边形OCED的周长为2+2+2+2二8, 故选B. 7.
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定
的方案，其 中正确的是（ ） A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量对角线是否相等 D.测量其屮三个角是否都为直角 【答案】D
【解析】试题分析：根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是 直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.A、对角线是否相互平分，能判定平行 四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、 其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形.故选D 考点：矩形的判定
点评：本题考查的是矩形的判定定理，难度简单
&已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O,下列结论中不正确的是（
）
A. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B. 当AC丄BD时，四边形ABCD是菱形 C. 当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D. 当ZABD=ZCBDH寸，四边形ABCD是矩形 【答案】D
【解析】试题解析：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确； B、 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确； C、 根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项止确； D、 不能得到一个角是直角，故错误， 故选D.
考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定.
9. 下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是（ A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 【答案】B
【解析】试题解析：根据矩形的性质，矩形的对角线把矩形分为两个直角三角形，根据勾股定理，对角线 相等，正方形属于特殊的矩形，对角线相等， 故选B.
考点：1 •正方形的性质；2.菱形的性质；3.矩形的性质.
10. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了错题，从下列四个条件： ①
AB=BC,②ZABC=90°,③AC=BD,④AC丄BD中选两个
）
作为补充条件，使口ABCD为正方形（如图所 示），现有如下四种选法，你认为其屮错误的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【答案】C
【解析】A选项四边形ABCD是平行四边形，①时，平行四边形ABCD是菱形, ②ZABC=90°时，菱形ABCD是正方形,故此选项正确，不合题意，
B,：・四边形ABCD是平行四边形,.••当②ZABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC=BD时•这是矩形的性质，无法得出四边形M仞杲正方形•故此选项错误，符合题意，学科网…学|科网… 学|科网…学|科网…学|科|网…学|科|网…
C,T四边形ABCD是平行四边形，当®AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当®AC=BD时，菱形ABCD是正方形,故此选项正确，不合题意， D, ・・・四边形ABCD是平行四边形，
・・・当②ZABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当④AC丄时，矩形ABCD是正方形,故此选项正确，不合题意.故选C.
二. 填空题（共5小题）
11. 如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC,则ZB等于
【解析】试题解析：・・・CD是斜边AB上的中线,
A CD=AD,又CD=AC, 是等边三角形,
••• ZA=60°,
.\\ZB=90°-Z/l=30o. 【点
睛】本题考查的是直角三角形的性质和等边三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 是解题的关键.
12. 一个菱形的周长为52cm, —条对角线长为10cm,则其面积为_cm2. 【答案】120
【解析】因为菱形的周长为52cm,所以其边长13cm,根据勾股定理可求得其另一对角线为24cm,从而得到菱 形的面积=10 x 24-2 = 120 cn?,故答案为：120.
13. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD,若 AD-4cm, ZABC=30°,则长方形纸条的宽度是cm.
【解析】过点A作BC的垂线可得直角三角形，在30度角的直角三角形中,30度角所对直角边等于斜边的一 半，可得长方形纸条的宽度是2,故答案为:2.
14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的屮点，若 AB=6cm, BC=8cm,则 EF=_cm.
【答案】2.5
【解析】根据勾股定理可得:BD = y齐卫=10,根据矩形的性质可得:OZ>5,因为点E,F分别是AOAD的中点, 所以EF是三角形AOD的中位线,根据中位线性质可得:EF=2.5,故答案为25.
15. 如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其 对角线AC, BD的氏度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其川的数学原理
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【解析】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都 是直角。 故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 三. 解答题（共8小题）
16. 如图，AE〃BF, AC平分ZBAE,且交BF于点C, BD平分ZABF,且交AE于点D, AC与BD相交 于点0,连接CD
（1） 求ZAOD的度数；
（2） 求证：四边形ABCD是菱形.
【答案】（1） 90° ； （2）证明见解析
【解析】试题分析：（1）首先根据角平分线的性质得到ZDAOZBAC, ZABD=ZDBC,然后根据 平行线的性质得到ZDAB+ZCBA=18O°,从而得到ZBAC+ ZABD— （ ZDAB+ ZABC） =-x 180°=90°,
2 2 得到答案ZAOD=90°；
（2）根据平行线的性质得出ZADB=ZDBC, ZDAC=ZBCA,根据角平分线定义得出ZDAOZBAC, ZABD=ZDBC,求出ZBAC=ZACB, ZABD=ZADB,根据等腰三角形的判定得IB AB=BC=AD,根据平 行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案.
试题解析：（1）・・・AC、BD 分别是 ZBAD、ZABC 的平分线,A ZDAC=ZBAC, ZABD=ZDBC, VAE//BF, 1 1 .•.ZDAB+ZCBA=18O°, A ZBAC+ZABD=- （ZDAB+ZABC） =-xl80°=90°, A ZAOD=90°；
2 2
（2）证明：・・・AE〃BF,・\\ZADB=ZDBC, ZDAOZBCA, TAC、BD 分别是ZBAD、ZABC 的平分 线,・\\ ZDAC=ZBAC, ZABD=ZDBC,・\\ ZBAC=ZACB, ZABD=ZADB,・,.AB=BC, AB=AD ・・・AD=BC, ・・・AD〃BC,・・・四边形ABCD是平行四边形，VAD=AB,二四边形ABCD是菱形. 考点：菱形的判定. 17. 如图，两条宽度都是3cm的纸条交错地叠在一起，相交成Za=60°. （1） 试判断重叠部分的四边形的形状； （2） 求重叠部分的面积.
【答案】（1）重壳部分的四边形是菱形，理由见解析；（2） 3不
【解析】试题分析:⑴根据两组对边分別平行可先判定重叠四边形是平行四边形，通过作高，利用高相等证明 三角形全等可证平行四边形的邻边相等,继而证明菱形,（2）根据特殊角的直角三角形的性质,30度角所对直角 边等于斜边的一半性质可利用纸条的宽求出菱形的边长，根据菱形而积公式计算即可. 试题解析：（1）重叠部分的四边形是菱形， 理由如下:・・•两纸条对边平行，
:.AB//CD,BC//AD, :.四边形ABCD是平行四边形，
:.ZB=ZD,
过点A作AELBC于E,作AF丄CD于F,则AE=AF=3, /•B = ZD
在厶ABE 和△ADF 中，乙AEB =乙AFD = 90° ,
AE = AF A /XABE^^ADF （AAS）,
:.AB=AD, •XABCD是菱形，即:重叠部分的四边形是菱形， （2）如图,ZADF=60o,ZD4F=30。，
：・AD=2DF,市勾股定理得DF二込
・・•重叠部分的四边形是菱形， ・•・重叠部分的面积=2石X 3十2=3亦.
18. 如图，口ABCD屮，点E, F在直线AC上（点E在F左侧），BE〃DF. （1） 求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2） 若AB丄AC, AB=4, BC=2届，当四边形BEDF为矩形吋，求线段AE的长.
【答案】（1）证明见解析；（2） 2
【解析】试题分析：（1） [tlABEC^ADFA得到BE=DF,则结合已知条件证得结论； （2）根据矩形的性质计算即对.
试题解析：（1）J四边形ABCD是平行四边形，・・・AD〃BC, AD=BC, A ZDAF=ZBCE.又TBE/DF, A ZBEC=ZDFA・在ZSBEC 与ZSDFA 中，T ZBEC=ZDFA, ZBCE=ZDAF, BC=AD, AABEC^ADFA （AAS）, /.BE=DF.又・・・BE〃DF,.:四边形BEDF为平行四边形；
（2）连接 BD, BD 与 AC 相交于点 O,如图，VAB丄AC, AB=4, BC=2jH…*. AC=6,・\\ AO=3,・\\RtABAO 屮，BO=5, •・•四边形BEDF是矩形，・・・OE=OB=5,・・・点E在OA的延长线上，且AE=2.
0
考点：1.平行四边形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的性质. （视频:D
19. 如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F,连结BE. （1） 如图①：求证ZAFD=ZEBC；
（2） 如图②，若DE=EC且BE丄AF,求ZDAB的度数；
（3） 若ZDAB=90°且当ABEF为等腰三角形时，求ZEFB的度数（只写岀条件与对应的结果）
【解析】试题分析：（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE9ABCE （SAS）,即可得出答案； （2） 利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得岀ZDAB的度数；
（3） 利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出①当F在AB延长线上时，以及②当F在线段AB上时, 别求出即可.
试题解析：（1） I四边形ABCD为菱形， ・•・ DC=CB,
在ADCE和ABCE中，
(DC = CB
ZDCE = ^BCE , 〔EC = EC
AADCE^ABCE (SAS), ・・・ZEDC=ZEBC, TDC〃AB,
分AZEDC=ZAFD, AZAFD=ZEBC； (2) VDE=EC, AZEDC=ZECD,
设 Z EDC= Z ECD= ZCBE=x°,则 ZCBF=2x°, 由 BE丄 AF 得：2x+x=90°, 解得：x=30°,
・・・ ZDAB=ZCBF=60°； (3) 分两种情况：
①如图1,当F在AB延长线上时，
VZEBF为钝角，
・•・只能是 BE=BF,设ZBEF=ZBFE=x。, 可通过三角形内角形为180。得：解得：x=30, ・•・ ZEFB=30°；
② 如图2,当F在线段AB±时，
・・・只能是 FE=FB,设ZBEF=ZEBF=x°,则有ZAFD=2x°, 可证得：ZAFD=ZFDC=ZCBE, 得 x+2x=90, 解得：x=30,
90+x+x+x=180, AZEFB=120°,
综上：ZEFB=30°或 120°. 考点：四边形综合题.
视频L) 20. 如图，在矩形ABCD中，E, F分别为AD, BC的中点，连结AF, DF, BE, CE, AF与BE交于G, DF 与CE交于H.求证：四边形EGFH为菱形
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF,BEDF是平行四边 形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH,EG与的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据 三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论. 试题解析:・・•在矩形ABCD中AD=BC,且EF分別是AD,BC的中点，
:・AE=DE=BF二CF,
又 ：AD//BC9 ・・・四边形AECFfBEDF是平行四边形，
9:.GF//EH,EG//FH, ・・・四边形EGFH是平行四边形， /乙 AEG = /»FBG 在ZUEG 和△FBG 中，乙EAG = ZBFG ,
AE = BF
:•MEGQ'FBG (AAS), :.EG=GBAG=GF, 在/XABE■和△B4F 中，
{ AE = BF vkEAB = ZABF,
I AB = AB
•••△ABE竺△BAF (SAS),
:.AF=BE,
・・• EG=GB=^BEAG=GF=^\\F, :.EG=GF, ・・・四边形EGFH是菱形.
21. 如图，已知AABC,按如下步骤作图：
① 分别以A, C为圆心，大于*AC的长为半径画弧，两弧交于P, Q两点; ② 作直线PQ,分别交AB, AC于点E, D,连接CE； ③ 过C作CF〃AB交PQ于点F,连接AF. （1） 求证：ZkAED竺ZXCFD； （2） 求证：四边形AECF是菱形.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】试题分析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE, AD=CD,然后根据 CF〃AB得到ZEAOZFCA, ZCFD二ZAED,利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等到AE=CF,然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EOEA, FOFA,从而得到 EC=EA=FC=FA,利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形 试题解析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线， AAE=CE, AD=CD, ・.・CF〃AB
AZEAC=ZFCA, ZCFD=ZAED, 在厶AED与厶CFD屮,
/ZE AC = ZFCA
AD = CD
l 乙 CFD =乙 AED AAAED^ACFD； (2) VAAED^ACFD, AAE=CF,
VEF为线段AC的垂直平分线, ・・・EC=EA, FC=FA, AEC=EA=FC=FA,
・・・四边形AECF为菱形
22. 如图.在△ ABC 中，ZACB=90。，CD 丄 AB 于 D, AE 平分 ZBAC,分别于 BC、CD 交于 E、F, EH 丄 AB 于H.连接FH,求证：四边形CFHE是菱形.
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：求出CE=EH, AC=AH,证厶CAF^AHAF,推dJZACD=ZAHF,求出
ZB=ZACD=ZFHA,推出HF〃CE,推出CF〃EH,得出平行四边形CFHE,根据菱形判定推出即可。
23. 如图，口ABCD中，点0是AC与BD的交点，过点0的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F. (1) 求证：AAOE竺ACOF；
(2) 请连接EC、AF,则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由・
【答案】(1)证明见解析；(2)当EF二AC时，四边形AECF是矩形，理由见解析 【解析】试题分析：(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可。
(2)连接EC、AF,则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四
边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明。
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