减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如: (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧: Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法)
=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号)
=(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合) =-49+41 (运用加法法则一进行运算) =-8 (运用加法法则二进行运算)
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Ⅱ.把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法)
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号)
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合) =4-10+3.8 (运用加法法则进行运算)
=7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算) =-2.2 (得出结论) Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)
313217-+-+- 524528321137原式=(--)+(-+)+(+-)
5522481=-1+0-
81=-1
8-Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)
312)+(-3)-(-10)-(+1.25) 48313121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)
8483413121=+3-3+10-1 8483431112=(3-1)+(-3)+10
4488312=2-3+10 231=-3+13
61=10
6 (+0.125)-(-3
Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
1671+10-12+4 51122151761原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)
5151122411=-1++
1522815=-1++
30307 =- 30-3
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69
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原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ.先拆项后结合
(1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8…+100) 原式=1-2+3-4+5-6+…+99-100 =-1-1-1…-1 =-50
有理数的乘除法
法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三) 法则二:任何数同0相乘,都得0;
法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·说a和
1=1(a≠0),就是a111互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。 aaa1;倒数是本a互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a≠0,那么a的倒数是身的数是±1;若ab=1 a、b互为倒数;若ab=-1 a、b互为负倒数.
注意:①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置; ③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质); ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,即无意义.
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
a0有理数的乘方
1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 a 中,a 叫做底数,n 叫做指数。
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(1)a是重要的非负数,即a≥0;若a+|b|=0 a=0,b=0;
0.120.01211(2)据规律 2底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位
10100
222
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数;注意:当n为正奇数时: (-a)=-a或(a -b)=-(b-a) ,
当n为正偶数时: (-a) =a
n
n
nnnn
或 (a-b)=(b-a) .
nn
(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序: 1.先乘方,再乘除,最后加减; 2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
科学记数法
把一个大于10的数表示成 a10的形式(其中1a10, n是正整数),这种记数法是科学记数法
n近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位. 有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字. 混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减;注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重
要的原则.
特殊值法:是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.
用字母表示数(代数初步知识)
1. 代数式:用运算符号“+ - × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意:
用字母表示数有一定的限制,首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式;用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如n,-1,2n+500,abc。 2. 代数式书写规范:
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘,或省略不写; (2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“· ”乘,也不能省略乘号; (3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a; 13(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如a×1应写成a;
22(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成现除式时,用分数表示;
3的形式;出a(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,
写做a-b和b-a .
(7)若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来。 3.几个重要的代数式:(m、n表示整数)
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(1)a与b的平方差是: a-b ; a与b差的平方是:(a-b) ;
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是: 10a+b ,则三位整数是:100a+10b+c;
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是: 5m+n ;偶数是:2n ,奇数是:2n+1;三个连
续整数是: n-1、n、n+1 ;
(4)若b>0,则正数是:a+b ,负数是: -a-b ,非负数是: a,非正数是:-a.
2
2
2
2
222
单项式:表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数:单项式中的数字因数;单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和
多项式:几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。 多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。 注意:(若a、b、c、p、q是常数)ax+bx+c和x+px+q是常见的两个二次三项式.
整式:单项式和多项式统称为整式,即凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为:整式注意:分母上含有字母的不是整式。
2
2
单项式多项式 .
7.多项式的升幂和降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列
起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.
合并同类项
同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。 合并同类项的步骤:(1)准确的找出同类项;(2)运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起;(3)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变;(4)写出合并后的结果。 去括号
去括号的法则:
(1)括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号都不变; (2)括号前面是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项的符号都要改变。
添括号法则:添括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,括
号里的各项都要变号.
整式的加减:进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项;整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并.
整式加减的步骤:(1)列出代数式;(2)去括号;(3)添括号(4)合并同类项。
一元一次方程
等式与等量:用“=”号连接而成的式子叫等式.注意:“等量就能代入”! 等式的性质:
等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式; 等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式.
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方程:含未知数的等式,叫方程.
一元一次方程的概念:只含有一个未知数(元)(含未知数项的系数不是零)且未知数的指数是1(次)的整式方程叫做一元一次方程。一般形式: ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).最简形式: ax=b(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)
1注意:未知数在分母中时,它的次数不能看成是1次。如3x,它不是一元一次方程。
x解一元一次方程
方程的解:能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解;注意:“方程的解就能代入”验算! 解方程:求方程的解的过程叫做解方程。 等式的性质:(1)等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式; (2)等式两边都乘或除以同一个不等于0的数,所得结果仍是等式。
移项:方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项。
移项的依据:移项实际上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质1;移项的作用:移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移,使左边对含未知数的项合并,右边对常数项合并。 注意:移项时要跨越“=”号,移过的项一定要变号。
系数化为1:实际上就是对方程两边同时乘除,根据是等式的性质2。
解一元一次方程的一般步骤:整理方程、去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1;(检验方程的解)。
注意:去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用,去掉分母后,若分子是多项式,要加括号。
解下列方程:(1)4x342x;(2)4x3(20x)6x7(9x);(3)0.1x0.2x13 0.020.5x15xx1;(4)3263用方程解决问题
列一元一次方程解应用题的基本步骤:审清题意、设未知数(元)、列出方程、解方程、写出答案。关
键在于抓住问题中的有关数量的相等关系,列出方程。
解决问题的策略:利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系 列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:………… 多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程. (2)画图分析法: ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础. 实际问题的常见类型:
路程路程,速度= 速度时间(单位:路程——米、千米;时间——秒、分、时;速度——米/秒、米/分、千米/小时)
(1)行程问题:路程=时间×速度,时间=
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(2)工程问题:工作总量=工作时间×工作效率, 工作效率工作总量 ;
工作时间工作时间工作总量;工作总量=各部分工作量的和;
工作效率利润,售价=标价×(1-折扣); 进价售价成本1(4)商品价格问题: 售价=定价·折· ,利润=售价-成本, 利润率100%;
成本10(3)利润问题:利润=售价-进价,利润率=
(5)利息问题:本息和=本金+利息;利息=本金×利率 (6)比率问题: 部分=全体·比率 比率部分部分 全体; 全体比率(7)顺逆流问题: 顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(8)等积变形问题:长方体的体积=长×宽×高;圆柱的体积=底面积×高;锻造前的体积=锻造后的体积
(9)周长、面积、体积问题:C圆=2πR,S圆=πR,C长方形=2(a+b),S长方形=ab, C正方形=4a,
2
1222322
S正方形=a,S环形=π(R-r),V长方体=abc ,V正方体=a,V圆柱=πRh ,V圆锥=πRh.
3走进图形世界
1、 几何图形:
现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形,叫做几何图形
从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。长方体、正方体、球、
圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。
平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。
立体图形与平面图形:许多立体图形是由一些平面图形围成的,将它们适当地剪开,就可以展开成平面图形。
2、点、线、面、体 (1)几何图形的组成
点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。 线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。 面:包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:几何体也简称体。长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。
包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。面和面相交的地方形成线;线和线相交的地方是点;几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、生活中的立体图形 圆柱 柱体
棱柱:三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、……
生活中的立体图形 球体
(按名称分) 圆锥
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椎体
棱锥
4、棱柱及其有关概念:
棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。 侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面,n个侧面,共(n+2)个面;3n条棱,n条侧棱;2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等,棱柱的上下两个底面是相同的多边形,直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形,也有可能是平行四边形。 5、正方体的平面展开图:11种
6、截一个正方体:用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图:从正面看到的图,叫做主视图。 左视图:从左面看到的图,叫做左视图。 俯视图:从上面看到的图,叫做俯视图。
平面图形的认识
线段,射线,直线 名称 线段 射线 直线 不同点 延伸性 不能延伸 只能向一方延伸 可向两方无限延伸 端点数 2 1 无 联系 线段向一方延长就成射线,向两方延长就成直线 共同点 都是直的线 点、直线、射线和线段的表示 在几何里,我们常用字母表示图形:
(1)一个点可以用一个大写字母表示,如点A
(2)一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示,如直线l,或者直线AB (3)一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面),如射线l,射线AB
(4)一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示,如线段l,线段AB
点和直线的位置关系有两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点。 ②点在直线外,或者说直线不经过这个点。 线段的性质
(1)线段公理:两点之间的所有连线中,线段最短。
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(2)两点之间的距离:两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。 (3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 (5) 线段的中点:
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。
M是线段AB的中点
A
M
B
AM=BM=
1AB(或者AB=2AM=2BM) 2直线的性质
(1)直线公理:经过两个点有且只有一条直线。 (2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。 (4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
经过两点有一条直线,并且只有一条直线;两点确定一条直线;点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点。类似的还有线段的三等分点、四等分点等。
直线上一点和它一旁的部分叫做射线;两点的所有连线中,线段最短。简单说成:两点之间,线段最短。
角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做这个角的边。或:角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角:一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所形成的角叫做平角。终边继续旋转,当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角。
角的表示:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
用一副三角板,可以画出15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,165°
角的度量
角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”;度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角360等分,每一份就是一度的角,记作1°; 把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”;
1°=60’,1’=60”
把1’ 的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””; 角的性质
(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 (2)角的大小可以度量,可以比较
(3)角可以参与运算。
A 角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这
B 条射线叫做这个角的平分线。类似的,还有叫的三等分线。
OB平分∠AOC
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∠AOB=∠BOC=
1∠AOC(或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC) 2
余角和补角
如果两个角的和是一个直角等于90°,这两个角叫做互为余角,简称互余,其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°,那么∠α与∠β互余;反过来,如果∠α与∠β互余,那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角等于180°,这两个角叫做互为补角,简称互补,其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°,那么∠α与∠β互补;反过来如果∠α与∠β互补,那么∠α+∠β=180°
③同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等。
对顶角
① 一对角,如果它们的顶点重合,两条边互为反向延长线,我们把这样的两个角叫做互为对顶角,其
中一个角叫做另一个角的对顶角。
注意:对顶角是成对出现的,它们有公共的顶点;只有两条直线相交时才能形成对顶角。 ②对顶角的性质:对顶角相等
如图,∠1和∠4是对顶角,∠2和∠3是对顶角 ∠1=∠4,∠2=∠3 2
1 4
3
平行线:
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
注意:(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。 平行线公理及其推论
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 补充平行线的判定方法:
(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。 (3)平行线的定义。 垂直:
两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。
垂线的性质:
性质1:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
点到直线的距离:过A点作l的垂线,垂足为B点,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
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同一平面内,两条直线的位置关系:相交或平行。
图形知识结构图:
从不同方向看立体图形 立体图形 展开立体图形 几何图形 平面图形 角的度量 角 角的大小比较 余角和补角 角的平分线 同角(等角)的余角相等; 同角(等角)的补角相等 等角的余角相等 平面图形 平面图形 直线、射线、线段
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