一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；
（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；
（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围； （4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值． 【答案】 （1）解：y=2x+1中k=2＞0， ∴y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9． ∵y= 中k=2＞0，
∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．
∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1， ∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19
（2）解：令y= ≤2， 解得：x＜0或x≥1．
∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1
（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0
（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1， 解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1， 解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1， 整理得：2m2﹣15m+29=0．
∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．
∴m的值为1或3． ①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；
【解析】【分析】（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= ≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=
无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，于是得到结论；（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．
2．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（
，
），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．
（1）若点 P（2，b）是反比例函数 例函数解析式； （2）⊙O的半径是
，
①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；
②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数 MN⊥l ， 求出m的取值范围．
【答案】 （1）解：∵P（2，b）是梦之点，∴b=2 ∴P（2，2） 将P（2，2）代入 ∴反比例函数解析式是
中得n=4
图象上异于点P的梦之点，过点
(n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比
Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或
（2）解：①设⊙O上梦之点坐标是（ ， ）∴ =1或 =-1
∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1） ②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2）
∴
由已知MN∥l或MN⊥l
∴直线MN为y=-x+b或y=x+b 当MN为y=-x+b时，m=b-3
由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时， 且切点在第四象限时，b取得最小值， 此时MN记为
，
其中 为切点， 为直线与y轴的交点 ∵△O 为等要直角三角形， ∴O = ∴O =2
∴b的最小值是-2， ∴m的最小值是-5
当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时， b取得最大值，此时MN记为 其中 为切点， 为直线 ∴m的取值范围为-5≤m≤-1． 当直线MN为y=x+b时，
同理可得，m的取值范围为1≤m≤5， 综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5
【解析】【分析】（1）由“ 梦之点 ”的定义可得出b的值，就可得出点P的坐标，再将点P的坐标代入函数解析式，求出n的值，即可得出反比例函数的解析式。
，
与y轴的交点。
同理可得，b的最大值为2，m的最大值为-1．
（2） ①设⊙O上梦之点坐标是（a，a ）根据已知圆的半径，利用勾股定理建立关于a的方程，求出方程的解，就可得出 ⊙O上的所有梦之点的坐标 ； ② 由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2） ，由已知 直线MN∥l或MN⊥l ， 就可得出直线MN的解析式为y=-x+b或y=x+b。分两种情况讨论： 当MN为y=-x+b时，m=b-3，当直线MN平移至与⊙O相切时， 且切点在第四象限时，b取得最小值， 当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，b的最大值为2，m的最大值为-1，就可得出m的取值范围， 当直线MN为y=x+b时， 同理可得出m的取值范围。
3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）s（mm2）的反比例函数，其图象如图．
（1）写出y与s的函数关系式；
（2）求当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是多少m？ 【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y= ， 将x=4，y=32代入上式， 解得：k=4×32=128， 故y=
．
答：y与x的函数关系式y= （2）解：当x=3.2时，y=
=40．
答：当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是40米
【解析】【分析】（1）根据图象可设出关系式，再把一个点的坐标代入可求出关系式； （2）把x=3.2代入关系式可求出y的值，即得答案.
4．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与双曲线
相交于点
A（ ，6）和点B（-3， ），直线AB与 轴交于点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求
的值．
，∴m=1，n=-2，
【答案】（1）解：∵点A（ ，6）和点B（-3， ）在双曲线 ∴点A（1，6），点B（-3，-2）， 将点A、B代入直线 ∴直线AB的表达式为：
，得
，解得
，
（2）解：分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N，
则∠AMO＝∠BNO＝90°，AM=1，BN=3， ∴AM//BN，∴△ACM∽△BCN， ∴
【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值，利用待定系数法求一次函数的表达式；作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论．
5．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
（1）分别判断函数y=x-1，y=x-1,y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度； （2）函数y=2x2-bx.
①若其不变长度为零，求b的值； ②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1 ， 将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2 ， 函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为________.
【答案】（1）解：函数y=x-1没有不变值；
∵函数 ∵函数
有-1和1两个不变值， 有0和1两个不变值，
∴其不变长度为2； ∴其不变长度为1；
（2）解：①
函数y=2x2-bx的不变长度为0，
方程2x2-bx=x有两个相等的实数根， ∴△=（b+1）2=0，
b=-1， ②∵2x2-bx=x， ∴
1≤b≤3， 1≤ ≤2，
函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围为1≤q≤2.
，
（3）1≤m≤3或m<-
【解析】【解答】解（3）依题可得：函数G的图像关于x=m对称， ∴函数G：y=
当x2-2x=x时，即x（x-3）=0， ∴x3=0，x4=3，
当（2m-x）2-2（2m-x）=x时， 即x2+（1-4m）x+（4m2-4m）=0， ∴△=（1-4m）2-4×（4m2-4m）=1+8m， 当△=1+8m
0时，即m
- ， 此方程无解，
，
∴q=x4-x3=3-0=3； 当△=1+8m∴x5=①当-∴x6
0，
m
0时，即m
， x6=0时，
- ， 此方程有解，
，
∵x3=0，x4=3，
∴x4-x6∴m=1，
3（不符合题意，舍去），
②∵当x5=x4时， 当x6=x3时， ∴m=3， 当0此时0∴q=x4-x6当1此时0∴q=x4-x6当m此时x5∴q=x5-x6
mx5mx5
1时， x4 ， x63（舍去）； 3时， x4 ， x63（舍去）；
0， 0，
x3=0（舍去），x4=3，
x3=0（舍去），x4=3，
3时， 3，x6
0，
x3=0（舍去），x4=3（舍去），
3（舍去）；
m
3或m < - ，
、函
综上所述：m的取值范围为：1
【分析】（1）根据题目定义即可得出函数y=x-1没有不变值；再分别求出函数 数
的不变值，从而求出其不变长度.
（2）① 由已知条件得方程2x2-bx=x有两个相等的实数根，即根的判别式△=（b+1）2=0，从而求出 b=-1；
②由题意得2x2-bx=x，求出方程的根，再根据1≤b≤3，即可求出 函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围.
（3）依题可得：函数G的图像关于x=m对称，分情况讨论写出函数G的解析式，根据定义和一元二次方程求出值，再分情况讨论即可得出答案.
6．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上， ∴a=﹣1+3=2， ∴点A（1，2）．
∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上， ∴k=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为y= ．
联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：
，解得：
∴点B（2，1）
，
，
（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．
∵点B、B′关于x轴对称， ∴PB=PB′．
∵点A、P、B′三点共线， ∴此时PA+PB取最小值．
设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0）， 将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，
，解得：
，
∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5． 当y=﹣3x+5=0时，x= ，
∴满足条件的点P的坐标为（ ，0）．
【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB
取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
7．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).
（1）填空：正方形的面积为________；当双曲线 时，k的取值范围是________. （2）已知抛物线L： 点E，F，过点B的双曲线
(a>0)顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于
(k≠0)与边DC交于点N.
(k≠0)与正方形ABCD有四个交点
①点Q(m，-m2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标.
②当点F在点N下方，AE=NF，点P不与B，C两点重合时，求 ③求证：抛物线L与直线
的交点M始终位于 轴下方.
【答案】 （1）36；0 的值. 当m=-1， 最大=4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4） 当m<-1时， 随m的增大而增大，当m=-2时， 最小=3， 当m>-1时， 随m的增大而减小，当m=4时， 最小=-21， 3>-21，∴ 最小=-21，点Q在最低位置时的坐标（4，-21） ∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4），最低位置时的坐标为（4，-21） ②将点B（-2，-2）代入双曲线得 N点横坐标x=4，代入 得 ，∴k=4，∴反比例函数解析式为 ，∴N（4，1） ，BP= ，CP= 可得 由顶点P（m，n）在边BC上，∴ E点横坐标x=-2，F点横坐标x=4，分别代入抛物线 E ∴BE= ，F ，CF= ， ， ∴ 又∵AE=NF，点F在点N下方， ∴ 化简得 ③由题意得，M ∵二次函数 ∴当m=1时， 取得最小值为 当 或4时， 最大为 ，∴ ， 对称轴为m=1， ， ， ， ， ， ， 当m=4时，抛物线L为 E点横坐标为-2，代入抛物线得 F点横坐标为x=4，代入抛物线得 ∵E点在AB边上，且此时不与B重合， ∴ ∴ 当 同理可得E ，解得 ，∴ 时，抛物线L为 ，F ，∴E ，∴ ∵F在CD边上，且此时不与C重合 ∴ ∴ ，解得 ，∴ ， 综上，抛物线L与直线x=1的交点始终位于x轴的下方. 【解析】【解答】（1）解：由点A（-2，4），B（-2，-2）可知正方形的边长为6， ∴正方形面积为36； 当反比例函数在一、三象限时，若经过B（-2，-2）则 过D(4,4)，则 ，根据图像特征，要有4个交点，则0 当反比例函数在二、四象限时，若经过A(-2,4)则 2)则 综上，k的取值范围是0 ， 分 ， 和 分别讨论Q点符合条件的坐标；②将点B（-2，-2） 代入双曲线，可求k=4和N（4，1），再表示出点E ，可推出 BE= ，CF= ，再根据 ，进而可求 的值；③由题意得，M ，当m=1时， 最小为 时， 最大为 ，当 ，当 AE=NF 和F ， 可推出 ， 或4 ，再分别讨论当m=4时,根据E点不与B点重合，列出不等式可得 时， F点不与C点重合列出不等式可得 ，即可得证. 、 两点，与 8．如图1，抛物线 轴交于点 ，顶点为点 ． 与 轴交于 （1）求这条抛物线的解析式及直线 的解析式； （2） 段 围； （3）在线段 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐 标；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）解：∵抛物线 两点， ∴ 解得： ， ， ， ， ， 与 轴交于 、 上一动点（点 不与点 、 重合），过点 向 轴引垂线，垂足为 ，设 的面积为 ．求 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范 的长为 ，四边形 ∴二次函数的解析式为 ∵ ∴ 设直线 的解析式为 则有 ， 解得： ， ， ， ， ， ， ∵ 为线段 上一动点（点 不与点 、 重合）， ∴ 的取值范围是 ． ∴直线 的解析式为 （2）解：∵ ∴点 的坐标为 ∴ 轴， （3）解：线段 角形； ， ①当 解得 此时 ②当 解得 此时 ③当 解得 （1） 时， ，此时 ． ， ；（2） ， 时， ， ， 时， ， ， （舍去）， ， （舍去）， ， ， ， 上存在点 ， ， 使 为等腰三 的取值范围是 ；（3） 或 或 【解析】【分析】（1）将A、B俩点代入抛物线解析式即可求出M的坐标，再设直线 的解析式为 可得点 的坐标为 ， 代入M的值计算即可.（2）由已知 ，再根据 轴， ， 即可求得t的值. （3）存在，根据等腰三角形的性质，分情况进行解答即可. 9．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts， （1）当t=2时，求△PBQ的面积； （2）当t= 时，试说明△DPQ是直角三角形； （3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由. 【答案】 （1）解：当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4， ∴BP=AB-AP=4， ∴△PBQ的面积= ×4×4=8； （2）解：当t= 时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9， ∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25，PQ2=PB2+BQ2=29.25，DQ2=CD2+CQ2=117， ∵PQ2+DQ2=DP2 ， ∴∠DQP=90°， ∴△DPQ是直角三角形. （3）解：设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O. 设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x）， ∵DC∥BO， ∴∠C=∠QBO，∠CDQ=∠O， ∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12-x， ∴ ，即 ， ， 解得：BO= ∴AO=AB+BO=6+ ∵∠ADP=∠ODP， ∴12：DO=AP：PO， 代入解得x=0.75， ∴DP能平分∠ADQ， ∵点Q的速度为2cm/s， ∴P停止后Q往B走的路程为（6-0.75）=5.25cm. ∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s. ， 【解析】【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出 AP=t=2，BQ=2t=4， 所以BP=4,进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案； （2）当t= 时，根据路程等于速度乘以时间得出AP=1.5，BQ=3，故PB=4.5，CQ=9， 根据勾股定理表示出DP2,PQ2,DQ2,从而根据勾股定理的逆定理判断出∠DQP=90°， △DPQ是直角三角形； （3） 设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O ， 设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x）， 判断出 △CDQ∽△BOQ， 根据全等三角形的对应边成比例得出 ，根据比例式可以用含x的式子表示出BO的长，根据角平分线的性质定理得出 12：DO=AP：PO， 根据比例式求出x的值，从而即可解决问题. 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ ， 将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN ， 延长QN交直线CD于点M ． （1）求证：MC＝MQ （2）当BQ＝1时，求DM的长； （3）过点D作DE⊥CQ ， 垂足为点E ， 直线QN与直线DE交于点F ， 且 BQ的长． 【答案】 （1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC AB 即∠MCQ=∠CQB， ∵△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN ∴∠CQN=∠CQB， 即∠MCQ=∠MQC， ∴MC=MQ． ，求 （2）解：∵四边形ABCD是矩形，△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN， ∴∠CNM=∠B=90°， 设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x， 在Rt△CNM中，MB2=BN2+MN2 ， 即（x+6）2=42+（x+5）2 ， 解得：x= ， ∴DM= ， ∴DM的长2.5． （3）解：解：分两种情况： ①当点M在CD延长线上时，如图所示： 由（1）得∠MCQ=∠MQC， ∵DE⊥CQ， ∴∠CDE=∠F， 又∵∠CDE=∠FDM， ∴∠FDM=∠F， ∴MD=MF． 过M点作MH⊥DF于H，则DF=2DH， 又 ∴ ， ， ∵DE⊥CQ MH⊥DF， ∴∠MHD=∠DEC=90°， ∴△MHD∽△DEC ∴ ∴MN＝ ∴BQ＝NQ＝ 或2． ， ∴DM=1，MC=MQ=7， ②当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2． 综上所述，BQ的长为 【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=90°，AB=CD=6，CD∥AB，得出∠MCQ=∠CQB，由折叠的性质得出△CBQ≌△CNQ，求出BC=NC=4，NQ=BQ=1，∠CNQ=∠B=90°，∠CQN=∠CQB，得出∠CNM=90°，∠MCQ=∠CQN，证出MC=MQ．（2）设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，在Rt△CNM中，由勾股定理得出方程，解方程即 可．（3）分两种情况：①当点M在CD延长线上时，由（1）得：∠MCQ=∠CQM，证出∠FDM=∠F，得出MD=MF，过M作MH⊥DF于H，则DF=2DH，证明△MHD∽△CED，得出 ，求出MD= CD=1，MC=MQ=7，由勾股定理得出MN即可解决问题． ②当点M在CD边上时，同①得出BQ=2即可． 11．小明利用函数与不等式的关系，对形如 的不等式的解法进行了探究． ( 为正整数) （1）下面是小明的探究过程，请补充完整： ①对于不等式 的范围 的符号 + ﹣ 的解集为 ． 的图象可以得到如表 ，观察函数 的图象可以得到如表格： 由表格可知不等式 ②对于不等式 表格： 的范围 的符号 + ﹣ + ，观察函数 的解集为________． ，请根据已描出的点画出函数 由表格可知不等式 ③对于不等式 (x+1)的图象； 观察函数 的范围 的符号 + …… ﹣ ________ 的图象补全下面的表格： 的解集为________． ( 为正整数) ________ 由表格可知不等式 小明将上述探究过程总结如下：对于解形如 的不等式，先将 按从大到小的顺序排列，再划分 的范围，然后通过列表格的 办法，可以发现表格中 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集． （2）请你参考小明的方法，解决下列问题： ①不等式 ②不等式 【答案】 （1）（2） ， 故答案为： 当 时， 或 ；③当 时， ， 的解集为 或 的解集为 故答案为： 解集为 故答案为： 或 或 或 且 且 或 ， 或 或 ， ；(2)①不等式 或 ， 的 ， 或 或 或 ；+；-； ； 的解集为________． 的解集为________． 或 或 且 的解集为 或 【解析】【解答】(1)②由表格可知不等式 由表格可知不等式 故答案为：+，﹣， ；②不等式 【分析】根据题意可知在表格中写出相应的函数值的正负性，借此来判断相应的不等式的解集.（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集． 12．已知：抛物线y＝﹣mx2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且开口向上 （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围________； （3）点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D ， 作AB⊥x轴于点B ， DC⊥x轴于点C ． 当BC＝1时，求出矩形ABCD的周长． 【答案】 （1）解：∵y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点， ∴0＝0+0+m2﹣1，即m2﹣1＝0 解得m＝±1． 又∵开口向上， ∴﹣m＞0， ∴m＜0， ∴m＝﹣1， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x ． （2）﹣ ≤y＜4 （3）解：如图， ∵BC＝1，B、C关于对称轴对称， ∴B（1，0），C（2，0）， ∵AB⊥x轴，DC⊥x轴， ∴A（1，﹣2），D（2，﹣2）， ∴AB＝DC＝2，BC＝AD＝1， ∴四边形ABCD的周长为6， 当BC＝1时，矩形的周长为6． 【解析】【解答】解：（2）∵y＝x2﹣3x═（x﹣ ）2﹣ ， ∴x＝ 时，y最小值为﹣ ， x＝0时，y＝0， x＝4时，y＝4， ∴0＜x＜4时，﹣ ≤y＜4． 故答案为﹣ ≤y＜4． 【分析】（1）把（0，0）代入抛物线解析式求出m的值，再根据开口方向确定m的值即可．（2）求出函数最小值以及x＝0或4是的y的值，由此即可判断．（3）由BC＝1，B、C关于对称轴对称，推出B（，1，0），C（2，0），由AB⊥x轴，DC⊥x轴，推出A（1，﹣2），D（2，﹣2），求出AB ， 即可解决问题． 13．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交 反比例函数图象于点C，连接OB． （1）求k和b的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC= S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和 b=5，k=4 得：4=﹣1+b，4= ，解得： （2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1 （3）解：过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴， 由（1）知，b=5，k=4， ∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为： ，解得：x=4，或x=1， 由 ∴B（4，1）， ∴ ∵ ∴ ， ， ， 过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t）， ∴S△PAC= OP（CD+AE）=|t|=3， OP•CD+ OP•AE= 解得：t=3，t=﹣3， ∴P（0，3）或P（0，﹣3）． 【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为： 1），于是得到 件得到 列方程 ，求得B（4， ，由已知条 ，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据 三角形的面积公式列方程即可得到结论． 14．如图，在平面直角坐标系中抛物线 C， A、B两点横坐标为-1和3，C点纵坐标为-4. 交x轴于点A、B，交y轴于点 （1）求抛物线的解析式； （2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求D点坐标，并求△BCD面积的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC=45°，如果存在，求出点Q的坐标，不存在说明理由. 【答案】 （1）解：由图像可知：A，B，C，三点的坐标分别是（-1，0），（3，0）， （0，-4）， 将A，B，C三点坐标代入抛物线 得： ，解之得： ； ∴抛物线的解析式为： （2）解：如图，作DH垂直AB于H， 设D点坐标为（x，y）， 则有：OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，HB=3-x， ∴梯形CDHO为直角梯形， ∴ 即： 又∵D点在抛物线 ∴ ∴当 时，△BCD面积有最大值，是 ， 上， ∴ 所以D点坐标为：（ ，-5） （3）解：由函数关系式： 化简得： ∴对称轴为： ， 如图示：作出对称轴 ，交x轴于F点，连接CB，交对称轴于E点， ∴由B，C，的坐标分别是（3，0），（0，-4），设BC的函数解析式为：则： ，解之得： ∴BC的函数解析式为： ，当 时， ， ∴E点坐标为：（1， ）， ∴BF=2，FE= ， ∴ ， 即： ∴存在一点Q，使得∠QBC=45°，并且点Q在FE之间， 设Q点坐标为：（1， ） ∴ ， ， ∵直线BQ和BC的交角为 ， ， ∴ 即： 化简得： ， ） ，即可求出； ∴Q点坐标为：（1， 【解析】【分析】（1）将A，B，C三点坐标代入抛物线 （2）作DH垂直AB于H，设D点坐标为（x，y），则有OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，由 ， 关系式： 化简得对称轴为 ，化简即可出；（3）由函数 ，作出对称轴 ，交x轴于F点， 连接CB，交对称轴于E点，求出BC的函数解析式，则可以知道E点坐标为：（1， ），所以存在一点Q，使得∠QBC=45°，并且点Q在FE之间，设Q点坐标为：（1， ），求出线段 的斜率 ，线段 的斜率 ，利用两直线相交交角为 ，得到 ，化简即可。 15．如图，已知一次函数y=﹣ x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B. （1）求线段AB的长度； （2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N. ①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标； ②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标. 【答案】 （1）解：当x=0时，y=4， ∴A（0，4）， ∴OA=4， 当y=0时，- x+4=0， x=3， ∴B（3，0）， ∴OB=3， 由勾股定理得：AB=5 （2）解：①如图1，过N作NH⊥y轴于H，过M作ME⊥y轴于E， tan∠OAB= ∴M（3x，-4x+4）， 由旋转得：AM=AN，∠MAN=90°， ∴∠EAM+∠HAN=90°， ∵∠EAM+∠AME=90°， ∴∠HAN=∠AME， ∵∠AHN=∠AEM=90°， ∴△AHN≌△MEA， ∴AH=EM=3x， ∵⊙N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NG⊥x轴， ∴NG=OH， 则5x=3x+4， 2x=4， ， ∴设EM=3x，AE=4x，则AM=5x， x=2， ∴M（6，-4）； ②如图2，由①知N（8，10）， ∵AN=DN，A（0，4）， ∴D（16，16）， 设直线DM：y=kx+b， 把D（16，16）和M（6，-4）代入得： ， 解得： ， ∴直线DM的解析式为：y=2x-16， ∵直线DM交x轴于E， ∴当y=0时，2x-16=0， x=8， ∴E（8，0）， 由①知：⊙N与x轴相切，切点为G，且G（8，0）， ∴E与切点G重合， ∵∠QAP=∠OAB=∠DCE， ∴△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应， 分两种情况： i）当△DCE∽△QAP时，如图2，∠AQP=∠NDE， ∵∠QNA=∠DNF， ∴∠NFD=∠QAN=90°， ∵AO∥NE， ∴△ACO∽△NCE， ∴ ， ∴ ∴CO= ， 连接BN， ∴AB=BE=5， ， ∵∠BAN=∠BEN=90°， ∴∠ANB=∠ENB， ∵EN=ND， ∴∠NDE=∠NED， ∵∠CNE=∠NDE+∠NED， ∴∠ANB=∠NDE， ∴BN∥DE， Rt△ABN中，BN= sin∠ANB=∠NDE= ∴ ∴NF=2 ∴DF=4 ， ， ， ， ， ∵∠QNA=∠DNF， ∴tan∠QNA=tan∠DNF= ∴ ， ， ∴AQ=20， ∵tan∠QAH=tan∠OAB= ∴5x=20， x=4， ∴QH=3x=12，AH=16， ∴Q（-12，20）， 同理易得：直线NQ的解析式：y=- x+14， ∴P（0，14）； ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3， ， 设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x， ∴∠APN=∠CDE， ∵∠ANB=∠CDE， ∵AP∥NG， ∴∠APN=∠PNE， ∴∠APN=∠PNE=∠ANB， ∴B与Q重合， ∴AN=AP=10， ∴OP=AP-OA=10-4=6， ∴P（0，-6）； 综上所述，△APQ与△CDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，-6） 【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB的长度；（2）①根据同角的三角函数得：tan∠OAB= 得x的值，计算M的坐标即可； ②如图2，先计算E与G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论： i）当△DCE∽△QAP时，证明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO= tan∠QNA=tan∠DNF= ，AQ=20，则tan∠QAH=tan∠OAB= ，根据三角函数得： ，设QH=3x， ，设EM=3x，AE=4x，则 AM=5x，得M（3x，-4x+4），证明△AHN≌△MEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可 AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）； ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容