万柏林区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若A．C．2． 在区域A．0 3． 在
,则
A．
中，角
，则下列不等式一定成立的是（ ） B．
D．
22
内任意取一点P（x，y），则x+y＜1的概率是（ ）
B．、
等于（ ）
B．
、
C． D．、
、
依次成等差数列，且
，
所对应的边分别为、、，若角
C．
D．2
4． 设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A．m⊥α，m⊥β，则α∥β B．m∥n，m⊥α，则n⊥α C．m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．m∥α，α∩β=n，则m∥n
5． 已知 m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β C．若m⊥α，n⊥α，则 m∥n D．若 m∥α，m∥β，则 α∥β
6． 设函数f（x）=
A．（﹣3，1）∪（3，+∞） ﹣3）∪（1，3）
7． 设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a﹣5|，9}，∁UA={5，7}，则实数a的值是（ ） A．2 A．0.1
B．8
C．﹣2或8 D．2或8
B．0.2
C．0.3
D．0.4
8． 如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（ ）
则不等式f（x）＞f（1）的解集是（ ）
B．（﹣3，1）∪（2，+∞）
C．（﹣1，1）∪（3，+∞）
D．（﹣∞，
ax2x,x09． 已知f(x)，若不等式f(x2)f(x)对一切xR恒成立，则a的最大值为（ ）
2x, x0第 1 页，共 16 页
精选高中模拟试卷
A．
7911 B． C． D． 161624
10．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（ ）
A．{， } B．{，， } C．{V|≤V≤} D．{V|0＜V≤}
11．设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），
22
则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a|﹣a，且
函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤ C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2
12．点A是椭圆
上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为在此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 ．
14．如图，在三棱锥PABC中，PAPBPC，PAPB，PAPC，△PBC为等边三角形，则PC
的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都
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与平面ABC所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力． 15．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表
1 2 3 4 推销员编号 工作年限x/（年） 3 5 3 =
x+
10 7 14 12 年推销金额y/（万元）2 由表中数据算出线性回归方程为
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
16．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…，若从点O到点A3的回形线为第1圈（长为7），从点A3到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为 ．
17．设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是 ．
18．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
三、解答题
19．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为 （1）求|MF|+|NF|的值；
，
（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．
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20．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （1）当a=2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设a＞，且当x∈[，a]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
21．求同时满足下列两个条件的所有复数z： ①z+
是实数，且1＜z+
≤6；
②z的实部和虚部都是整数．
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22．已知椭圆E：E上．
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
，点（
，
）在椭圆
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．
23．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，
.若
,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 A[B[C[D[
24．已知f（
）=﹣x﹣1．
] ] ]
]
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（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
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万柏林区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数故选D
答案：D
2． 【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）， 分析可得区域
表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
=
为减函数且
，所以
，排除B，
，
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为
22
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x+y＜1的概率是
=
；
故选C．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
3． 【答案】C
【解析】 因为角
、
、
由余弦定理知
依次成等差数列，所以
，即
，解得
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所以
答案：C
4． 【答案】D
， 故选C
【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β； B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；
C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m； 故选D．
D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
5． 【答案】C
【解析】解：对于A，若 m∥α，n∥α，则 m与n相交、平行或者异面；故A错误； 对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B错误； 对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m∥n；故C正确； 对于D，若 m∥α，m∥β，则 α与β可能相交；故D错误； 故选C．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
6． 【答案】A
【解析】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3 如果x＜0 则 x+6＞3可得 x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．
2
如果 x≥0 有x﹣4x+6＞3可得x＞3或 0≤x＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞） 故选A．
7． 【答案】D
【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3， ∴a=2，或a=8， 故选 D．
8． 【答案】A
【解析】解：如果随机变量ξ～N（﹣1，σ），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，
2
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∵P（﹣3≤ξ≤﹣1） =∴
∴P（ξ≥1）=
．
【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．
9． 【答案】C
【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．
当a0（如图1）、a0（如图2）时，不等式不可能恒成立；当a0时，如图3，直线y2(x2)与函数yax2x图象相切时，a观察图象可得a10．【答案】D
【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；
2
当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×1×2=；
891，切点横坐标为，函数yax2x图象经过点(2,0)时，a，
32161，选C． 2当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体； 所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}． 故选：D．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．
11．【答案】 B
【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数， 当x≥0时， f（x）=|x﹣a2|﹣a2=
图象如图，
2
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a，要满足f（x+l）≥f（x），
1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），
22
∴1≥3a﹣（﹣a），
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∴﹣≤a≤ 故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．
12．【答案】B
【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则 S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r， ∵
∴|AF1|r=2
×|F1F2|r﹣|AF2|r，
|F1F2|．∴a=2=
．
， ，
整理，得|AF1|+|AF2|=2∴椭圆的离心率e==故选：B．
二、填空题
13．【答案】 2 ．
【解析】解：如图所示， 连接A1C1，B1D1，相交于点O． 则点O为球心，OA=
．
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设正方体的边长为x，则A1O=
x．
+x2=
，
在Rt△OAA1中，由勾股定理可得：解得x=
．
∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=故答案为：2
．
=2．
14．【答案】 【
21 7解
析
】
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15．【答案】
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8， =（2+3+7+12）=6， 代入回归方程，可得a=﹣当x=8时，y=
，
万元． ，所以
=
x﹣
，
．
估计他的年推销金额为故答案为：
．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
16．【答案】 63 ．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7 第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23 …
第n圈长为：n+（2n﹣1）+2n+2n+n=8n﹣1 故n=8时，第8圈的长为63， 故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
17．【答案】
．
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22
【解析】解：∵f（x）=cosx+sinx=1﹣sinx+sinx=﹣
+，
故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为， 故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．
18．【答案】 2 ．
【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5， 解得x=3， ∴此组数据的方差∴此组数据的标准差S=故答案为：2
．
[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8， =2
．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+， ∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；
2
（2）p=2时，y=4x，
若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；
若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则
22
代入利用点差法，可得y1﹣y2=4（x1﹣x2）
∴kMN=，
∴直线MN的方程为y﹣t=（x﹣3）， ∴B的横坐标为x=3﹣
，
222
直线MN代入y=4x，可得y﹣2ty+2t﹣12=0
△＞0可得0＜t＜12，
2
∴x=3﹣∈（﹣3，3），
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∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3）．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）由|2x﹣1|+|2x+2|＜x+3，得： ①
得x∈∅； 得0＜x≤；
②
③得…
…
综上：不等式f（x）＜g（x）的解集为（2）∵a＞，x∈[，a]， ∴f（x）=4x+a﹣1…
由f（x）≤g（x）得：3x≤4﹣a，即x≤依题意：[，a]⊆（﹣∞，∴a≤
即a≤1…
]
．
∴a的取值范围是（，1]…
21．【答案】 【解析】解：设z+解方程得 z=
±
=t，则 z2﹣tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2﹣40＜0，
i．
又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6， 故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i．
22．【答案】 【解析】解：（1）由题得=
，
=1，又a2=b2+c2，
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22
解得a=8，b=4．
．
=0， =k，
∴椭圆方程为：
（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴两式相减得
∵P是AB中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1， ∴直线l：x+y﹣3=0． 力与计算能力，属于中档题．
23．【答案】B 【解析】
当x≥0时，
，
=1，
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。 ∴当x＞0时，
∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，
。 。
∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：故实数a的取值范围是24．【答案】
。
。
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【解析】解：（1）令t=∴f（t）=∴f（x）=
， （x≠1）…
，则x=，
（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=
，
∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…
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