江西南昌八年级下学期期中数学试题(解析版)

江西省南昌市2018—2019学年统考初二下数学期中测试卷

一．选择题

1.下列各式中，一定是二次根式的是( ) A.

a1

B.

a1 C.

a21

D.

a21 【答案】D 【解析】 【分析】

根据二次根式的定义判断即可．

【详解】A、当a＜-1时，a1不是二次根式； B、当a＜1时，a1不是二次根式； C、当-1＜a＜1时，a21不是二次根式； D、a21是二次根式； 故选：D．

【点睛】此题考查二次根式的定义，解题关键在于掌握形如a（a≥0）的式子叫做二次根式． 2.计算A. 2 【答案】A 【解析】 【分析】

先判断被开方数中底数的负号，再根据底数的符号及二次根式a2的性质就可得到答案. 【详解】判断被开方数中底数的负号, 再根据底数的符号及二次根式a2的性质得

22的结果是（ ）

B. 2

C. 2或2

D. 4

22=—|-2|=2

故选A.

【点睛】本题考查二次根的性质与化简，熟练掌握计算法则是解题关键. 3.如图，在四边形ABCD中，ABCD，BCAD，若A135，则B度数为( )

A. 45 【答案】A 【解析】 【分析】

B. 55 C. 90 D. 135

证明四边形ABCD是平行四边形，得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠A+∠B=180°，即可得出答案． 【详解】∵AB=CD，BC=AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°， -135°=45°∴∠B=180°； 故选：A．

【点睛】此题考查平行四边形的判定以及平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．

4.直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的中线长是( ) A. 4.8 【答案】B 【解析】 【分析】

利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】两条直角边的边长分别为6和8， 根据勾股定理得，斜边=6282=10， 所以，斜边上的中线的长=故选：B．

【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键．

5.设2a,10b，用含a、b的式子表示20，下列表示正确的是( ) A. 2a

B. 2b

C. a+b

D. ab

B. 5

C. 10

D. 24

1×10=5． 2

【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用二次根式的性质变形得出答案． 【详解】∵2a,10b， ∴20210=ab． 故选：D．

【点睛】此题考查算术平方根，正确将二次根式变形是解题关键．

6.如图， 点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(2,1)，有一点C在x轴上移动， 则点C到A、B两点的距离之和的最小值为( )

A. 32 【答案】A 【解析】 【分析】

B. 4 C. 3

D. 42 作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，则线段A′B的长即为点C到A、B两点的距离之和的最小值．

【详解】作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，

∵A（-1，2）， ∴A′（-1，-2）， ∵B（2，1），

∴A′B=(21)2(12)232． 故选：A．

【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，会利用勾股定理计算出线段是解题的关键． 7.三角形的三边长为(ab)2c22ab，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】

利用完全平方公式把等式变形为a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理即可判断三角形为直角三角形，可得答案． 【详解】∵(ab)c2ab， ∴a2+2ab+b2=c2+2ab， ∴a2+b2=c2，

∴这个三角形是直角三角形， 故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．

，③AC=BD，④AC⊥BD8.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB=BC，②∠ABC=90°中，再选两个做为补充，使▱ABCD变为正方形．下面四种组合，错误的是（ ）

22B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

A. ①② 【答案】C 【解析】

B. ①③ C. ②③ D. ②④

【详解】解：A. 由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

B. 由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形

ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

C. 由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；

D. 由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意． 故选C．

二．填空题

9.若二次根式x3有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x3 【解析】 【分析】

根据负数没有平方根求出x的范围即可.

【详解】解：由二次根式x3有意义，得到x-3≥0，解得：x≥3，故答案为x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键. 10.若x21,y21,则x2y的值是________________

【答案】2 +1． 【解析】 【分析】

将x2y变形为xy•x，然后将x和y的值代入求解即可． 【详解】∵x21,y21,

∴xy=（2+1）（2−1)=2-1=1， ∴x2y=xy•x=1×(2+1)=2 +1． 故答案为：2 +1． 【点睛】此题考查二次根式简求值．

11.如图，在四边形ABCD中，对角线ACBD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，若

化简求值，解题的关键在于对原式进行恰当的变形并熟练掌握二次根式的化

AC8,BD6，则四边形EFGH的面积是_________．

【答案】12 【解析】 【分析】

根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．

【详解】∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ∴HG//AC且HG111AC，EH//BD且EHBD，FG//BD且FGBD，

222∴EH//FG且EHFG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵ACBD，∴EHHG， ∴平行四边形EFGH是矩形， ∴四边形EFGH的面积为HGEH1111ACBD8612． 2222【点睛】此题考查矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解题关键在于先判断四边形EFGH是矩形. 12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ACB30，则AOB的大小为______ ．

【答案】60 【解析】 【分析】

根据矩形的性质，可得∠ABC的度数，OA与OB的关系，根据等边三角形的判定和性质，可得答案． ． 【详解】∵ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠BAO=90°﹣∠ACB=60°． ∵∠ACB=30°

∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°． ． 故答案为60°

【点睛】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出∠ABC的度数是解答本题的关键．

13.如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____．

【答案】4. 【解析】

试题分析：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x， ∵D是BC的中点，∴BD=3，

222在Rt△ABC中，x3(9x)，解得x=4．故线段BN的长为4．故答案为4．

考点：翻折变换（折叠问题）．

14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为(10,0)、C的坐标为(0,4)，点D是OA的

中点，点P在BC边上运动，当ODP是以腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________________．

的

【答案】（2，4）或（3，4）或（8，4）； 【解析】 【分析】

当△ODP是腰长为5等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论． 【详解】由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况： ①如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

的

在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=PD2PE25242=3， ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点P坐标为（2，4）； ②如答图②所示，OP=OD=5．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△POE中，由勾股定理得：OE=OP2PE25242=3， ∴此时点P坐标为（3，4）；

③如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=PD2PE25242=3， ∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为（8，4）．

综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）； 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；

【点睛】此题参考坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于分类讨论符合题意的等腰三角形的三种情形，注意不要遗漏．

三．解答题

15.（1）计算：111232 23

21（2）计算：483 221【答案】（1）-2；（2）3． 【解析】 【分析】

（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）先利用二次根式的除法法则运算，再分母有理化和利用负整数指数的意义计算，然后合并即可． 【详解】（1）原式=3（32）=332 =-2；

（2）原式=483（21）2 =4-2-1+2 =3．

【点睛】此题参考二次根式的混合运算，解题关键在于掌握先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 16.先化简，再求值：1xx2，其中x=4． 32x2xx2【答案】【解析】 分析】

1x ，．

2x先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】原式=xx2

x(x2)(x2)22x(x2)2•=2

x(x2)x2=1x ， xx当x=4时，

原式=

21=． 42【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 17.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a18,b32,c50 （1）求证：C90；

（2）当三角形的面积与正方形的面积相等时，求正方形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）83． 【解析】 【分析】

（1）计算a2+b2、c2的值相等即可说明∠C=90°； （2）设正方形的边长为x，则有x2＝

1ab，用a、b表示出x即可． 2【详解】证明：（1）∵a2+b2＝(18)2(32)2＝(50 )2＝c2， ∴∠C=90°．

（2）解：设正方形的边长为x，则有x2＝∴x＝1ab＝23 ． 21ab， 2∴正方形的周长是4x=83．

【点睛】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 18.如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的大矩形，其中小矩形的长为2，宽为1，请用无刻度的直尺在矩形中完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，画出一个面积为5的正方形；

（2）在图2中，画出一个面积为4的非特殊的平行四边形．

【答案】见解析 【解析】 【分析】

（1）直接利用正方形的判定方法得出答案； （2）直接利用平行四边形的判定方法得出答案． 【详解】（1）如图正方形ABCD；

（2）如图平行四边形EFGH

．

【点睛】此题考查应用设计与作图，正确掌握平行四边形以及正方形的判定方法是解题关键．

四．解答题

19.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分BED． （1）BEC是否为等腰三角形？请给出证明； （2）若AB2，ABE45，求BC的长．

【答案】（1）△BEC为等腰三角形；理由见解析；（2）22． 【解析】 【分析】

（1）由矩形的性质得出∠A=90°，AD∥BC，证出∠BCE=∠CED，再由已知条件得出∠BCE=∠BEC，即可得出△BEC是等腰三角形；

（2）根据勾股定理可求BE的长，即可求BC的长． 【详解】（1）△BEC为等腰三角形；理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，AD∥BC， ∴∠BCE=∠CED， ∵EC平分∠BED， ∴∠BEC=∠CED， ∴∠BCE=∠BEC， ∴BC=BE，

即△BEC是等腰三角形；

（2）在矩形ABCD中，∠A=90°，且∠ABE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=AB=2， ∴BE=AE2AB222，

由（1）知BC=BE， ∴BC=22．

【点睛】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．

20.如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E． （1）求证：四边形BCED′是菱形；

（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）7． 【解析】 【分析】

（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到结论；

（2）由四边形DAD′E是平行四边形，得到▱DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=勾股定理即可得到结论．

【详解】解：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处， ∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E， ∵DE∥AD′， ∴∠DEA=∠EAD′，

∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA， ∴∠DAD′=∠DED′，

∴四边形DAD′E是平行四边形， ∴DE=AD′，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC， ∴CE=D′B，CE∥D′B， ∴四边形BCED′是平行四边形； ∵AD=AD′， ∴▱DAD′E是菱形，

（2）∵四边形DAD′E是菱形， ∴D与D′关于AE对称，

连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值， 过D作DG⊥BA于G， ∵CD∥AB，

∴∠DAG=∠CDA=60°，

13，DG=，根据22

∵AD=1， ∴AG=

13，DG=， 22∴BG=

5， 2∴BD=DG2BG2=7， ∴PD′+PB的最小值为7．

【点睛】本题考查四边形综合，掌握相关性质和定理正确推理论证是解题关键．

21.如图，RtABC中，ACB90，BC3，AC4，D是AC中点，CE//BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒． （1）求AB与CE间的距离；

（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形； （3）当PF=4时，求t的值

【答案】（1）2.4；（2）2.5；（3）1.8； 【解析】 【分析】

（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据面积的不同表示方法，可得答案； （2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；

（3）根据已知条件判定△CDF≌△ADP，即可得出AP=CF，进而得到四边形APCF为平行四边形，依据AC=PF，即可得到四边形APCF为矩形．再根据勾股定理即可得到PB的长，进而得出t=1.8． 【详解】（1）在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，

∴AC＝AB2BC2=5232＝4． 如图，过C作CH⊥AB于H，则由得CH＝

AC•BC43＝ ＝2.4． AB511AB•CH＝AC•BC， 22∵CE∥AB，

∴AB与CE之间的距离为2.4． （2）∵CE∥AB，

∴当PF∥BC时，四边形PBCF是平行四边形． ∵D为AC的中点， ∴P为AB的中点． ∴t=PB=

1AB=2.5． 2（3）∵CE∥AB，

∴∠DCF=∠DAP，∠DFC=∠DPA． ∵D为AC的中点， ∴CD=AD，

∴△CDF≌△ADP（AAS）． ∴AP=CF，

∴四边形APCF为平行四边形． ∵AC=4，PF=4． ∴AC=PF．

∴四边形APCF为矩形． ∴CP⊥AB．

在Rt△CPB中，CP=2.4，BC=3， ∴PB＝BC2CP2＝322.42＝1.8． ∴t=1.8．

【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

五、探究题

22.已知ABC中，ABAC．

（1）如图1，在ADE中，若ADAE，且DAEBAC，求证：CDBE；

（2）如图2，在ADE中，若DAE=BAC=60，且CD垂直平分AE，AD3，CD4，求BD的长；

（3）如图3，在ADE中，当BD垂直平分AE于H，且BAC2ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2=BD2+4AH2，证明见解析； 【解析】 【分析】

（1）求出∠DAC=∠BAE，再利用“边角边”证明△ACD和△ABE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）连接BE，先求出△ADE是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得∠BEA=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，再利用勾股定理列式进行计算即可得解； （3）过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，先求出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB=EF，设∠AEF=x，∠AED=y，根据平行四边形的邻角互补与等腰三角形的性质求出∠CAD，从而得到∠CAD=∠FED，然后利用“边角边”证明△ACD和△EFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】（1）如图1，证明：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE， 即∠DAC=∠BAE． 在△ACD与△ABE中，

AD＝AEDAC＝BAE， AC＝AB∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴CD=BE；

（2）如图2，连接BE， ∵CD垂直平分AE ∴AD=DE， ∵∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形， ∴∠CDA=

1160°=30°∠ADE=×，

22∵△ABE≌△ACD，

∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°， ∴BE⊥DE，DE=AD=3， ∴BD=5；

（3）如图3，过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF， 则四边形ABFE是平行四边形， ∴AB=EF，

设∠AEF=x，∠AED=y， 则∠FED=x+y，

-x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°-2y， ∠BAE=180°

-∠BAC-∠BAE-∠EAD=360°-（180°-2y）-（180°-x）-y=x+y， ∠CAD=360°∴∠FED=∠CAD， 在△ACD和△EFD中，

AC＝FEFED＝CAD ， AD＝ED∴△ACD≌△EFD（SAS）， ∴CD=DF， 而BD2+BF2=DF2， ∴CD2=BD2+4AH2．

【点睛】此题参考勾股定理，全等三角形的判定与 性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

的性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，作辅助线构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键．