自动控制原理习题问题详解3

第三章 线性系统的时域分析与校正

习题及答案

3-1 已知系统脉冲响应

k(t)0.0125e1.25t

试求系统闭环传递函数(s)。

解 (s)Lk(t)0.0125/(s1.25) 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程

•Tc(t)c(t)r(t)r(t)

近似描述，其中，0(T)1。试证系统的动态性能指标为 td0.693ln•TT

T tr2.2T ts3ln(TT)T 解 设单位阶跃输入R(s)当初始条件为0时有： 1 sC(s)s1 R(s)Ts11T Ts1ssTs1Tt/TC(t)h(t)1e

TC(s)1) 当 ttd 时 h(t)0.51

s11Ttd/te T1Ttd/TTtde ; ln2ln 2TTT TtdTln2ln

T

2) 求tr（即c(t)从0.1到0.9所需时间)

TTt2/T)ln0.1] ; t2T[ln(eTTTTt1/T)ln0.9] 当 h(t)0.11; t1T[ln(eTT0.92.2T 则 trt2t1Tln0.1 当 h(t)0.913) 求 ts

h(ts)0.951Tts/T eTtsT[lnTTTln0.05]T[lnln20]T[3ln] TTT3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益K2，调节时间ts0.4s，试确定参数K1,K2的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数

1K1K1K2s(s)

K1K2sK1K2s11KKs12令闭环增益K12， 得：K20.5 K230.4，得：K115。 K1K2令调节时间ts3T3-4 在许多化学过程中，反应槽的温度要保持恒定， 图3-46（a）和（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。

（1） 若r(t)1(t)，n(t)0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时

间？

（2） 当有阶跃扰动n(t)0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a）系统： Ga(s)K1， 时间常数 T10 10s110s1 h(T)0.632 （a）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；

10010100对（a）系统：b(s) 101， 时间常数 T10110s10110s1101 h(T)0.632 （b）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a）系统： Gn(s)C(s)1 N(s)n(t)0.1时，该扰动影响将一直保持。

对（b）系统： n(s)C(s)N(s)110s1 10010s101110s110.001。 101n(t)0.1时，最终扰动影响为0.13-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如图3-47）和所测数据,并假设传递函数为

G(s)可求得K和a的值。

(s)K V(s)s(sa)若实测结果是：加10V电压可得1200rmin的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s，试求电机传递函数。

提示：注意

(s)Kd，其中(t)V(s)sadt，单位是rads

解 依题意有： v(t)10 （伏） ()1200240 （弧度/秒） （1）

60(s)K V(s)sas0 (1.2)0.5()20 （弧度/秒） （2） 设系统传递函数 G0(s)应有 ()limsG0(s)V(s)limss010K10K40 （3） ssaa (t)L1G0(s)V(s)L1由式（2），（3） (1.2)10K10K11110KL1eat aassas(sa)10K1e1.2a401e1.2a20 a1.2a得 1e解出 a0.5

ln0.50.5776 （4） 1.2将式（4）代入式（3）得 K4a7.2586

3-6 单位反馈系统的开环传递函数G(s)4，求单位阶跃响应h(t)和调节时间

s(s5)ts 。

解：依题，系统闭环传递函数

(s)442s5s4(s1)(s4)4(s11)(s)T1T2 T11

T20.25

C(s)(s)R(s)CCC4012

s(s1)(s4)ss1s4 C0lims(s)R(s)lims041

s0(s1)(s4)44

s(s4)341

s(s1)3 C1lim(s1)(s)R(s)lims1s0 C2lim(s4)(s)R(s)lims4s041h(t)1ete4t

33

tsT14， tsT13.3T13.3。 T2T13-7 设角速度指示随动系统结构图如图3-48所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，

且调节时间尽可能短，问开环增益K应取何值，调节时间ts是多少？

解 依题意应取 1，这时可设闭环极点为1,21T0。 写出系统闭环传递函数

(s)闭环特征多项式

10K

s210s10K12s D(s)s10s10KT0122ss T0T0222T100比较系数有  联立求解得 2110KT0T00.2 K2.5

因此有 ts4.75T00.951

3-8 给定典型二阶系统的设计指标：超调量

%5%，调节时间 ts3s，峰值时间tp1s，

试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。

解 依题

%5%， 0.707(45)；

ts3.53， n1.17；

n tp12n1， 12n3.14

综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解3-8所示。

3-9 电子心脏起博器心律控制系统结构图如题3-49图所示，其中模仿心脏的传递函数

相当于一纯积分环节。

（1） 若0.5对应最佳响应，问起博器增益K应取多大？

（2） 若期望心速为60次/min，并突然接通起博器，问1s钟后实际心速为多少？瞬时最

大心速多大？

解 依题，系统传递函数为

K2n0.05(s)2 21Ks2nsns2s0.050.05Kn0.05 10.052nK20令 0.5可解出 

20n将 t1s代入二阶系统阶跃响应公式

h(t)1ent12sin12nt

可得 h(1)1.000024次s60.00145次min

0.5时，系统超调量 %16.3%，最大心速为

h(tp）10.1631.163次s69.78次min

3-10 机器人控制系统结构图如图3-50所示。试确定参数K1,K2值，使系统阶跃响应的峰值时间tp0.5s，超调量%2%。

解 依题，系统传递函数为

K12KnK1s(s1) (s) 2K1(K2s1)s2(1K1K2)sK1s22nsn1s(s1)oe120.02o由  联立求解得

tp0.512n比较(s)分母系数得

0.78 10n

K1n21002n1  K20.146K13-11 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图3-51所示。试确定系统的闭环传递函数。 解 依题，系统闭环传递函数形式应为

K.2n (s)22s2nsn由阶跃响应曲线有：

h(）lims(s)R(s)lims(s)s0s01K2 st2p2n1 

2oe12.5225ooo2联立求解得 0.404

n1.71721.71725.9所以有 (s)2 22s20.4041.717s1.717s1.39s2.953-12 设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)12.5

s(0.2s1)(0)1作用下的时间响应。 试求系统在误差初条件e(0)10,e解 依题意，系统闭环传递函数为 (s)C(s)G(s)62.52 R(s)1G(s)s5s62.5当r(t)0时，系统微分方程为

c(t)5c(t)62.5c(t)0 考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换

整理得 s

sC(s)sc(0)c(0)5sC(s)c(0)62.5C(s)0

225s62.5C(s)s5c(0)c(0) （1）

对单位反馈系统有 e(t)r(t)c(t)， 所以

c(0)r(0)e(0）01010

c(0)r(0)e(0)011将初始条件代入式（1）得 C(s)10s5110(s2.5)26

s25s62.5(s2.5)27.52(s2.5)7.53.47

(s2.5)27.52(s2.5)27.522.5t 10 c(t)10ecos7.5t3.47e2.5tsin7.5t10.6e2.5tsin(7.5t70.8)

3-13 设图3-52（a）所示系统的单位阶跃响应如图3-52（b）所示。试确定系统参数

K1,K2和a。

解 由系统阶跃响应曲线有

h()3 tp0.1

oo(43)333.3oo系统闭环传递函数为

2K2nK1K2 (s)2 （1） 22sasK1s2nsnt0.1p2由  联立求解得 1no12e33.3ooo2K1n1108由式（1）

a2n220.33 33.28n另外 h()lims(s)s0KK1lim212K23 3-14 图3-53所示是电压ss0sasK1测量系统，输入电压et(t)伏，输出位移y(t)厘米，放大器增益K10，丝杠每转螺距1mm，电位计滑臂每移动1厘米电压增量为0.4V。当对电机加10V阶跃电压时（带负载）稳态转速为1000rmin，达到该值63.2%需要0.5s。画出系统方框图，求出

传递函数Y(s)/E(s)，并求系统单位阶跃响应的峰值时间tp、超调量态值h()。

解 依题意可列出环节传递函数如下 比较点： E(s)Et(s)F(s) V 放大器：

oo、调节时间st和稳

Ua(s)K10 E(s)1000Km53(s)1060电动机： r/s/V

Ua(s)Tms10.5s10.5s1

丝杠：

Y(s)K10.1 cm/r (s)F(s)K20.4 V/cm Y(s)电位器：

画出系统结构图如图解3-14所示

系统传递函数为

2nY(s)33(s) 

24Et(s)0.866s22s2n3 tp 101n1225.44

ooe0.433oo

ts3.5n3.5

h()lims(s)s012.5 s3-15 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。

（1）D(s)s2s2s4s11s100

5432（2）D(s)s3s12s24s32s480

5432

（3）D(s)s2ss20

54（4）D(s)s2s24s48s25s500

5432解（1）D(s)s2s2s4s11s10=0

5432Routh： S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3  6 S2 412 10 S 6 S0 10

第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）D(s)s3s12s24s32s48=0

5432Routh： S5 1 12 32

S4 3 24 48

31224323484 16 0 3342431612 48 S2

41216448 S 0 0 辅助方程 12s2480,

12 S3

S 24 辅助方程求导：24s0 S0 48

系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s1,2j2。 （3）D(s)s2ss20

54Routh： S5 1 0 -1

S4 2 0 -2 辅助方程 2s420

3 S3 8 0 辅助方程求导 8s0

S2  -2

S 16

S0 -2

第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2s20可解出：

4 2s22(s1)(s1)(sj)(sj)

4 D(s)s2ss2(s2)(s1)(s1)(sj)(sj)

54（4）D(s)s2s24s48s25s500

5432Routh： S5 1 24 -25

S4 2 48 -50 辅助方程 2s448s2500

3 S3 8 96 辅助方程求导 8s96s0

S2 24 -50 S 338/3

S0 -50

第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2s48s500可解出：

42 2s48s502(s1)(s1)(sj5)(sj5)

42D(s)s52s424s348s225s50(s2)(s1)(s1)(sj5)(sj5)

3-16 图3-54是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图，试确定使系统稳定的K值围。

解 由结构图，系统开环传递函数为：

K(4s22s1) G(s)32

s(ss4)5432开环增益KkK4 系统型别v3 D(s)ss4s4Ks2KsK0 Routh： S5 1 4 2K S4 1 4K K

S3 4(1K) K K1

S2 (1516K)K K 4(1K)K16151.067

232K47K16 S 0.536K0.933

4(1K) S0 K K0

使系统稳定的K值围是： 0.536K0.933。

3-17 单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)K

s(s3)(s5)要求系统特征根的实部不大于1，试确定开环增益的取值围。

解 系统开环增益 KkK15。特征方程为： D(s)s8s15sK0

32做代换 ss1 有：

D(s)(s1)38(s1)215(s1)Ks35s22s(K8)0

Routh ： S3 1 2 S2 5 K-8 S 18K 5K18

S0 K8 使系统稳定的开环增益围为：

K8

8K18Kk 。 1515153-18 单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)K(s1)

s(Ts1)(2s1)试在满足 T0,K1的条件下，确定使系统稳定的T和K的取值围，并以T和K为坐标画出使系统稳定的参数区域图。

解 特征方程为：

D(s)2Ts(2T)s(1K)sK0

32Routh ： S3 2T 1K T0

S2 2T K T2 S 1K2TK T22T4 K1S0 K 综合所得条件，当K1 时，使系统稳定的参数取值 围如图解3-18中阴影部所示。

K0

3-19 图3-55是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统，其目的在于获得希望的辐射水平，增益4.4就是石墨棒位置和辐射水平的变换系数，辐射传感器的时间常数为0.1秒，直流增益为1，设控制器传递函数Gc(s)1。

（1） 求使系统稳定的功率放大器增益K的取值围； （2） 设K20，传感器的传递函数H(s)的取值围。

解 （1）当控制器传递函数Gc(s)1时 (s)1（不一定是0.1），求使系统稳定的s1C(s)2.64K(0.1s1) R(s)s(s6)(0.1s1)2.64K32 D(s)s(s6)(s10)26.4Ks16s60s26.4K0

Routh:s3s2s111696026.4K1626.4K6026.4K0K36.36K0

s0 0K36.36

（2）K20，H(s) (s)

1时 s1C(s)52.8(s1) R(s)s(s6)(s1)52.8D(s)s(s6)(s1)52.8s3(61)s26s52.80

Routh:s3s2s1s061616.86152.8652.800.1670.357

 00.357

3-20 图3-56是船舶横摇镇定系统结构图，引入环速度反馈是为了增加船只的阻尼。

（1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数

(s)MN(s)；

（2） 为保证MN为单位阶跃时倾斜角的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求K2、

K1和K3应满足的方程；

（3） 取K2=1时，确定满足（2）中指标的K1和K3值。

解 （1）

0.52(s)0.5s0.2s12 0.5K2K3s0.5K1KaMN(s)s(0.20.5K2K3)s(10.5K1K2)122s0.2s1s0.2s1（2）令： ()limsMN(s)s01(s)0.5lims0.1

MN(s)s0sMN(s)10.5K1K2(s)n10.5K1K3得 K1K28。 由 有： ， 可得 0.20.5K2K30.5MN(s)2n(s)0.20.25K2K310.5K1K2

（3）K21 时，K18，0.20.25K35，可解出 K34.072。

3-21 温度计的传递函数为

1，用其测量容器的水温，1min才能显示出该温度的Ts198%的数值。若加热容器使水温按10ºC/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？

解法一 依题意，温度计闭环传递函数

(s)1 Ts1由一阶系统阶跃响应特性可知：h(4T)98oo，因此有 4T1min，得出 T0.25min。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为

G(s)(s)1

1(s)TsK1T v11010T2.5C。 K用静态误差系数法，当r(t)10t 时，ess解法二 依题意，系统误差定义为 e(t)r(t)c(t)，应有 e(s)E(s)C(s)1Ts11 R(s)R(s)Ts1Ts1

esslimse(s)R(s)limss0s0Ts1010T2.5C Ts1s23-22 系统结构图如图3-57所示。试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。

解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为 G(s)10(2s1)

s2(s1)KplimG(s)

sKvlimsG(s)

s0Kalims2G(s)10

s0局部反馈加入后，系统开环传递函数为

102s1s(s110(2s1)） G(s)

20ss(s2s20)1（s1）KplimG(s)

s0KvlimsG(s)0.5

s0Kalims2G(s)0

s03-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)7(s1) 2s(s4)(s2s2)2试分别求出当输入信号r(t)1(t),t和t时系统的稳态误差[e(t)r(t)c(t)]。

解 G(s)7(s1) 2s(s4)(s2s2)K78 v1由静态误差系数法

r(t)1(t)时， ess0

A8r(t)t时， ess1.14

K7r(t)t2时， ess

3-24 系统结构图如图3-58所示。已知r(t)n1(t)n2(t)1(t)，试分别计算

r(t),n1(t)和n2(t)作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的

稳态误差的影响。

解 G(s)K

s(T1s1)(T2s1)K v1r(t)1(t)时， essr0；

1s(T2s1)(T1s1)E(s)en1(s)

KN1(s)s(T1s1)(T2s1)K1s(T1s1)(T2s1)n1(t)1(t)时， essn1limsen1(s)N1(s)limsen1(s)s0s011 sK1(T2s1)s(T1s1)E(s)en2(s)

KN2(s)s(T1s1)(T2s1)K1s(T1s1)(T2s1)n2(t)1(t)时， essn2limsen1(s)N2(s)limsen2(s)s0s010 s在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干

扰因引起的稳态误差。

3-25 系统结构图如图3-59所示，要使系统对r(t)而言是II型的，试确定参数K0和的值。

K(s1)(T1s1)(T2s1)K(s1)解 G(s) K0K(s1)(T1s1)(T2s1)K0K(s1)1(T1s1)(T2s1) K(s1) 2T1T2s(T1T2K0K)s(1K0K)依题意应有：1K0K0 联立求解得

T1T2K0K0K01K T1T2此时系统开环传递函数为 G(s)K(T1T2)sK 2T1T2s考虑系统的稳定性，系统特征方程为

D(s)T1T2s2K(T1T2)sK0

当 T1，T2，K0时，系统稳定。

3-26 宇航员机动控制系统结构图如图3-60所示。其中控制器可以用增益K2来表示；

宇航员及其装备的总转动惯量I25kgm。

2（1） 当输入为斜坡信号r(t)tm时，试确定K3的取值，使系统稳态误差ess1cm；

（2） 采用（1）中的K3值，试确定K1,K2的取值，使系统超调量%限制在10%以。

解 （1）系统开环传递函数为

K1K2K1K2C(s)I G(s)

K1K2K3E(s)s(IsK1K2K3)s(s)Ir(t)t时，令 ess1KK3 v11K30.01， 可取 K30.01。 K（2）系统闭环传递函数为

K1K2C(s)I (s)

KKKKKR(s)s2123s12II由 ooK1K2nI KKK1232Ie1210oo，可解出 0.592。取 0.6进行设计。

K3K1K22I0.6表达式，可得

将I25，K30.01代入 K1K2360000

3-27 大型天线伺服系统结构图如图3-61所示，其中=0.707，n=15，=0.15s。

（1） 当干扰n(t)101(t)，输入r(t)0时，为保证系统的稳态误差小于0.01º，试确定

Ka的取值；

（2） 当系统开环工作（Ka=0），且输入r(t)0时，确定由干扰n(t)101(t)引起的系

统响应稳态值。

解 （1）干扰作用下系统的误差传递函数为

2n(s1)E(s) en(s) 22N(s)s(s1)(s22nsn)Kann(t)101(t)时， 令

essnlimsN(s)en(s)limss0s01010en(s)0.01 sKa得： Ka1000

（2）此时有

22n10n E(s)C(s) N(s)22222s(s2nsn)s(s2nsn) esse()limsE(s)

s03-28 单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)25

s(s5)2（1） 求各静态误差系数和r(t)12t0.5t时的稳态误差ess； （2） 当输入作用10s时的动态误差是多少？

解 （1）G(s)K525 

s(s5)v125

s(s5) KplimG(s)lims0s0255

s0s0s525sKalims2G(s)lim0

s0s0s5KvlimsG(s)lim

r1(t)1(t)时， ess110

1KpA20.4 Kv5A1 Ka0 r2(t)2t时， ess2r3(t)0.5t2时，ess3由叠加原理 essess1ess2ess3 （2） 题意有

e(s)1s(s5)2

1G(s)s5s25233用长除法可得 e(s)C0C1sC2sC3s0.2s0.008s

C00C10.2 r(t)1C20C30.008r(t)0 es(10)2.4

3-29 已知单位反馈系统的闭环传递函数为

r(t)12t0.5t2r(t)2t

 es(t)C0r(t)C1r(t)C2r(t)C3r(t)0.40.2t

(s)25s200 320.01s0.502s6s200输入r(t)520t10t，求动态误差表达式。

解 依题意

0.01s30.502s2s e(s)1(s)

0.01s30.502s26s200用长除法可得

e(s)C0C1sC2s2C3s30.05s0.00236s0.0000335s23

 es(t)0.005(2020t)0.00236200.1t0.1472。

3-30 控制系统结构图如图3-62所示。其中K1，K20，0。试分析： （1）值变化(增大)对系统稳定性的影响；

（2）值变化(增大)对动态性能（%，ts）的影响； （3）值变化(增大)对r(t)at作用下稳态误差的影响。

解 系统开环传递函数为

G(s)K1K2K1K21

sK2ss(sK2)KK1 v1K2 K1nK1K2K1K2 (s)2 K2sK2sK1K222K1K2 D(s)sK2sK1K2

2（1）由 D(s) 表达式可知，当0时系统不稳定，0时系统总是稳定的。

oo1K23.57 可知， （2）由  (01) ts2K1nK2（3）essaa KK13-31 设复合控制系统结构图如题3-31图所示。确定KC，使系统在r(t)t作用下无稳态误差。

解 系统误差传递函数为

K2K3KK)4Cs(sK2K3)(Ts1)K4KCE(s)ss(Ts1) e(s)3K2K3K1K2K4R(s)Ts(1TK2K3)s2K2K3sK1K2K412ss(Ts1)(1由劳斯判据，当 T、K1、K2、K3和K4均大于零，且(1TK2K3)K3TK1K4时，系统稳定。

令 esslimse(s)s0K2K3K4KC10 2K1K2K4s得 KCK2K3 K43-32 已知控制系统结构图如图3-64所示，试求：

（1） 按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数n(s)； （2） 当干扰n(t)1(t)时，系统的稳态输出；

（3） 若加入虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数，并求n(t)对输出c(t)稳态值影响最小的适合K值。 解 （1）无顺馈时，系统误差传递函数为 n(s)C(s)s5s52 N(s)(s1)(s5)20s6s25s0s0（2）cn()limsn(s)N(s)limsn(s)（3）有顺馈时，系统误差传递函数为

 s5120K1C(s)s1s25s520K

n(s)20N(s)s26s251(s1)(s5)令 cn()limsn(s)N(s)limsn(s)s0s0520K=0 s25得 K0.25

3-33 设复合校正控制系统结构图如图3-65所示，其中N(s)为可量测扰动。若要求系统输出C(s)完全不受N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置Gc1(s)和串联校正装置Gc2(s)。

解 （1）求Gc1(s)。令

K2KK1K2Gc1(s)11K2sK1K1Gc1(s)ss(Ts1)C(s)Ts1n(s)0K1K1K2Gc2(s)N(s)s(Ts1)K1(Ts1)K1K2Gc2(s)1ss(Ts1)得： Gc1(s)（2）求Gc2(s)。令

sK1。 K1K1(sK1)(Ts1）E(s)se(s)

K1K1K2Gc2(s)s(Ts1)K1(Ts1)K1K2Gc2(s)R(s)1ss(Ts1)1当r(t)1(t)作用时，令 esslimse(s)s0K11lim0 s0sK1K1K2Gc2(s)明显地，取 Gc2(s)1 可以达到目的。 s3-34 已知控制系统结构图如图3-66（a）所示，其单位阶跃响应如图3-66（b）所示，系统的稳态位置误差ess0。试确定K,v和T的值。

解 G(s)sa

sv(Ts1)KKa v待定由 r(t)1(t)时，ess0，可以判定：v1

K(sa)K(sa)sv(Ts1)v (s)

sas(Ts1)sa1vs(Ts1)D(s)Tsv1svsa

系统单位阶跃响应收敛，系统稳定，因此必有： v2。 根据单位阶跃响应曲线，有

h()lims(s)R(s)limss0s01K(sa)vK10 ss(Ts1)sasK(sa)Ks2aKs h(0)k(0)lims(s)limvlimv110 vsss(Ts1)sasTsssa当T0时，有

k(0)lim当T0时，有

KssTsv12K1010 可得 v1

T1K10Ksk(0)limv10 可得 v2

ssT023-35 复合控制系统结构图如图3-67所示，图中K1，K2，T1，T2均为大于零的常数。 （1） 确定当闭环系统稳定时，参数K1，K2，T1，T2应满足的条件； （2） 当输入r(t)V0t时，选择校正装置GC(s)，使得系统无稳态误差。

解 （1）系统误差传递函数

K2Gc(s)s(T1s1)(T2s1)K2Gc(s)(T1s1)s(T2s1)E(s) e(s) K1K2R(s)s(T1s1)(T2s1)K1K21s(T1s1)(T2s1)1 D(s)T1T2s(T1T2)ssK1K2 列劳斯表

32

s3s2s1s0T1T2T1T2T1T2T1T2K1K2T1T2K1K21K1K20

因 K1、K2、T1、T2 均大于零，所以只要 T1T2T1T2K1K2 即可满足稳定条件。 （2）令 esslimse(s)R(s)limss0s0V0s(T1s1)(T2s1)K2Gc(s)(T1s1) 2s(T1s1)(T2s1)K1K2slim可得

s0V0K1K2Gc(s)1K0 2sGc(s)sK2

3-36 设复合控制系统结构图如图3-68所示。图中Gc1(s)为前馈补偿装置的传递函数，

Gc2(s)Kts为测速发电机及分压电位器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通路环节的传

递函数，N(s)为可量测扰动。 如果G1(s)K1,G2(s)1s2，试确定

Gc1(s)、Gc2(s)和Ｋ1，使系统输出量完全

不受扰动的影响，且单位阶跃响应的超调量

%25%，峰值时间tp2s。

解 （1）确定Gc1(s)。由梅逊公式

2C(s)(1G1G2Gc2)Gc1G2sK1Gc2(s)Gc1(s)n(s)0 2N(s)1G1G2Gc2G1G2sK1Gc2(s)K1解得 Gc1(s)s2K1Gc2(s)s(sK1Kt)

（2）确定Kt。由梅逊公式 (s)G1G2C(s) R(s)1G1G2Gc2G1G22nK1 222sK1KtsK1s2nsn12oe0.252K1no比较有  由题目要求 

t2pK1Kt2nn122K1n2.9460.4032n可解得   K0.47n1.72tK1有 Gc2(s)Kts0.47s

Gc1(s)s(sK1Kt)s(s1.386)

3-37 已知系统结构图如图3-69所示。

（1） 求引起闭环系统临界稳定的K值和对应的振荡频率；

2（2） 当r(t)t时，要使系统稳态误差ess0.5，试确定满足要求的K值围。

解 （1）由系统结构图

2sE(s)s2(s1)s(s2)e(s)

2KR(s)s(s1)(s2)2K1s(s1)(s2)1D(s)s33s22s2K

系统稳定时有 D(j)0

ReD(j)322K0令  联立解出 3ImD(j)20（2）当 r(t)t 时，R(s)2K3 22 s32s2(s1)1esslimsR(s)e(s)lims3

s0s0ss(s1)(s2)2KK令 ess

3-38 系统结构图如图3-70所示。已知系统单位阶跃响应的超调量%16.3%，峰值时间tp1s。

（1） 求系统的开环传递函数G(s)； （2） 求系统的闭环传递函数(s)；

（3） 根据已知的性能指标%、tp确定系统参数K及； （4） 计算等速输入r(t)1.5t()s时系统的稳态误差。

1，有 K2，综合系统稳定性要求，得：2K3。 K51010Ks(s1) 解 （1） G(s)K

10ss(s101)1s(s1)n2G(s)10K22（2） (s) 21G(s)s(101)s10Ks2nsn

oe1216.3ooo（3）由  联立解出

tp121n2由（2） 10Kn3.63213.18，得出

0.53.63 n0.263K1.318。

（4）

KvlimsG(s)s010K13.183.63

101100.2631

essA1.50.413 Kv3.633-39 系统结构图如图3-71所示。 （1） 为确保系统稳定，如何取K值？

（2） 为使系统特征根全部位于s平面s1的左侧，K应取何值？ （3） 若r(t)2t2时，要求系统稳态误差ess0.25，K应取何值？ 解 G(s)50K

s(s10)(s5)32K v1（1） D(s)s15s50s50K

s3Routh：

11550(15K)1550K5050KK15K0

s2s1s0系统稳定围： 0K15

（2）在D(s)中做平移变换：ss1

D(s)(s1)15(s1)50(s1)50K

32s312s223s(50K36)

s3s2Routh： s111231250K1250K362350K36K3126.24 5036K0.7250s0满足要求的围是： 0.72K6.24 （3）由静态误差系数法

当 r(t)2t2 时，令 ess得 K8。

综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 8K15

20.25 K