导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数;
两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一:利用导数研究函数的极值、最值。
32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是 2 1.
22.已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值,则常数c= 6 ;
3.函数y13xx有极小值 -1 ,极大值 3 题型二:利用导数几何意义求切线方程
31,3处的切线方程是 yx2 y4xx1.曲线在点
342.若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0,则P点的坐标为 (1,0)
4yx3.若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直,则l的方程为 4xy30
4.求下列直线的方程:
322 (1)曲线yxx1在P(-1,1)处的切线; (2)曲线yx过点P(3,5)的切线;
32 y/3x22x ky/|x-13-21 解:(1)点P(1,1)在曲线yxx1上,
, 即xy20 所以切线方程为y1x1 (2)显然点P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为所以过A(x0,y0)点的切线的斜率为
ky|xx02x0/A(x0,y0),则
y0x02/①又函数的导数为y2x,
,又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点,所以有
2x0y05x03②,由
x01x05y1 或 y250①②联立方程组得,0,即切点为(1,1)时,切线斜率为k12x02;;当切点为(5,25)
时,切线斜率为k22x010;所以所求的切线有两条,方程分别为
y12(x1)或y2510(x5), 即y2x1 或y10x25
题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值
32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1 1.已知函数
(Ⅰ)若函数f(x)在x2处有极值,求f(x)的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数yf(x)在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数yf(x)在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围
32(x)3x22axb.f(x)xaxbxc,求导数得f解:(1)由 过yf(x)上点P(1,f(1))的切线方程为:
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
而过yf(x)上P[1,f(1)]的切线方程为y3x1.
32ab32ab0即ac3ac3 ① 故
② 4ab12 ③ ∵yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,32f(x)x2x4x5. 由①②③得 a=2,b=-4,c=5 ∴
(x)3x24x4(3x2)(x2).f(2) 23x2时,f(x)0;当2x时,f(x)0;3当
2当x1时,f(x)0.f(x)极大f(2)133 又f(1)4,f(x)在[-3,1]上最大值是13。
(x)3x22axb,f(3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又由①知2a+b=0。
2f(x)f(x)3xbxb0. 依题意在[-2,1]上恒有≥0,即
1
b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66①当; bx2时,f(x)minf(2)122bb0,b6②当; 612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12③当
综上所述,参数b的取值范围是[0,)
x32f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值,且f(2)4. 2.已知三次函数
(1) 求函数yf(x)的表达式;
(2) 求函数yf(x)的单调区间和极值;
(3) 若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间[m3,n]上的值域为[4,16],试求m、n应满足的条件.
2解:(1) f(x)3x2axb,
2由题意得,1,1是3x2axb0的两个根,解得,a0,b3. 3f(x)x3x2. f(2)4c2再由可得.∴
(x)3x233(x1)(x1)f(2) ,
当x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0;
当1x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0;
当x1时,f(x)0.∴函数f(x)在区间(,1]上是增函数; ]上是减函数;在区间[1,)上是增函数. 在区间[1,1函数f(x)的极大值是f(1)0,极小值是f(1)4.
(3) 函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位,向上平移4m个单位得到的, 所以,函数f(x)在区间[3,nm]上的值域为[44m,164m](m0). 而f(3)20,∴44m20,即m4. 于是,函数f(x)在区间[3,n4]上的值域为[20,0].
令f(x)0得x1或x2.由f(x)的单调性知,1剟n4综上所述,m、n应满足的条件是:m4,且3剟n6. 3.设函数f(x)x(xa)(xb).
2,即3剟n
6.
(1)若f(x)的图象与直线5xy80相切,切点横坐标为2,且f(x)在x1处取极值,求实数a,b 的值;
(2)当b=1时,试证明:不论a取何实数,函数f(x)总有两个不同的极值点.
2f(x)3x2(ab)xab. 解:(1)由题意f(2)5,f(1)0,代入上式,解之得:a=1,b=1.
23x2(a1)xa0. 令f(x)0得方程(2)当b=1时,
24(aa1)0,故方程有两个不同实根x1,x2. 因
''f(x)3(xx)(xx)fxx1212不妨设,由可判断(x)的符号如下: '''f(x)f(x)f(x)>0 xx时,xxx时,xx时,1122当>0;当<0;当
因此x1是极大值点,x2是极小值点.,当b=1时,不论a取何实数,函数f(x)总有两个不同的极值点。
题型四:利用导数研究函数的图象
2
/f1.如右图:是f(x)的导函数, (x)的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是( D )
(A) (B) (C) (D)
2.函数
y13x4x1的图像为3( A )
6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 32x 6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 x -4 -2 y 6 4 2 y o 2 4 -2 -4 y 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4 x
3.方程2x6x70在(0,2)内根的个数为 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3
题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围
1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31.设函数
(1)求函数f(x)的单调区间、极值.
(2)若当x[a1,a2]时,恒有|f(x)|a,试确定a的取值范围.
列表如下:
x (-∞,a) a
22xa,x23af(x)x4ax3a解:(1)=(x3a)(xa),令f(x)0得1
(a,3a) 3a +
0
(3a,+∞) -
f(x) f(x)
- 0
极小 极大
∴f(x)在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减
4f极小(x)ba3xa时,3,x3a时,f极小(x)b
22f(x)x4ax3a(2)∵0a1,∴对称轴x2aa1, ∴f(x)在[a+1,a+2]上单调递减
∴
(a1)24a(a1)3a22a1fMax,
(a2)24a(a2)3a24a4fmin
|a|f|a|fmin依题|f(x)|aMax, 即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5,又0a1 ∴a的取值范围是5
3
22.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)
的单调区间
(2)若对x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围。 解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
-由f(
f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表: x 1 (1,+) 222(-,-3) -3 (-3,1) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 21241-a+b=0-3)=93,f(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2
22所以函数f(x)的递增区间是(-,-3)与(1,+),递减区间是(-3,1)
1222(2)f(x)=x3-2x2-2x+c,x〔-1,2〕,当x=-3时,f(x)=27+c
为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。 要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2 题型六:利用导数研究方程的根
311.已知平面向量a=(3,-1). b=(2,2).
(1)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,x⊥y, 试求函数关系式k=f(t) ;
(2) 据(1)的结论,讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况. 解:(1)∵x⊥y,∴xy=0 即[a+(t2-3) b]·(-ka+tb)=0. 整理后得-ka+[t-k(t2-3)] ab+ (t2-3)·b=0
221∵ab=0,a=4,b=1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即k=4t(t2-3)
11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)= 4t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
33于是f′(t)= 4(t2-1)= 4(t+1)(t-1).
22令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表: t f′(t) F(t) (-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,1) - ↘ 1 0 极小值 (1,+ ∞) + ↗ 1当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=2.
1当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=-2
1函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13-2-1所示,
可观察出:
11(1)当k>2或k<-2时,方程f(t)-k=0有且只有一解;
4
11(2)当k=2或k=-2时,方程f(t)-k=0有两解;
11(3) 当-2<k<2时,方程f(t)-k=0有三解.
题型七:导数与不等式的综合
3a0,函数f(x)xax在[1,)上是单调函数. 1.设
(1)求实数a的取值范围;
(2)设
x0f(x0)x0f(f(x0))x0≥1,f(x)≥1,且,求证:.
22yf(x)3xa,y0,即a3x,这样的实数1,f(x)解:(1) 若在上是单调递减函数,则须
a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.
2若f(x)在1,上是单调递增函数,则a≤3x,