线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)

线线角、线面角、二面角的求法

1.空间向量的直角坐标运算律：

⑴两个非零向量a与b垂直的充要条件是

aba1b1a2b2a3b30

⑵两个非零向量a与b平行的充要条件是

2.向量的数量积公式

若a与b的夹角为θ(0≤θ≤π),且a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3),则 （1）点乘公式： a·b=|a||b| cosθ

（2）模长公式：则|a|aaa1a2a3，|b|bbb1b2b3

222222a·b=±|a||b|

a1b1a2b2a3b3ab（3）夹角公式：cosab 222222|a||b|a1a2a3b1b2b3（4）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

|AB|AB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2，dA,B2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

①两条异面直线a、b间夹角0,

2在直线a上取两点A、B，在直线b上取两点C、D，若直线a与b的夹角为，则cos|cosAB,CD|ABCD。

ABCD

例1 (福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、

AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）

A．arccos15 5B．

 4D1C1B1A1EDABGC．arccos10 D． 52CF（向量法，传统法）

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例2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA平面ABC，ACB90且

PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．

解：（1）向量法

PABC（2）割补法：将此多面体补成正方体DBCAD'B'C'P，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，即

tanDBAPD2．故填2． DBPD1C1B1点评：本题是将三棱柱补成正方体DBCAD'B'C'P

ADBC②直线a与平面所成的角0,(重点讲述平行与垂直的证明)

2可转化成用向量a与平面的法向量n的夹角表示，由向量平移得：若

时（图12）；若时（图13）. 2222 

nanana图1－

图1－

图1－

平面的法向量n是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：

(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (2)设出平面的一个法向量为n(x,y,z)

(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(0a2)

(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。

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1. (线线角,线面角).在棱长为a的正方体ABCDA'B'C'D'中，E,F分别是BC,AD的中点.

（1）求直线AC与DE所成角；

（2）求直线AD与平面BEDF所成的角.

'''z 'A' B' A x B E F D'C' G C y D 2.如图，底面ABCD为直角梯形，ABC90，PB面ABCD，

BABCBP2CD2，E为PD的中点，求

1） 异面直线BD与PA所成角的余弦值； 2） 直线CP与面ADP所成角的正弦值；

B C x P z y A D

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③求二面角的大小

1.范围：[0,]

2.二面角的向量求法：

方法一：如图，若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角.

β α l

方法二:设u,v是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量u与v的夹角(或其补角就是二面角的平面角的大小.如图,设二面角的平面角的大小为,法向量的夹角为.

vuuv coscos

uvuv coscos()cos

|u||v||u||v| 注意:在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角

，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出角后，应判断二面角的大小，再确定二面

角就是两半平面的法向量所在直线的夹角或是其补角。 例：如图，PA平面ABC，ACBC,PAAC1,BC大小。

P z

E x A D C 2，求二面角APBC的

y B .

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1.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P - ABD的体积V＝

2、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）

如图：在ABC中,ABC=60,BAC=90,AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使

003

，求A到平面PBC的距离． 4

BDC=900.证明：

（Ⅰ）平面ADB平面BDC；

（Ⅱ）设E为BC的中点,求AE与DB夹角的余弦值。

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3、(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）

如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，

AB2,BAD60.

(Ⅰ)求证：BD平面PAC; （Ⅱ）若PAAB,求PB与AC所成角的余弦值；

4、(2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

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zpaDaBA2aCxy.

直线与平面平行或者垂直（重点掌握）

1.如图，已知正方体ABCD-ABCDM,N分别是AB，BB的中点.求证:

1111，111(1)MN//平面ACD(2)DB⊥平面ACD.

1 ; 11

D1

CM A

BN

C

B

D A

2、如图，四棱锥P—ABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．

(I) 求证：CD平面PAD； P (II) 求证：BE//平面PAD． E

D C

A B

3.正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： （1）D1O//平面A1BC1; （2）D1O⊥平面MAC.

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4.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB5,点D是AB的中点，求证：

（I）AC⊥BC1； （II）A1C //平面CDB1；

5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证： (1)平面ADE∥平面B1C1F； (2)平面ADE⊥平面A1D1G；

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