基于LMD与神经网络的滚动轴承故障诊断方法

振动与冲击　第２９卷第８期　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨＯＣＫ　基于ＬＭＤ与神经网络的滚动轴承故障诊断方法　程军圣，史美丽，杨宇　（湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙４１００８２）　摘　要：针对滚动轴承的故障振动信号的非平稳特性，提出了一种基于局部均值分解（Ｌｏｃａｌ　ｍｅａｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，　简称ＬＭＤ）和神经网络的滚动轴承诊断方法。该方法首先对信号进行局部均值分解，将其分解为若干个ＰＦ分量（Ｐｒｏｄｕｃｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，简称ＰＦ）之和，再选取包含主要故障信息的ＰＦ分量进行进一步分析，从这些分量中提取时域统计量和能量等特　征参数作为神经网络的输入参数来识别滚动轴承的故障类别。通过对滚动轴承正常状态，内圈故障和外圈故障的分析，　表明了基于ＬＭＤ与神经网络的诊断方法比基于小波包分析与神经网络的诊断方法有更高的故障识别率，同时也证明了　该方法可以准确、有效地对滚动轴承的工作状态和故障类型进行分类。　关键词：滚动轴承；ＬＭＤ；神经网络；故障诊断；特征参数　中图分类号：ＴＨ１１５　文献标识码：Ａ　在滚动轴承故障诊断中，故障特征信息的选择和　信号分解为若干个ＰＦ（Ｐｒｏｄｕｃｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，简称ＰＦ）分量　提取一直是诊断的关键，它直接影响到故障诊断结果　之和。其中每一个ＰＦ分量由一个包络信号和一个纯　的准确性。滚动轴承故障振动信号大都为非平稳信　调频信号相乘而得到，将所有ＰＦ分量的瞬时幅值和瞬　号，因此在故障诊断过程中有必要采用适合于处理非　时频率组合便可以得到原始信号完整的时频分布。对　平稳信号的特征提取方法。由于时频分析方法能同时　其进行分析可以更准确有效的把握原始信号特征信　提供振动信号在时域和频域的局部化信息而在滚动轴　息。当滚动轴承发生故障时，局部损伤的滚动轴承元　承故障诊断中得到了广泛的应用¨　。常见的时频分　件在旋转过程中产生脉动时引起的高频冲击振动不但　析方法有Ｗｉｇｎｅｒ分布、短时傅里叶变换、小波变换等，　会激起各个元件的固有频率振动，而且各个固有频率　这些分析方法都有各自的局限性。如Ｗｉｇｎｅｒ分布对多　振动的幅值和频率还会受到脉动激发力的调制，而各　分量信号进行分析时会产生交叉项　Ｊ，短时傅里叶变　个机械元件又有各自的固有频率，这说明滚动轴承故　换的时频窗口大小是固定不变的　Ｊ，小波变换虽然具　障振动信号具有多载波多调制的特性，是一种多分量　有可变的时频窗口Ｅ６］，但是和短时傅里叶变换一样是　的复杂的调幅一调频信号，因此，为了提取出滚动轴承　对时频平面的机械格型分割，本质上它不是一种自适　故障振动信号的故障特征，解调是一种有效的分析方　应的信号处理方法。ＥＭＤ（Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ　ｍｏｄｅ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉ—　法。ＬＭＤ方法可以将复杂的多分量调幅一调频信号自　ｔｉｏｎ，简称ＥＭＤ）是一种自适应的信号处理方法，它将复　适应分解成单分量的调幅一调频信号，分解得到的ＰＦ　杂的多分量信号自适应地分解为若干个ＩＭＦ（Ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ　分量很好的保持了原始信号的幅值和频率变换，可见　ｍｏｄｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，简称ＩＭＦ）分量之和，进一步对每个ＩＭＦ　ＬＭＤ方法非常适合处理多分量的调幅一调频信号。　分量进行Ｈｉｌｂｅｎ变换求出瞬时频率和瞬时幅值，从而　本文拟将ＬＭＤ方法与ＢＰ神经网络结合起来，对　得到原始信号完整的时频分布　．８　Ｊ。ＥＭＤ方法自提出　滚动轴承进行故障诊断。采用ＬＭＤ方法将滚动轴承　后在机械故障诊断等很多领域都得到了应用　¨，但　振动信号进行分解，得到若干个单分量的调幅一调频　是在理论上还存在一些问题，如ＥＭＤ方法中的过包　信号，进一步对提取这些单分量信号的偏度系数、峭度　络、欠包络　］、模态混淆　］、端点效应　Ｈ］、ＩＭＦ判据　］　系数以及能量等特征向量作为神经网络的输人参数，　和没有快速算法等问题，还有在利用Ｈｉｌｂｅｎ变换形成　采用神经网络的输出对滚动轴承的工作状态和故障类　解析信号后计算瞬时频率时会产生无法解释的负频　型进行分类。为了验证ＬＭＤ方法的优越性，本文将　率¨　，这些问题仍然处在研究当中。　ＬＭＤ方法与小波包分析方法进行了比较，即对原始信　最近，Ｊｏｎａｔｈａｎ　Ｓ．Ｓｍｉｔｈ提出了一种新的自适应时　号进行小波包分解，对分解重构后的时间序列也提取　频分析方法——局部均值分解（Ｌｏｃｋａｌ　ｍｅａｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉ—　相应的特征参数，输入相同网络进行训练，用来识别滚　ｔｉｏｎ，简称ＬＭＤ）方法。ＬＭＤ方法将一个复杂的多分量　动轴承的工作状态和故障类型。实验结果表明，基于　ＬＭＤ的神经网络方法有更高的网络识别率。　基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０７７５０６８）和湖南省博士后科　学基金（２００８ＲＳ４００４）　１　ＬＭＤ方法　收稿日期：２００９—０４—２７修改稿收到日期：２００９—０７—２４　第一作者程军圣男，博士，教授，博士生导师，１９６８年生　ＬＭＤ方法从本质上讲ＬＭＤ方法本质上是从原始　信号中分离出纯调频信号和包络信号，将纯调频信号　１４２　振动与冲击　２０１０年第２９卷　和包络信号相乘便可以得到一个瞬时频率具有物理意　义的ＰＦ分量，循环处理至所有的ＰＦ分量分离出来，便　ＰＦ　（ｔ）＝。　（ｚ）５　（ｚ）　（９）　它包含了原始信号中最高的频率成分，是一个单　可以得到原始信号的时频分布。对于任意信号　（ｔ），　其分解过程如下¨　。　（１）确定原始信号　（ｔ）所有的局部极值点　计　算相邻两个极值点ｎ　和／２　的平均值ｍ　，即：　ｍ　＝　ｍ　＝——　一　（１）ｌ，　分量的调幅一调频信号，其瞬时幅值就是包络信号　ａ　（ｔ），其瞬时频率　（ｔ）则可由纯调频信号ｓ。　（ｔ）求　出，即：　）：　１　１１。　（１　（１０）　（７）将第一个ＰＦ分量ＰＦ　（ｔ）从原始信号　（ｔ）中　将所有相邻两个极值点的平均值ｍ　用直线连接，然后　分离出来，得到一个新的信号　（ｔ），将“　（ｔ）作为原始　采用移动平均方法进行平滑处理，得到局部均值函数　ｍＩ１（　）。　（２）采用局部极值点　。计算包络估计值。　：　。　＝　０　————　—一　（２）ｚ　　同样，将所有相邻两个包络估计值ａ　用直线连接，然后　采用移动平均方法进行平滑处理，得到包络估计函数　ａ１１（ｔ）。　（３）将局部均值函数ｍ　（ｔ）从原始信号　（ｔ）中分　离出来，得到：　ｈＩＩ（ｔ）＝　（ｔ）一ｍｉｌ（ｔ）　（３）　（４）用ｈ　（ｔ）除以包络估计函数口　（ｔ）以对　ｈ　（ｔ）进行解调，得到：　Ｓ１１（ｔ）＝ｈｌ１（ｔ）／ａ　１（ｔ）　（４）　理想地，８　（ｔ）是一个纯调频信号，即它的包络估　计函数ａ　：（ｔ）满足ａ　：（ｔ）＝１。如果Ｓ　（ｔ）不满足该条　件，则将Ｓ　（ｔ）作为原始数据重复以上迭代过程，直到　得到一个纯调频信号Ｓ　（ｔ），即Ｓ　（ｔ）满足一１　ｓ　ｓ　（ｔ）　１，它的包络估计函数０　…　）（ｔ）满足０　川（ｔ）：１。　因此，有　ｈ１１（ｔ）＝　（ｔ）一ｍ１１（ｔ）　）＝Ｓｌｌ（　）一ｍ　ｚ（　）　（５）　ｈ１　（ｔ）：Ｓ　川（ｔ）一ｍｌ　（ｔ）　式中：　ｓ１１（ｔ）＝ｈ１１（ｔ）／ａ１ｌ（ｔ）　ｓ　（　）＝　）／。　（　）　（６）　Ｓ１　（ｚ）＝ｈｌ　（ｔ）／ａｌ　（ｔ）　迭代终止的条件为：　ｌｉｍａ１　（ｔ）：Ｉ　（７）　在实际应用中，可以设定一个变动量△，当满足１一△ｓ　ａ，　（ｔ）　１＋△时，迭代终止。　（５）把迭代过程中产生的所有包络估计函数相乘　便可以得到包络信号（瞬时幅值函数）　／ｌ　Ⅱ。（ｔ）＝ｎ１　（ｔ）０　２（ｔ）…Ⅱ１　（ｔ）：ｌｑ＝ｌ　ＩⅡ１　　（ｔ）（８）　（６）将包络信号ａ　（ｔ）和纯调频信号Ｓ　（ｔ）相乘　便可以得到原始信号的第一个ＰＦ分量：　数据重复以上步骤，循环ｋ次，直到ｕ　为一个单调函数　为ＩＥ　Ｍ１（ｔ）＝　（　）一ＰＦ１（　）　２（ｔ）＝ｕ１（ｔ）一ＰＦ２（ｔ）　，　，、　１１，　ｕ　（ｔ）＝ｕ㈦（　）一ＰＦ　（ｔ）　至此，将原始　（ｔ）分解为ｋ个ＰＦ分量和一个单调　函数／２　之和，即：　（ｔ）＝　ＰＦ　（ｔ）＋ｕ　（ｔ）　（１２）　口　将所有ＰＦ分量的瞬时幅值和瞬时频率组合便可　以得到原始信号　（ｔ）完整的时频分布。　图Ｉ为滚动轴承外圈有故障时的振动加速度动信　号。对其进行ＬＭＤ分解结果如图２所示，其中设定变　动量△＝１０～。于是，多分量的复杂的调幅一调频信号　被分解为单分量的调幅一调频信号，分解后的各个ＰＦ　分量与信号中相应的成分有相应的对应关系，即各个　分量反映了信号中存在的不同的特征成分，因此ＬＭＤ　是一种自适应的信号分解法，其每一个ＰＦ分量都具有　物理意义，反映了原始信号的真实信息，图２中Ｕ　（ｔ）　为余量，其能量很小。　抽　、２Ｏ厂——————————■————————————］　垂　ｏ　Ｍ　Ｎ　Ｉ２咕—　Ｔ一百　１　—　了　—　兰　［二＝２【－－．．．－－．．－—－－Ｊ．．－－　．．．．－－—－ｔ＝－—．．．＝．－－＝－．－－＝－　—＝－．－－　－—－－－　．．】－．－——－－・．－－－－—Ｌ－＝－・・—＝－－－－－＝．－．Ｉ＝二刁・・　－－－－－－－・・－Ｊ－－－－－—－－－・－－－ｌ—・－・－－・－－－—－｜－・－－－－－Ｊ　　Ｏ　Ｏ　１　０　２　０．３　０．４　０．５　Ｏ．６　０．７　０，８　０，９　１　，／ｓ　图２具有外圈故障的滚动轴承故障振动信号的ＬＭＤ分解结果　Ｆｉｇ．２　Ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　ｍｅａｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｒｏｌｌｅｒ　ｂｅａｔｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｏｕｔ　ｒａｃｅ　ｆａｕｌｔ　第８期　程军圣等：基于ＬＭＤ与神经网络的滚动轴承故障诊断方法　ｌ４３　２基于ＬＭＤ和神经网络的滚动轴承故障诊断　偏度系数和峭度系数是信号时间数列分布特性的　数值统计量，如果滚动轴承发生故障，数据的分布特性　便发生变化。故障振动信号与正常系统的振动信号相　比．相同的频带内信号的能量会有较大的差别，故障振　动信号的能量在某些频带内会减少，而在另外一些频　带内会增加。因此，在信号各个频率成分的能量中包　含着丰富的故障信息，综合以上因素，本文采用各ＰＦ　分量的能量、偏度系数和峭度系数等特征参数作为神　经网络的输人参数，从而可有效地对滚动轴承工作状　态进行分类。基于ＬＭＤ和神经网络的滚动轴承故障　诊断方法框图如图３所示。　振　动　ＬＭＤ　特征　神经　故障　信　——分　——●　向量　网络　模式　号　●　解　提取　训练　分类　层　层　图３　基于ＬＭＤ和神经网络的滚动轴承故障诊断框图　Ｆｉｇ．３　Ｆｒａｍｅ　ｏｆ　ｒｏｌｌｅｒ　ｂｅａｒｉｎｇ　ｆａｕｌｔ　ｄｉａｇｎｏｓｉｓ　ｂａｓｅｄ　Ｏｆｆ　ＬＭＤ　ａｎｄ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　（１）按一定的采样频率　分别对滚动轴承的三种　状态（正常、外圈故障、内圈故障）进行Ⅳ次采样，得到　３Ｎ个样本；　（２）对原始信号进行ＬＭＤ分解，得到各个ＰＦ　分量；　（３）由于滚动轴承故障振动信号的信息主要包含　在高频段，因此选择前ｍ个高频段的ＰＦ分量进一步分　析，并从中提取故障特征信息。求前ｍ个ＰＦ分量偏度　系数ｇ　、峭度系数ｇ　和总能量Ｅ　，其中ｉ＝１，２，…，　表示第ｉ个ＰＦ分量；　＝　耋［　］　＝　，　ｇｉ２＝　ｒ，　＝　Ｖ　耋［　】４（１４　Ｅ　：Ｉ　『ＰＦ　（　）』　ｄｔ　（１５）　（４）元素构造特征向量　为：　Ｔ＝［ｇ１１，ｇ１２，ｇ２１，ｇ２２，…，ｇ　ｍ１，ｇ　２，Ｅｌ，Ｅ２，…，Ｅ　］ｆ　１６）　考虑到能量数值往往较大，为便于分析与处理，对　向量进行归一化处理。　令：　Ｅ　（∑　ｌ　）　（１７）　则　Ｔ　＝［ｇ１１，ｇ１２，ｇ２ｌ，ｇ２２，…，ｇ　ｌ，ｇ　２，　ＥＩ／Ｅ，Ｅ２／Ｅ。…，Ｅｍ／Ｅ＼　０１８　特征向量　即为归一化后的向量。　（５）将前ｍ个ＰＦ分量的特征向量　为神经网络　的输入，以正常状态、外圈故障、内圈故障３种模式作　为网络输出，确定网络结构，对网络进行训练；　（６）用训练好的网络对测试样本进行分类识别。　３　实验结果　本次实测的轴承为６３０７Ｅ型深沟球滚动轴承，实　验时轴的转频为６８０　ｒｐｍ，Ｈｚ，采样频率为４　０９６　Ｈｚ，振　动信号由安装在轴承座上的加速度传感器来拾取。故　障是通过激光切割在内圈或外圈上开槽来设置的，槽　宽为０．１５　ｍｍ，槽深为０．１３　ｍｍ。由于实验条件的限制　而未能在滚动体上设置故障。分别测取滚动轴承三种　模式下的振动信号各ｌ５组数据，在三种数据中，分别　随机抽出１０组数据作为样本数据，将剩下的数据作为　测试数据。　对原始振动信号进行ＬＭＤ分解，从图２的分解结　果中可以看出前４个分量包含了主要的故障信息，因　此选取包含前４个ＰＦ分量，并按频率成分由高到低的　顺序排列为ＰＦ　（ｔ），ＰＦ　（ｔ），ＰＦ３（ｔ），ＰＦ　（ｔ），按式（１３）　～式（１８）求出故障特征参数Ｔ　；采用ＢＰ网络进行分　类，网络结构为１２×１８×３，隐层包括１８个隐节点，分　别将正常轴承和外圈、内圈有故障的轴承的Ｔ　作输出　分别对应正常、外圈故障和内圈故障３种模式，输出矩　阵的状态编码分别为：正常轴承［１，０，０］；外圈故障轴　承［０，１，０］；内圈故障轴承［０，０，１］。每种模式分别用　１０个样本进行训练，训练截止误差为０．０００　１，其中ＢＰ　训练算法学习速率为０．１２，网络训练至收敛。用训练　好的神经网络对１５个测试样本进行分类识别，每种模　式各５个样本，结果网络全部成功识别，限于篇幅原　因，表１只给出了基于ＬＭＤ的３个测试样本（分别对　应三种模式）的识别结果。　采用Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓｌ０（Ｄ１０）对振动信号进行二层小波　包分解，重构第二层４个频带的小波包分解系数以构成　４个新的时间序列，按频率成分由高到低的顺序排列为：　ｃｌ（ｔ），ｃ２（ｔ），ｃ３（ｔ），ｃ４（ｔ），再分别提取四个重构序列特　征参数作为网络输入。对网络进行训练，训练过程同上。　用训练好的神经网络对测试样本进行分类识别，网络识　别准确率为９３％。表１只给出了基于小波包预处理的３　个测试样本（分别对应三种模式）的识别结果。　由表可知，以ＬＭＤ或小波包分析对振动信号作预　处理再提取特征参数作为网络输入的方法均可识别轴　承故障，但基于ＬＭＤ与神经网络的方法比基于小波包　分析与神经网络的方法有更高的网络识别能力，信号　经ＬＭＤ方法分解比经小波包分解得到了更加明显的　参量特征，这是因为小波包分解是非自适应性的，分解　后的各频带范围并不随振动信号的变化而变化。而　ＬＭＤ分解是依据信号本身进行的自适应分解，其分解　过程依赖于信号本身包含的变化信息，因此对故障信　息更为敏感　ｌ４４　振动与冲击　表１　基于ＬＭＤ或小波包分析的滚动轴承故障识别结果　Ｔａｂ．１　Ｒｏｌｌｅｒ　ｂｅａｒｉｎｇ　ｆａｕｌｔ　ｄｉａｇｎｏｓ￣ｒｅｓｕｌｔｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＬＭＤ　２０１０年第２９卷　４　结　论　ＬＭＤ方法是一种自适应信号分解方法，本文的创　新点是，把ＬＭＤ方法与神经网络相结合，用于滚动轴　承的故障类型自动分类。ＬＭＤ方法能把复杂的多分量　信号分解为有限个瞬时频率具有物理意义的ＰＦ分量　　ａ１．Ｔｈｅ　Ｅｍｐｉｉｃａｒｌ　ｍｏｄｅ　［７］　Ｈｕａｎｇ　Ｎ　Ｅ，Ｓｈｅｎ　Ｚ，Ｌｏｎｇ　Ｓ　Ｒ，ｅｔｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｈｉｌｂｅｒｔ　ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ａｎｄ　ｎｏｎ—　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ．Ｒ．Ｓｏｃ．Ｌｏｎｄ．Ａ，　１９９８，４５４：９０３—９９５．　ｅｗ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　［８］　Ｈｕａｎｇ　Ｎ　Ｅ，Ｓｈｅｎ　Ｚ，Ｌｏｎｇ　Ｓ　Ｒ．Ａ　Ｎｅｗ　ＶｉＷａｔｅｒ　Ｗａｖｅｓ：Ｔｈｅ　Ｈｉｌｂｅｒｔ　Ｓｐｅｃｔｒｕｍ［Ｊ］．Ａｎｎｕ．Ｒｅｖ．Ｆｌｕｉｄ　Ｍｅｃｈ．，１９９９，３１：４１７—４５７．　之和，而每一个ＰＦ分量实际上是一个单分量的调幅一　调频信号，它由一个包络信号与一个纯调频信号的相　乘得到。因此对每一个平稳ＰＦ分量提取能量特征参　ｕｎｓｈｅｎｇ，Ｙｕ　Ｄｅｊｉｅ，Ｙａｎｇ　Ｙｕ．Ｅｎｅｒｇｙ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｄｅ—　［９］　Ｃｈｅｎｇ　Ｊｍｏｄｕｌａｔｉｎｇ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＥＭＤ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｍｅ—　ｃｈａｎｉｃａｌ　ｆａｕｌｔ　ｄｉａｇｎｏｓｉｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００４，４０（８）：１１５—１１８．　ｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｍｐｉｉｒｃａｌ　［１０］　Ｌｏｂ　Ｃ　Ｈ，Ｗｕ　Ｔ　Ｃ，Ｈｕａｎｇ　Ｎ　Ｅ．Ａｐｐｌｉｍｏｄｅ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ・－Ｈｉｌｂｅｒｔ　ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｉｄｅｎｔｉｆｙ　ｎｅａｒ－－　数作为ＢＰ神经网络的输人，神经网络的输出就可以清　楚的揭示故障的内在本质信息。同时实验结果也证明　了基于ＬＭＤ分解提取特征参数的故障诊断方法可以　有效识别滚动轴承工作状态和故障类型。当采用基于　ＬＭＤ分解提取参数作为神经网络特征向量时，具有比　基于小波包分析的神经网络更高的识别能力。　参考文献　ｆａｕｌｔ　ｇｒｏｕｎｄ—ｍｏｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　［Ｊ］．Ｂｕｌｌｅｔｉｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｅｉｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｏｆ　Ａｍｅｒｉｃａｎ，　２００１，９１（５）：１３３９—１３５７．　Ｍａｒｃｕｓ　Ｄ，Ｔｏｒｓｔｅｎ　Ｓ．Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ａｎｄ　ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｈｉｌ—　ｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ（ＨＨＴ）ｗｉｔｈ　ａｎ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｉｒ－　ｒｅｇｕｌａｒ　ｗａｔｅｒｗａｖｅｓ［Ｊ］．Ｏｃｅａｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００４，３１（１４—　１５）：１７８３—１８３４．　［１］Ｂａｙｄａｒ　Ｎ，Ｂａｌｌ　Ａ．Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｇｅａｒ　ｆａｉｌｕｒｅｓ　ｖｉａ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｃｏｕｓｔｉｃｓ　ｓｉｇｎａｌｓ　ｕｓｉｎｇ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｎｄ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００３，１７（４）：７８７—８０４．　［１２］　Ｑｉｎ　Ｓ　Ｒ，Ｚｈｏｎｇ　Ｙ　Ｍ．Ａ　ｎｅｗ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｎｄ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，　２００６，２０（８）：１９４１—１９５２．　Ｈｕａｎｇ　Ｎ　Ｅ，Ｗｕ　Ｍ　Ｌ　Ｃ，Ｌｏ［１３］　ｎｇ　Ｓ　Ｒ．Ａ　ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｌｉｍｉｔ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　［２］Ｚｈｅｎｇ　Ｈ，Ｌｉ　Ｚ，Ｃｈｅｎ　Ｘ．Ｇｅａｒｆａｕｌｔ　ｄｉａｇｎｏｓｉｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｏｎ—　ｔｉｎｕｏｕｓ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｎｄ　Ｓｉｎａｇｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００２，１６（２—３）：４４７—４５７．　ｅｍｐｉｉｒｃａｌ　ｍｏｄｅ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｈｉｌｂｅｒｔ　ｓｐｅｃｔｒａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　［３］Ｃｌａｓｓｅｎ　Ｔ，Ｍｅｅｋｌｅｎｂｒａｕｋｅｒ　Ｗ．Ｔｈｅ　ａｌｉａｓｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｄｉｓ—　ｃｒｅｔｅ—ｔｉｍｅ　Ｗｉｇｎｅｒ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ａ—　ｃｏｕｓｔｉｃｓ，Ｓｐｅｅｃｈ，ａｎｄ　Ｓｉｎａｇｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９８３，３１（５）：　１０６７—１０７２．　［Ｊ］．Ｐｒｏｃ．Ｒ．Ｓｏｃ．Ｌｏｎｄ．Ａ，２００３，４５９：２３１７—２３４５．　［１４］　Ｄｅｎｇ　Ｙｏｎｇｊｕｎ，Ｗａｎｇ　ｗｅｉ．Ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｉｎ　ＥＭＤ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　Ｈｉｌｂｅｒｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ『Ｊ　１．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｂｕｌ—　ｌｅｔｉｎ，２００１，４６（１１）：２５７—２６３．　［４］Ｌｅｅ　Ｊ　Ｈ，Ｋｉｍ　Ｊ，Ｋｉｍ　Ｈ　Ｊ．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｏｆ　ｅｎｈａｎｃｅｄ　Ｗｉｇｎｅｒ—　Ｖｉｌｌｅ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｎｄ　Ｓｉｇ—　ｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００１，１３（２）：３６７—３９８．　［１５］　Ｃｈｅｎｇ　Ｊｕｎｓｈｅｎｇ，Ｙｕ　Ｄｅｊｉｅ，Ｙａｎｇ　Ｙｕ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎ—　ｔｒｉｎｓｉｃ　ｍｏｄｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ＩＭＦ）ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　ｉｎ　ＥＭＤ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｎｄ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００６，２０（４）：　８ｌ７—８２４．　：５］Ｃｏｈｅｎ　Ｌ．Ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ—ａ　ｒｅｖｉｅｗ［Ａ］．Ｐｒｏｃｅｅｄ—　ｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＩＥＥＥ，１９８９，７７（７）：９４１—９８１．　６　Ｍａｌｌａｔ　Ｓ．Ａ　ｔｈｅｏｒｙ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ　Ｓｍｉｔｈ　Ｊ　Ｓ．　Ｆｂｅ　ｌｏｃａｌ　ｍｅａｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　［１６］　ｔｏ　ＥＥＧ　ｐｅｒｅ　５）ｔｉｏｎ　ｄａｔａ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｒｏｙａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　Ｉｎ—　ｔｅｒｆａｅｅ，２００５，２（５）：４４３—４５４．　ｗａｖｅｌｅｔ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｐ．Ａ．Ｍ．Ｉ．，　１９８９。１１（７）：６７４—６８９．