21.1：一元二次方程(简答题专练)-2021-2022学年九年级数学把关题分题型专练(人教版)

型专练（人教版）

一、解答题

1．已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值． 【答案】a＝﹣2

【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝1代入方程即可求出答案．

【详解】解：将x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，得（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0， ∴a2﹣4＝0， 2， ∴a＝±由于a﹣2≠0， 故a＝﹣2.

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．

5(x1)22．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常

22数项．

【答案】二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4．

【分析】解法一：先把分母去掉，即方程两边都乘2，再合并得方程的一般式，再根据一元二次方程的定义 指出． 解法二：可以直接去括号，化成一般式．（一般一元二次方程都要化成整数系数，可以降低计算量）．【详解】解：解法一：整理得，x2﹣2x+1+6x＝5x+5， 所以x2﹣x﹣4＝0．

二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4． 5x5x22x1+3x＝+， 解法二：整理得：

222xx2﹣﹣2＝0， 221x2二次项，一次项系数为﹣2，常数项为﹣2．

2【点评】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，进行整理合并．

3．将方程y2﹣y(﹣4y+1)=1化为一般形式（要求二次项系数为正数） ，写出二次项的系数，一次项和常数项．【答案】二次项的系数为5，一次项和常数项分别是﹣y、﹣1．

【分析】先把方程整理，根据整理的方程写出二次项系数、一次项和常数项． 【详解】解：去括号，得y2+4y2﹣y=1， 整理，得5y2﹣y﹣1=0．

所以二次项的系数为5，一次项和常数项分别是﹣y、﹣1．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式和二次项系数、一次项及常数项的定义．解决本题的关键是根据要求把方程化为一元二次方程的一般形式．

4．当m取何值时，方程(m1)xm13x20是一元二次方程． 【答案】m=-1

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.

【详解】解：由题意可得：m12且m-1≠0， 解得：m=-1，

∴当m=-1时，方程(m1)x|m|13x20是一元二次方程.

【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

5．方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为关于x的一元二次方程？在什么条件下此方程为关于x的一元一次方程？

【答案】当a≠2时，此方程为关于x的一元二次方程；当a=2，b≠0时，此方程为关于x的一元一次方程. 【分析】原方程是关于x的一元二次方程则二次项系数不为零，是关于x的一元一次方程则二次项系数为零，一次项系数不为零．

【详解】解：当（2a-4）x2-2bx+a=0是关于x的一元二次方程时，则2a-4≠0，解得：a≠2； 当（2a-4）x2-2bx+a=0是关于x的一元一次方程时，则2a-4=0且-2b≠0，解得：a=2，b≠0.

综上所述，当a≠2时，此方程为关于x的一元二次方程；当a=2，b≠0时，此方程为关于x的一元一次方程. 【点评】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，属于基础题，比较简单. 6．已知关于x的方程(m2)x|m|2x10．

（1）当m为何值时是一元一次方程？ （2）当m为何值时是一元二次方程？ 【答案】（1）-2或1或0 （2）2

【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可得答案．

（2）根据一元二次方程的定义求解，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

【详解】解：（1）由题意，得当m20时，m2， 当|m|1且m20时，m1； 当|m|0时，m0．

∴当m2或m1或m0时，(m2)x|m|2x10是一元一次方程． （2）由题意，得|m|2，且m20，解得m2， ∴当m2时，(m2)x|m|2x10是一元二次方程．

【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二 次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．7．已知两个方程x2pxq0和x2qxp0仅有一个相同的根，求pq的值． 【答案】-1 【解析】

【分析】设相同的根为a，将a代入，即可得a2paqa2qap，进一步求解pq即可. 【详解】解：设相同的根为a，由题意，得a2paq0，a2qap0， ∴a2paqa2qap． ∴(pq)(a1)0．∴pq或a1．

若pq，则方程有两个相同的根，不符合题意． ∴a1．

把a1代入x2pxq0，得pq1．

【点评】本题主要考查对一元二次方程的解的定义的理解和掌握，能根据方程的特点进行代入计算是解此题的关键．

8．若0和3均是关于x的方程x2bxc0的根，求b与c的值． 【答案】b=-3,c=0.

【分析】根据一元二次方程的解的定义，分别把x=0和x=-3,代入x2bxc0,得到关于b和c的方程，然

后解方程即可得到b与c的值．

c0,b3, 【详解】解：将x0和x3代入方程，得解得93bc0,c0.【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

a29．已知2是关于x的方程xxa0的一个根，求a2的值．

a22【答案】22 【分析】把x＝2代入方程，即可得到一个关于a的方程，从而求得a的值．然后将所求代数式化简，再代入求值即可．

【详解】解：将x＝2代入方程x2xa0中，得22a0， 解得a＝22，

a2a24a24422． 当a＝22时，a2a2a2a2a2222【点评】本题主要考查了方程的解的定义．此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．

10．已知m415m35m．

(1)试问：m2的值能否等于2？请说明理由； (2)求m21的值． m2【答案】(1)不能；(2)2或23．

【分析】（1）把m2代入原式，左右两边不等，即可得到结论； （2）原式变形后分①m210，②m210两种情况讨论即可． 【详解】（1）原等式变形得：（m21）（m21）5m（m21）若m22，即m2时，等式左边=（2+1）（2-1）=3，等式右边=5 m×（2-1）=52． ∵左边≠右边，∴m2 的值不等于2． （2）由知： （m21）（m21）5m（m21）2①当m2-1=0，即m2=1时，m1112； m2②当m2-1≠0时，m215m．

111当m=0时，左边=1，右边=0，∴m≠0，∴m5，∴m22m252223．

mmm22综上所述：m1的值为2或23． m2【点评】本题考查了分式的混合运算及代数式求值．解题的关键是分类讨论．

11．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）(x5)236； （2）3y(y1)2(y1)．

【答案】（1）x210x110，1，10，11 （2）3y2y20，3，1，2

【分析】（1）利用完全平方公式首先去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数； （2）去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数. 【详解】解：（1）去括号，得x210x2536． 移项、合并同类项，得x210x110．

∴它的二次项系数为1，一次项系数为10，常数项为11． （2）去括号，得3y23y2y2． 移项、合并同类项，得3y2y20．

∴它的二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为2．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确化简得出一般形式是解题关键． 12．已知关于x的两个一元二次方程： k2方程①：(1)x(k2)x10 ；

2方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3=0．

（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k的值

（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根． （3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值． 【答案】（1）k=﹣4；（2）证明见解析；（3）5； 【解析】

kk【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1+≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+）×（-1）

22=0，求出k的值即可.（2）计算第2个方程的判别式得△2=（2k+3）2+4＞0，利用判别式的意义可判断方程②总有实数根，于是可判断此时方程①没有实数根，（3）设a 是方程①和②的公共根，利用方程解的定义k2（2+k）a2+（2k+4）a﹣2=0⑤，由得到（1+）a2+（k+2）a-1=0 ③，a2+（2k+1）a-2k-3=0④，利用③×

2⑤+④得（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．

【详解】（1）∵方程①有两个相等的实数根， ∴1k0 ，Δ1=0， 2k则k≠﹣2，△1=b2﹣4ac=（k+2）2﹣4（1+）×（﹣1）=k2+4k+4+4+2k=k2+6k+8，

2则（k+2）（k+4）=0， ∴k=﹣2，k=﹣4， ∵k≠﹣2， ∴k=﹣4；

1×（2）∵△2=（2k+1）2﹣4×（﹣2k﹣3）=4k2+4k+1+8k+12=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0， ∴无论k为何值时，方程②总有实数根， ∵方程①、②只有一个方程有实数根， ∴此时方程①没有实数根．

（3）根据a是方程①和②的公共根，

k2∴(1)a(k2)a10③， a2+（2k+1）a﹣2k﹣3=0④，

22得：∴③×（2+k）a2+（2k+4）a﹣2=0⑤， ⑤+④得：（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5，

代数式=（a2+4a﹣2）k+3a2+5a=（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5． 故代数式的值为5．

【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

213．一元二次方程a(x1)bx1c0化为一般形式后为2x23x10，试求

ab的值． c3【答案】

2【分析】把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案． 【详解】解：原方程可化为： ax2−（2a−b）x＋a−b＋c＝0， 由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1， 解得：a＝2，b＝1，c＝−2， ∴

ab213． c22【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用．

14．若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值． 【答案】2020．

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程求得m（m+1）=1；然后将所求的代数式转化为含有m（m+1）的代数式，并代入求值即可． 【详解】解：根据题意，得 m2m10

∴m2m1，或m（m+1）=1，

2∴m3+2m2+2019mmmm2019mm12019120192020．

【点评】本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．

15．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现

关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝1，x2＝－2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是 ． 解法探讨

（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题； 小明的思路

第1步 把1、－2代入到第1个方程中求出m的值； b第2步 把m的值代入到第1个方程中求出的值；

a第3步 解第2个方程．

（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x＋m＋2)2＋b＝0中的“x＋2”看作第1个方程中的“x”，则“x＋2”的值为 ，从而更简单地解决了问题． 策略运用

（3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答．

已知方程 (a2－2b2)x2＋(2b2－2c2)x＋2c2－a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判

断△ABC的形状．

【答案】（1）x1＝－1，x2＝－4 （2）1或－2 （3）直角三角形 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解即可.

（2）把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．

（3）先根据有两个相等的实数根，再根据根于系数的关系列出方程，找到a、b、c的关系，从而判断三角形的形状．

【详解】（1）解：将x1＝1，x2＝－2代入到方程a(x＋m)2＋b＝0中，

2am1b0 ， 得2am2b0(m－2)， ∴ m＋1＝±解得 m＝2

∴ a(2＋1)2＋b＝0． b9∴ －＝

a4b1第2个方程可变形为(x＋2＋2)2＝－，

a59即(x＋)2＝，

2411解得：x1＝－1，x2＝－4

（2）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0）； （3）解：∵ (a2－2b2)＋(2b2－2c2)＋(2c2－a2)＝0， ∴ 方程必有一根是x＝1 ∴ 方程的两根为x1＝x2＝1．

2c2a2x2＝1＝2 ． ∴ x1·

a2b2∴ a2＝b2＋c2．

∴ △ABC是一个直角三角形

【点评】此题考查根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则. 16．某中学数学兴趣小组对关于x的方程(m1)xm1(m2)x10提出了下列问题：

2（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值；

（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．

1【答案】（1）1 （2）m0，x1；m1，x

3m21＝2【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得可求得m的值；

m10（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．

m212, 【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，得m10,解得m1．

m211,（2）由题可知，当即m0时，方程为一元一次方程．

m1m20,此时方程为x10，解得x1；

m10,当即m1时，方程为一元一次方程，

m20,1此时方程为3x10，解得x．

3 【点评】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面．17．若m是一元二次方程x|a|1x20的一个实数根． （1）求a的值；

22（2）不解方程，求代数式mmm1的值．

m【答案】（1）a3；（2）4

【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到|a|12，即可求解； （2）利用方程的解得到m2m20，推出m2m2和m【详解】（1）由于x|a|1x20是关于x的一元二次方程， 所以|a|12， 解得a3；

（2）由（1）知，该方程为x2x20， 把xm代入，得m2m20， 所以m2m2，① 由m2m20，得m1所以m21，② m20， m21，再整体代入原式即可求解． m22把①和②代入mmm1，

m22得mmm12(11)4，

m22即mmm14．

m【点评】本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得m2m2和m21是解题的关键． m2016的值. m2118．已知m是方程x22016x10的一个根，试求m22015m【答案】2015

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m22016m10，变形有m22016m1或m212016m，再利用整体思想进行计算．

【详解】解：∵m是方程x22016x10的一个根，代入即得m22016m10. ∴m22016m1或m212016m.

2016201620161m2m12∴m2015m2m2016mm21m1m

m1m12016mmm2016mm2015. m2【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是适当选择整体代入法，使得解答变得简单. 19．在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b>0，则称a是该方程的中点值. （1）方程x2-8x+3=0的中点值是________；

（2）已知x2-mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值. 【答案】(1)4；(2)48.

【分析】(1)根据中点值的定义进行求解即可；

(2)根据中点值的定义可求得m的值，再将方程的根代入方程可求得n的值，由此即可求得答案. 【详解】(1) x28x30， x2-2×4x+3=0， 42-3=13>0， 所以中点值为4， 故答案为4；

(2)由中点值的定义得：

m3，m6， 2x26xn0，

将x2代入方程，得：412n0，n8，

mn48.

【点评】本题考查了一元二次方程的根，新定义，弄懂新定义是解题的关键. 20．探索一元二次方程x212x150(x0)的近似解． （1）

x x212x15 0 15 0.5 1 1.5 2 8.75 所以_______x________ （2）

x x212x15 所以_______x________

通过以上探索，估计方程解的整数部分为_______，十分位为_______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】(1)将表中x的值代入x2+12x-15进行计算，即可补全表格；根据表格中的数据不难确定方程的解的整数部分；

（2）与（1）同理可补全（2）中的表格，从而确定方程的解的小数部分的十分位，问题即可解答. 【详解】（1）将表中x=1, x=1.5,x=2的值代入x2+12x-15,分别进行计算，补全表格如下： x x2+12x-15 0 －15 0.5 －8.75 1 －2 1.5 5.25 2 13 所以：1x1.5；

（2）将x=1.1， x=1.2，x=1.3，x=1.4代入x2+12x-15，分别进行计算，补全表格如下： x x2+12x-15 1.1 －0.59 1.2 0.84 1.3 2.29 1.4 3.76 所以1.1＜x＜1.2.

通过以上探索，估计方程的近似解的整数部分为1，十分位为1.

【点评】本题考查的是估算一元二次方程的近似解的知识，旨在考查学生的估算能力.通过解答本题复习巩固了求一元二次方程的近似解的步骤.

21．若是方程x25x10的一个根，求22【答案】12的值．

1223．

1【分析】把代入原方程，得到关于的一元二次方程，2-5+1=0，化简得到+=5,代入直接求值即

可．

【详解】由题意得，2510，则0．

2510两边同除以，得5所以15，两边同时平方，得(1225，所以21110， )225，

2所以2223．

12【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式2的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 22．方程(m2)xm11(m4)x60．

（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程．

1；【答案】（1）m=－4，x=±（2）m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3

【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且m112，解答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或m110或m111且2m+2≠0．

1．即【详解】（1）依题意得：m﹣2≠0且m112，解得：m=－4，此时方程为：6x260，解得：x=±1． 当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±

（2）依题意得：m－2=0，或m110或m111且2m+2≠0，解得：m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3．

即当m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程．

【点评】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题．

23．已知方程(m2)xm(m3)x10． （1）当m为何值时，它是一元二次方程？ （2）当m为何值时，它是一元一次方程？ 【答案】（1）m2 （2）m2或m1 【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题； （2）根据一次方程的定义可解答本题．

【详解】解：（1）方程m2xmm3x10为一元二次方程，

22m22 ，

m20解得：m2，

所以当m为2或2时，方程方程m2xmm3x10为一元二次方程； （2）方程m2xmm3x10为一元一次方程，

22m20 或m21

m30解得，m2或m1，

故当m为2或1时，方程方程m2xmm3x10为一元一次方程．

【点评】本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，解题关键是理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．

24．已知关于x的一元二次方程2xa-3xb-5=0，试写出满足要求的所有a，b的值． 【答案】a=2，b=2或a=2，b=1或a=2，b=0，或a=1，b=2或a=0，b=2 【解析】 【试题分析】

根据一元二次方程的定义，要求未知数的最高次数为2次，分类讨论： 若a=2,b=2,则方程化简为-3x250 ； 若a=2,b=0,则方程化简为2x280 ； 若a=2,b=1,则方程化简为2x23x50 ； 若a=0,b=2,则方程化简为-3x23=0； 若a=1,b=2,则方程化简为-3x22x5=0；

2【试题解析】

根据题意，若a=2,b=2,则方程化简为-3x250 ；若a=2,b=0,则方程化简为2x280 ；若a=2,b=1,则方程化简为2x23x50 ；若a=0,b=2,则方程化简为-3x23=0；若a=1,b=2,则方程化简为-3x22x5=0；故答案为a=2，b=2或a=2，b=1或a=2，b=0，或a=1，b=2或a=0，b=2. 25．设p，q是整数，方程x2pxq0有一个根为52，求p﹣q的值． 【答案】-3

【分析】先把x=5-2代入方程，得到关于p，q的等式，把有关5的项合并后，令它的系数部分为0，就可求出方程p、q的值．

【详解】解：把5-2代入方程，9-45-5p+2p+q=0， ∴-5×（4+p）+（2p+q+9）=0， ∵p、q是整数， ∴p=-4，q=-1， ∴p-q=-4+1=-3．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．当方程中有一根是无理数，字母系数为整数时，把有关无理数的项合并一起后，令它的系数部分为0，就可求出方程中字母系数的值．