高三数学高考模拟试题

2011年高考数学高考模拟试题

河北正定中学 杨春辉

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合S{x|log2(x1)0},T{x|2x0},则ST等于 2xA．（0，2） B．（－1，2） C．（－1，+∞） D．（2，+∞）

2．复数z12i,z21i，那么复数z1z2在复平面上对应的点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

13．在x2的展开式中，含x的项的系数是（ ）

xA．55 B．55 C．56 D．56

8xy204．若实数x,y满足x4则zyx的最小值为

y5A．0 B．6 C．8 D．1

5．在等差数列{an}中，有a6a7a812，则此数列的前13项之和为 A．24

B．39

C．52

D．104

6．已知m、n是两条不重合的直线，、、是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题是 A．若m∥，n∥，则m∥n B．若m∥，m∥n，则n∥

C．若∥，∩=m，∩= n，则m∥n D．若m，n，m∥n，则∥ 7．已知函数f(x)asinxbcosx在x4时取最小值，则函数yf(3x)是 4A．偶函数且图像关于点(,0)对称 B．偶函数且图像关于点(,0)对称 C．奇函数且图像关于点(,0)对称 D．奇函数且图像关于点(,0)对称

121532328．设alog23,b2,c5，则

A．bac B.cba C．abc D．acb

9．将5名同学分配到A、B、C三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，那么不同的分配方案有 A．76 B．100 C．132 D．150

x10．函数f(x)|21|，若实数a,b满足ab，并且f(a)f(b)，则21a2b的取值范围是

A．(1,) B．[1,) C．(222,) D．[222,)

x2y211．过双曲线221(ba0)的左焦点作直线FE与圆x2y2a2相切于点E,与双曲线的右支交于点P，若

ab1OE(OFOP)，则双曲线的离心率为

2

A．

155 B． C．5 D．25 2212．四面体PABC中，ACBC，AC＝3，BC＝1，PAB是正三角形，且平面PAB平面ABC，则四面体PABC的外接球的表面积为 A．

416 B． C．4 D． 16 33二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）．

13．设向量a(sin,2)与向量b(cos,1)共线，则tan2 .

14．不等式x|2x1|a的解集为，则实数a的取值范围是 ．

15．已知不平行于x轴的直线ykxb(b0)与抛物线x22py(p0)交于A、B两点，点A、B到y轴的距离的差等于

2k，则抛物线的焦点坐标为 .

16．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x2)f(x2)f(x)f(x)1，f(1)三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本题满分10分）

在ABC中，C120，求

11，f(2)，则f(2011) 2411的最小值. tanAtanB 18．（本题满分12分）

在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一个形如“等腰三角形”的道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之有5个空隙（如图）．某人将一个玻璃球从第1行的空隙向下滚动，的概率滚入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按类似方式继续掉入木板下方相应的球槽．玻璃球落入不同球槽得到的分数如图（Ⅰ）求E；

五行铁钉，钉子之间留有空隙作为通间有2个空隙„„第5行6个铁钉之间玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等往下滚动，落入第5行的某一个空隙后，所示．

（Ⅱ）若此人进行4次相同试验，求至少3次获得4分的概率． 19．（本题满分12分）

四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，PD⊥AC，E是棱PA的中点． （I）求证：PC//平面EBD； (II)求二面角E-BD-A的大小．

20．（本题满分12分）

已知函数f(x)x2eax,xR,其中e为自然对数的底数， aR.

(Ⅰ)设a1,x[1,1]，求函数yf(x)的最值；

x2axa21axe成立，求x的取值范围. （Ⅱ）若对于任意的a0，都有f(x)f(x)a' 21．（本题满分12分）

y2x2过椭圆C：221(ab0)上一点P，作圆O：x2y2b2的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、

aby轴分别相交于M、N两点．

（I）设P(x0,y0)，且x0y00，求直线AB的方程．

a2b225（II）若椭圆C的短轴长为8，且，求此椭圆的方程． |OM|2|ON|216（III）试问椭圆C上是否存在满足PAPB的点P，说明理由．

22．（本题满分12分）

已知数列{an}满足a11,an2an1n2(n2). （I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{bn}中b24，前n项和为Sn，且4bn115证明：(1)2.

bn3Snn(ann)bn(nN*).

参考答案：

一、DADBC, CDBDA,CB 二、13．4111；14．(,)；15．(0,) 16． 3223三、17．解：C120,AB60,B60A.

11sinAcosBcosAsinBsin(AB)3 tanAtanBsinAsinBsinAsinB2sinAsin(60A)32323.

sinA(3cosAsinA)3sin2Acos2A12sin(2A30)111有最小值23 tanAtanB1的概率落入铁钉左边的空隙，2由题意，0A60，则302A30150， 所以当2A3090，即A30时，

18．解：（Ⅰ）从第1行开始，玻璃球从一个空隙向下滚动，碰到此空隙下方的一个铁钉后以同样以

1的概率落入铁钉右边的空隙．玻璃球继续往下滚动时，总有落入铁钉左边和右边空隙的两种结果．到最后落入某一个21球槽内，一共进行了4次独立重复试验，设4次独立重复试验中落入左边空隙的次数为η，则B(4,)．

21014141410， P(6)P(0,或4)P(0)P(4)C0()()+C()()44222281113131311， P(4)P(1,或3)P(1)P(3)C14()()+C4()()22222121263P(2)P(2)C2()()． 422168113则E6423.5．

8281（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次试验获得4分的概率P，他进行4次相同试验可以看着他进行了4次独立重复试验，

213115414则至少3次获得4分的概率PC3． ()()+C()442221619．解：（I）证明：在矩形ABCD中，设AC、BD交点为O，则O是AC中点．又E是PA中点，所以EO是△PAC的中位线． 所以PC//EO．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

又EO平面EBD，PC  平面EBD．所以PC//平面EBD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

(II) 取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，所以PH⊥平面ABCD． 以H为原点，建立空间直角坐标系H－xyz（如

图）．设AB=2m,AD=n，则

A(m,0,0),B(m,0,0),C(m,n,0),D(m,n,0),P(0,0,3m),E(m3m,0,)． 223m3m所以PD(m,n,3m)，AC(2m,n,0)，BE(,0,)

2222由PD⊥AC，得PDAC0， 即2mn0，n2m．

所以，BD(2m,2m,0)

3m3mx10y1z10BEBE0z13x12设(x1,y1,z1)是平面EBD的法向量， 22mx2my0z0BDBD0y12x1111不妨取x11，则得到平面EBD的一个法向量(1,2,3)．

由于HP(0,0,3m)是平面ABD的法向量，故(0,0,1)是平面ABD的一个法向量．

设(1,2,3)与(0,0,1)夹角，的大小与二面角E-BD-A大小相等．

32，45． cos2||||6所以求二面角E-BD-A的大小为45．

20．解：（Ⅰ)当a1时，f(x)xe，f(x)x(x2)e．

当x在[1,1]上变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

2xxx yf(x) 1 (1,0) － 0 (0,1) ＋ 1 0 0 yf(x) e   1 e

∴x[1,1]时，f(x)maxf(1)e，f(x)minf(0)0． (Ⅱ)∵f(x)x2eax，f(x)(2xax2)eax，

x2axa21axe, ∴原不等式等价于：xe(2xax)ea2ax2ax11x23x22即(a)(x1)x3x, 亦即a2．

aax11x23x∴对于任意的a0，原不等式恒成立,等价于a2对a0恒成立,

ax1∵对于任意的a0时, a11． 2a2（当且仅当a1时取等号）

aax23x2，即x23x20，解之得x2或x1. ∴只需2x1因此，x的取值范围是(,2][1,). 21．解：（1）以O，P为直径的两个端点，

构造圆的方程x(xx0)y(yy00)（1）及xyb （2） 两式相减得AB方程为x0xy0yb

2222

b16（2）令x0,y0

y0y0令y0,2x161616  |OM|,|ON|x0|x0||y0|a2b2252222 axby002516 2216|OM||ON|2y0x22又P点在椭圆上，2021 ab2516

ab2b4, a225

y2x21 椭圆方程为

2516(3)若PAPB，由切线定理|PA|=|PB|，知四边形必是正方形，

|PO|2b 要使P点存在，下列方程必有解 x2y22b2222b(a2b)222x0 yx22ab221baaba2b时，存在点P；若a2b，这样的点P不存在。

22．解：（I）解法一、an2an1n2(n2)„„„„„„„„① an12ann1„„„„„„„„„„„„②

②－①得an1an2an2an11

an1an12(anan11)

{anan11}为公比为2，首项为2的等比数列. anan12n11,(n2)递推叠加得 an2nn,(n1)

解法二、an2an1n2(n2)„„„„„„„„① 设anxny2(an1x(n1)y)

即an2an1xny2x与①式比较系数

得：x=1，y=0

ann2(an1n1) ∴数列{ann}是以首项a1+1，公比为2的等比数列，即ann22n12n an2nn,(n1)

Snb （II）4n(ann)n4Snn2nbn 2Sn2nnbn„„„„„„„„„„„„„„② 由②可得：2Sn12(n1)(n1)bn1„„„„„„③ ③－②，得2(bn11)(n1)bn1nbn 即(n1)bn1nbn20„„„„„„„„„„„„④ 又由④可得nbn2(n1)bn120„„„„„„⑤ ⑤－④得nbn22nbn1nbn0 即bn22bn1bn0bn2bn1bn1bn(nN*){bn}是等差数列. b12,b24,bn2n

12bn1011212r1rn1n(1)(1)nCnCnCn()Cn()Cn()

bn2n2n2n2n2n1

41r1Cn1n(n1)(nr1)11C()rrr2n2n2nrr!2r222112r1(r1,2,n) 21111011212rn1nCnCnCn()Cn()rCn()132n12n2n2n2n222rn

2151(1n)

343

15(1)n2n3bn115即(1)2

bn3