均值不等式教学设计

均值不等式教学设计

均值不等式

教材说明 人教B版普通高中课程标准实验教科书（必修五） 课题 3.2 均值不等式 课型 新授课 课时 2课时 学情分析

（一） 从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探

究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题.

（二） 从学生素质层面看：所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因

此他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题，增强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.他们更需要充满活力与创造发现的课堂.

教学内容分析

本节课《均值不等式》是《数学必修五（人教B版）》第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用.

教学目标

依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，确定本节课的教学目标位： （一）知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问

题、总结问题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. （二）过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知

的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力. （三）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，

并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.

教学重点

依据新课程标准和教材知识内容的特点，确定均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件为教学重点.

教学难点

由于学生对知识的迁移应用能力一般，因此应用均值定理求最值作为本节的教学难点.

教学策略选择与设计

本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.

教学资源与手段

学案、教科书.以学案提纲代替多媒体课件，创设问题情境，激发学习兴趣，提

高课堂效率.小组讨论，培养团队合作精神.

教学过程设计

教学环节 教学过程 师生活动 设计意图 情景激疑 今有一台坏天平，两臂长不等，其余教师发下讲引出问题讨均精确.有人说要用它称物体的重量，义让学生思论：只需将物体放在左、右托盘各称一次，考.并提出问则两次称量结果的一半就是物体的真题：真实重量实重量.他说得对吗？（设物体放在左是多少？ 右托盘称得的重量分别为a,b） 引入概念 均值定理：教师提问：定学生讨论后ab与 2ab的大小 如果a,bR,ab 那么ab2当且仅当ab时等号成立语言叙述：两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值. 理中需要注总结： 意的问题是1．a,bR 什么？ 2．算术平均值不小于它的几何平均值 3．a=b时取等号  证明方法 方法一：作差法 教师设问：如小组讨论： 何证明呢？提出多种解引导与鼓励决方法.让学证明：因为

a0,b0,所以abab2abab 22abab0,即ab22当且仅当ab时，等号成立.2学生寻找多生拓宽思路，种证明方法，培养团结协拓宽思路.教作的习惯. 师适当引导. 方法二：反证法 证明：假设abab,2ab则ab2ab2ab2ab0,显然不成立22方法三：几何法 令正实数a、b为两条线段的长,用几ab何作图的方法作出长度为 和2ab的两条线段,然后比较这两条线段的长。 （1）作线段AB=a+b,使AD=a,BD=b; Ca+b2abA (2)以AB为直径作半圆O (3)过D点作CD⊥AB于D,交半圆于C ab（4）连接AC，BC， CO，则 OC= 2CD=ab, 当a≠b时，OC>CD，即abab 2aODbB

当a=b时，OC=CD，即引申拓展 a,b,cR abab 2abc3abc 3让学生进行培养学生的类比推理，大探索精神，挖aa12.....ann 变形应用 na1a2.....an 2胆猜想. 掘出更深刻的结论. ab2abab,ab,a,bR2让学生对定使学生能更理形式进行灵活的应用变形. 公式 定理巩固 练习：下列结论中，错用均值不等提问学生，并让学生注意式作依据的是： A x,yR让学生指出定理的应用错误，最后让条件，培养严学生总结三谨的数学思条，一正、二维. 定、三相等，xy则2 , yx1B a为正数，则1aa4 aC lgxlog2x1 10x并板书. D x32 x2224E sinx+sin最小值为x4．

变形应用 问题一：求函数值. 的最小逐步引导学设计意图：使生进行变式， 学生正确理变式是一种解均值定理的最探索问题的应用的条件方法. 变式2： 求函数大值. 的最 “正、定、等”,掌握均值定理的正用及拓展应用.通过变式 使学生对试题进行深层的探索，激发兴趣，培养能力. 设计意图：进一步体会均值不等式应用的“定”的变式1： 求函数大值. 22变式3：求函数yx(x0)的最x 小值. 问题二：求函数最大值. 变式4：求函数的最大值. 的 变式5：求函数的最大值. 问题三：已知函数的最小值. ，求 解法一：由因为，解出所以，在问题三中条件，逐步学，引导学生一会均值定理

题多解. 。当且仅当时，时，取最小值36. 所以 解法二：因为 ,的逆用和变用. 同一道数学题，从不同的角度思考可得到多种解题思路，广泛寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探索、思维等能力. ，且时，函数36. 时，即 取最小值 变式6：设数解析：的最小值. ，求函 当且仅当，且时，函数变式7：设，即取最小值. 当且仅当，求函

数的和的值. 的最大值以及相应 解法一：由得，又 ， ，所以当时，即时，函 数解法二：因为以 取最大值. ，所 ，当且仅当，时，即且时，函数取最大值. 课堂总结 1、 理解均值不等式引出及证明过程 2、 均值不等式的使用条件 3、 会识别并应用均值不等式 让同学总结，学生总结能其他同学补让学生对所充. 研究问题有

4、 培养一题多解，一题多变的能力 布置作业 教材P72练习B 1、2、3、4 个总体的认识. 巩固知识 教学反思

国家强盛，社会进步都需要有不断创新的人才.所以作为教育者应该为社会培养创新型人才.而作为数学教师就应该从课堂上发挥学生学习的主动性，培养探索精神.本节课已充分认识到这些问题，所以在教学中学生自己能解决的尽量让他们自己解决，使学生成为课堂的主人.

(一) 对情境创设的反思

本节课是以问题形式创建的情境，以学案为媒介.通过学生感兴趣的问题引发讨论，使学生很快进入思考探索的状态.通过学生对答案的争议引出均值定理.因此带着新的疑问开始了这节课，激发了学习本节课的兴趣.

(二)对小组合作的反思

小组合作学习是新课标积极倡导的三大学习方式之一，小组合作学习在形式上成为有别于传统教学的一个最明显的特征.它能有效地弥补一个教师难以面向众多有差异学生的教学不足，有利于培养学生的竞争意识与集体意识.本节课中，我刚刚提出问题，学生立刻展开激烈讨论，有的学生提出自己的疑问，这时老师并不是立刻给予解答，而是让学生自己来解答，便于学生对问题有着更深刻的理解，在解决问题的同时，学生又会发现新的问题，然后积极探索，大胆猜想，寻找解决问题的方案，充分调动了学生的思维，培养了学生分析问题、解决问题的能力.

(三)对一题多解的反思

同一道数学题，从不同的角度思考可得到多种解题思路，广泛寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探索、思维等能力. 解需有法，解无定法，大法必依，小法必活. 本节课在一题多解上学生讨论的非常积极，给出了很多可行的，还有不太完善的方法.这足以说明他们真的动脑思考了，培养了解决

问题的能力.解需有法，解无定法，大法必依，小法必活.

(四)对一题多变的反思

数学解题教学应突出探索活动，而且探索活动不应停留在对原题的探索上，而应适当地对原习题进行深层的探索，这就是数学教学中的变式艺术.变式，是一种探索问题的方法，也是一种值得提倡的学习方法，它可以激发学生学习数学的兴趣，有效地提高学生的数学水平.在本节课堂教学中，学生确实体会到了试题一点一点变化带来的惊喜.

中国教育缺什么？专家研究的结论之一.就是缺乏创新.而教育创新的关键，就是要有一大批创新型教师.