第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
基础题
知识点 利用一元二次方程解决几何问题
1．(天水中考改编)一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的面积是( )
A．6 B．3 C．4 D．12
2．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，
2
△MNB的面积恰好为24 cm，由题意可列方程( )
A．2x·x＝24
B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
2
3．(咸宁中考)用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm的长方形，a的值不可能为( ) A．20 B．40 C．100 D．120
4．(佛山中考)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余
2
一块面积为20 m的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m
5．(济南中考)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容
3
积为300 cm，则原铁皮的边长为( )
A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm
6．如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m的互相垂直的小路，
2
余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m，请求出原来大矩形空地的长和宽． (1)请找出上述问题中的等量关系：________________________________；
(2)若设大矩形空地的宽为x m，可列出的方程为______________________________，方程的解为________________________，原来大矩形空地的长和宽分别为____________．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒钟，使△PBQ
2
的面积等于8 cm
8．如图，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是1∶2，其中小正六边形的边长为22
(x－4)cm，大正六边形的边长为(x＋2x)cm(其中x＞0)．求这根铁丝的总长．
中档题
9．如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)．现有砌60米长的墙的材料． (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； (2)能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
10．甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1 h，甲往东走了4 km，乙往南走了6 km. (1)这时甲、乙两人相距多少千米？
(2)按这个速度，他们出发多少小时后相距13 km?
综合题
11．小明和同桌小聪在课后复习时，对下面的一道思考题进行了认真的探索．
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时点B到墙AC的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动________米． 解完【思考题】后，小聪提出了如下两个问题：
(1)在【思考题】中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
(2)在【思考题】中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题．
参考答案
1．A 2.D 3.D 4.A 5.D
6.(1)原矩形面积－小路面积＝草坪面积 (2)x·2x－(x·2＋2x·2－2×2)＝312 x＝14或x＝－11(宽应为正数，故舍去) 28 m、14 m 7.2或4
8.由题意，得2(x2－4)＝x2＋2x，整理，得x2－2x－8＝0.解得x1＝4，x2＝－2(舍去)．
∴x2－4＝12，x2＋2x＝24.则铁丝长为12×6＋24×6＝216(cm)．
9.(1)设矩形花园的长BC为x米，则其宽为1
2(60－x＋2)米，依题意列方程，得1
2(60－x＋2)x＝300.
整理，得x2－62x＋600＝0.解得x1＝12，x2＝50. ∵28＜50，
∴x2＝50不合题意，舍去． ∴x＝12. 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．
(2)由题意得1
2(60－x＋2)x＝480，整理，得x2－62x＋960＝0.解得x1＝32，x2＝30. ∵28＜30＜32，
∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去． 答：不能围成480平方米的矩形花园．
10．(1)如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°， ∵OA＝4 km，OB＝6 km，
∴AB2＝AO2＋BO2＝42＋62＝52. ∴AB＝213 km.
∴甲、乙两人相距213千米．
(2)设出发x小时后相距13 km，则AB＝13 km，AO＝4x，BO＝6x，
∴16x2＋36x2＝132.解得x＝13
2.
∴按这个速度，他们出发13
2 h后相距13 km. 11.0.8 (1)不会是0.9米．若AA1＝BB1＝0.9，则A1C＝2.4－0.9＝1.5，B1C＝0.7＋0.9＝1.6，1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，
∵A1C2＋B1C2≠A1B21，
∴该题的答案不会是0.9米．
(2)有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52.解得x＝1.7或x＝0(舍去)．
∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．
第2课时 利用一元二次方程解决营销问题
基础题
知识点1 利润问题
1．某批发店将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4 100元利润，售价应定为( ) A．45元 B．14元 C．45元或14元 D．50元
2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，设每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出________件商品，每件商品应售________元．
3．某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1 400元，每件应降价________元．
4．(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？
知识点2 增降率问题
5．(益阳中考)沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为( ) A．20(1＋2x)＝80 B．2×20(1＋x)＝80
2
C．20(1＋x)＝80
2
D．20(1＋x)＝80
6．(天水中考)某商品经过两次降价，销售价由原来的125元降到了80元，则平均每次降价的百分率为________．
22
7．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7 000元/m下降到12月份的5 670元/m，则11、12两月平均每月降价的百分率是________．
8．(广州中考)某地区2013年投入教育经费2 500万元，2015年投入教育经费3 025万元． (1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
中档题
9．(巴中中考)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？
10．(东营中考)2013年，东营市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5 265元． (1)求平均每年下调的百分率；
(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)
综合题
11．(宜昌中考改编)全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题.2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器7
材和药品.2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这
16两方面的总投入仍与2014年相同． (1)求2014年社区购买药品的总费用；
1
(2)据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，但其药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的.与
42014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分数与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分数相同，1
那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的.求2015年该社区健身家庭的户数．
7
参考答案
1．C 2.100 25 3.6或10
4.设每件降价x元，则每件售价为(60－x)元，每星期销量为(300＋20x)件，
根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080.解得x1＝1，x2＝4.
∵在顾客得实惠的前提下进行降价， ∴取x＝4.
∴60－4＝56(元)．
答：应将销售单价定为56元． 5.D 6.20% 7.10%
8.(1)设2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，
根据题意，得2 500(1＋x)2＝3 025.解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．
答：2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
(2)3 025(1＋10%)＝3 327.5(万元)． 答：预计2016年该地区将投入教育经费3 327.5万元．9.设每个商品的定价是x元，由题意，得(x－40)[180－10(x－52)]＝2 000.
整理，得x2－110x＋3 000＝0.解得x1＝50，x2＝60. 当x1＝50时，进货180－10(x－52)＝200(个)，不符合题意，舍去．
当x2＝60时，进货180－10(x－52)＝100(个)． 答：应进货100个，定价为60元．
10.(1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得6 500(1－x)2＝5 265.
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
答：平均每年下调的百分率为10%.
(2)如果下调的百分率相同，2016年的房价为5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/m2)．则100平方米的住房的总房款为100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385(万元)． ∵20＋30＞47.385，
∴张强的愿望可以实现．
11.(1)设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为(30－y)万元，2015年购买健身器材的费用为(1＋50%)(30－y)万元，购买药品的费用为(1－7
16)y万元，
依题意，得(1＋50%)(30－y)＋(1－7
16)y＝30.解得y＝16.答：2014年社区购买药品的总费用为16万元． (2)设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的户数为200(1＋m)，2015年平均每户健身家庭的药品费16×11用为416×(1－m)万元．依题意，得200(1＋m)·4200200(1－m)＝(1＋50%)×(30－16)×17. 整理，得1－m2＝31
4.解得m＝±2. 又因为m>0，所以m＝1
2＝50%.
∴200(1＋m)＝200(1＋50%)＝300.
答：2015年该社区健身家庭的户数为300户．
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