廉江一中2014届高三第二次月考理科数学

廉江一中2014届高三第二次月考

理科数学试题

2013年10月21日

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A=x|1x3，B=x|2x4，则AB=（ ）

A．x|1x4 B．x|2x3 C．

D．x|2x3

2．下列函数y2x,yx3,ylnx,ycosx中，偶函数的个数是( ) A．3 B．2 3. 函数f(x) C．1 D．0

2x4的定义域是（ ） x3 A．2, B．3, C．2,33, D．2,33, 4． 设函数yf(x)与函数g(x)的图象关于x3对称，则( )

3A．g(x)f(x)

2

B．g(x)f(3x) D．g(x)f(6x)

C．g(x)f(3x)

5．设alog0.34，blog43，c0.32，则a、b、c的大小关系是( )

A．aB．aC．cD．b6．若函数f(x)logax1在区间(－1，0)上恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间是（ ）

A．(－∞，1)

B．(1，＋∞)

xC．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)

7．已知0a1，则方程alogax的实根个数是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)……(x－100)，则f1＝( ) A．－99！

B．－100！

C．－98！

D．0

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分

9．曲线y＝x2＋3x在点（2，10）处的切线的斜率是 。 10. 函数f(x)x22x,x0,3的值域是 。 11. 已知函数f(x－1)＝2x2－x，则fx＝ 。

lgx,x0,12. 设fxx则

10,x0,f1f＝ . 213．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且fx2则f(105.5)_______________．

1，当2x3时，f(x)x，fxx21(x0,xR)有下列命题： 14．关于函数f(x)lg|x|①函数yf(x)的图象关于y轴对称； ②在区间(,0)上，函数yf(x)是减函数； ③函数f(x)的最小值为lg2；

④在区间(1,)上，函数f(x)是增函数． 其中是真命题的序号为___ ________．

三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15. （本小题满分12分）

1 求函数fxx3x23x的单调区间。

3

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16．（本小题满分13分）

已知集合A＝{x|(x2)[x(3a1)]0}，B＝{x|⑴当a＝2时，求AB； ⑵求使BA的实数a的取值范围． 17．（本小题满分13分）

已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b (x∈[－1，2])的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．

18．（本小题满分14分）

已知二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1． ⑴求f (x)的解析式；

⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，求实数m的取值范围．

x2a0}． 2x(a1)第 3 页 共 8 页 2014届高三第二次月考理科数学试卷

19．（本小题满分14分）

p：方程a2x2ax20在[－1，1]上有解； q：只有一个实数x满足不等式x22ax2a0；

求使得“p或q”是假命题的实数a的取值范围。 ．．．

20．（本小题满分14分）

x22xa,x0 已知函数f(x),其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该

lnx,x0函数图象上的两点,且x1x2. (Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x20,求x2x1的最小值; (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.

廉江一中2014届高三第二次月考

数学（理科）参考答案

1.B 2. C 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.A

19.7 . 10．1,3 11．4x＋3 12.． 13. 2.5 14. .①③④__

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15. 解：f(x)x22x3,.......2分令f(x)0,得x3或x1,.......5分令f(x)0,得-1x3,.......8分所以f(x)的单调递增区间是,1,3,,.......10分单调递减区间是1,3.......12分

16. 解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）……3分

∴ AB＝（4，5）．……5分 （2）∵ B＝（2a，a2＋1），……7分

1当a＜时，A＝（3a＋1，2），

32a3a1要使BA，必须2，此时a＝－1；……9分

a121当a＝时，A＝，使BA的a不存在； ……10分

31当a＞时，A＝（2，3a＋1）

32a2要使BA，必须2，此时1≤a≤3． ……12分

a13a1综上，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1} ……13分

17．解：

令f'(x)3ax212ax3a(x24x)＝0，显然a≠0，否则f(x)＝b为常数， 又x∈[－1，2]，∴x＝0，.------3分

若a>0，则当x1,0时fx0,当x0,2时fx0,------5分 ∴fmaxxf0b3, ------7分

f17ab,f216ab,

∴fminxf216a329,a2.-------9分

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若a<0，同理可得a＝－2，b＝－29．-------12分 ∴a2,b3,或a2,b29.-------13分

18. 解： (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1，.-------2分 故f（x）＝ax2＋bx＋1．

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x．-------3分 即2ax＋a＋b＝2x，…-------4分

2a2a1,所以，-------6分

ab0b1∴f(x)＝x2－x＋1． -------7分

（2）由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立． 即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．-------9分 3

设g(x)＝ x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝2 ， 所以g(x) 在[－1，1]上是减函数．-------11分

故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1．------14分

19. 解:由a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0，21显然a0x或x……3分aa21x1,1,故||1或||1,|a|1，……6分aa只有一个实数满足x22ax2a0， 即抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点，4a28a0.a0或2,……9分命题“p或q”为真命题时,|a|1或a0,……11分命题“P或Q”为假命题a的取值范围为1a0或0a1……14分

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20．解:函数fx的单调递减区间为,1,单调递增区间为1,0,0,

……3分

由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为fx1,点B处的切线斜率为fx2,

故当点A处的切线与点B处的切线互相垂直时,有fx1fx21. 当x0时,对函数fx求导,得fx2x2. 因为x1x20,所以2x122x221, ……5分 所以2x120,2x220.

12x122x222x122x221 ……7分 231当且仅当2x12=2x22=1,即x1且x2时等号成立.

22因此x2x1所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,x2x1的最小值为1。……8分

当x1x20或x2x10时,fx1fx2,故x10x2.

当x10时,函数f(x)的图象在点x1,fx1处的切线方程为

yx122x1a2x12xx1,即y2x12xx12a ……9分

当x20时,函数f(x)的图象在点x2,fx2处的切线方程为

ylnx211xx2,即yxlnx21. ……10分 x2x212x12 ①两切线重合的充要条件是x2

lnx1x2a ②21由①及x10x2知,1x10. 由①②得,ax1ln211x12ln2x121. ……12分

2x12第 7 页 共 8 页 2014届高三第二次月考理科数学试卷

设hx1x1ln2x121(1x10),

2则hx12x110. x11所以hx11x10是减函数. ……13分 则hx1h0ln21, 所以aln21.

又当x1(1,0)且趋近于1时,hx1无限增大, 所以a的取值范围是ln21,.

故当函数f(x)的图像在点A,B处的切线重合时,

a的取值范围是ln21, ……14分

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