概率论中选举定理

在一次只有两个候选人的选举中，甲得n张选票，乙得m张选票n>m，问在计票过程中

1出现两人票数相等的概率 ○

2甲的票数终比乙的票数多的概率 ○

我们用图来表示n+m张选票的一个排列为简便取n=6，m=4.图中的纵坐标表示甲票数与乙票数之差。该图表示，在计票过程中，甲乙票出现的顺序，甲甲乙甲乙乙乙甲甲甲。画出图中的折线 ＋

这样的折线一共有cmn条 m个可重复元素与n个可重复元素排列

nnmn！ncm！n！mn

这cmn条折线中可分成二类：在计票过程中如果取出的第一张是乙票，由n>m，这些折线一定与横轴相交，这称为第一类折线。另一类如果取出的第一张是甲，这类折线可能与横轴相交也可能与横轴不相交。第一次取出乙票后剩下m-1个可重复元素和n个可重复元素一共有

nm-1！m-1Cnm-1，第一次取出甲票后与

m-1n！！x轴相交的折线也有

m-1m-1CnC，所以一共有2m-1nm-1

cm-12Cn2mm-11P某时刻出现二人票数相等= ○ mCnnmm2甲的票数终比乙的票数多的概率 与x轴不相交的折线1- ○

2mn-m nmnm 如果设P（n，m），G（n，m）分别表示在计票过程中，甲票数就总多于乙票数的概率与第二张选票起甲票数总不小于乙票数的概率。则由于在第一张是乙票的条件下甲票数总多于乙票数（条件）的概率为零。所以由全概率公式

nmnGn-1，m Gn-1，mGn，m-1=

nmnmnmn-mn-m又P（n，m）= 故G（n-1，m）=从而 以n+1替换n

nmn P（n，m）=

n1-m 由此可得在计票过程中某时刻出现乙票数多于甲票数

n1n1-mm的概率为1-=- 此题解题思路是先计算某时刻甲乙票数相等的概率n1n1 G（n，m）=

A，再计算甲票数总多于乙票数的概率1-A,即与x轴永不相交。再计算甲票数多于乙票

数的概率B,注意B不等于1-A,B要利用1-A再结合全概率公式才能求得，B与x轴相交。最后求某时刻乙票数多于甲票数D=1-B,这条思路依次不能颠倒。选举定理有很多重要的应用

1 掷一枚均匀的硬币n次，出现正面m次m>

n1，求在整个投掷过程中投掷出反面22n-m2m-n nn次数总小于正面次数的概率。投掷出反面次数总小于正面次数的概率与正面次数总大于反面次数的概率是一样的，即与x轴永不相交，1- 2 剧院售票处有2n个人排队买票，其中n个人只有50元钱的钞票，其余n个人只有

100元钱的钞票，开始售票时售票处无零钱可找，而每个人只买一张50元的戏票，求售票处不会找不出钱的概率 。

我们设n个有50元的钱，m个人有100元的钱，要售票处不会找不出钱，必须是第一次收进的是50元的钱，在这个条件下收进50元张数总比收进100元的张数要多

对应于这个公式 G（n，m）=

n1-m11=，但=10时概率这个概率的很小

n111n1