向量在三角形中的应用

向量与三角形的内心、外心、重心的应用（带答案）

一、知识总结：

二、针对性例题：

→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的位置关系是( ) 1．已知平面内一点P及△ABC，若PAA．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上

C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部

答案 C

→＋PB→＋PC→＝AB→得PA→＋PC→＝AB→－PB→＝AP→，即PC→＝AP→－PA→＝2AP→，所以点P在线段AC解析 由PA上．

2

→→→2．设P为锐角△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，AP＝k(AB＋AC)(k∈R)，若cos∠BAC＝，则k5等于( )

53

A. B. C. D. 141477

52

答案 A

→＋AC→＝2AD→， 解析 取BC的中点D，连接PD，AD，则PD⊥BC，AB→＝k(AB→＋AC→)(k∈R)，∴AP→＝2kAD→，∴A，P，D三点共线， ∵AP∴AB＝AC，

555

∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝＝＝，∴AP＝AD，∴2k＝，解得k＝，故选A.

PCPA57714

DPDP2

→＋sin B·GB→＋sin C·GC→＝0，则角B的大小为________． 3、.设G为△ABC的重心，且sin A·GA答案 60°

→＋GB→＋GC→＝0，GA→＝－(GB→＋GC→)，将其代入sin A·GA→＋sin B·GB→＋解析 ∵G是△ABC的重心，∴GA→＝0，得(sin B－sin A)GB→＋(sin C－sin A)GC→＝0.又GB→，GC→不共线， sin C·GC∴sin B－sin A＝0，sin C－sin A＝0，则sin B＝sin A＝sin C．根据正弦定理知b＝a＝c，

∴△ABC是等边三角形，则角B＝60°.

→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则4．(2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB△ABC的形状为( )

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

答案 C

→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，即CB→·(AB→＋AC→)＝0，因为AB→－AC→＝CB→， 解析 因为(OB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|＝|AC→|，所以△ABC是等腰三角形，故选C. 所以(AB→＝OA→＋λ(AB→4、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP→)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) ＋ACA．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，即AP→＝λ(AB→＋AC→)，根据平行四边形法则，知AB→＋AC→是(2)由原等式，得OP→的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心． △ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD→→ABAC，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的→＝OA→＋λ＋5本例中，若动点P满足OP|AB→||AC→|________．

答案 内心

解析

→→→→→→ABABACACABAC，即AP，而和分别表示平行于AB→－OA→＝λ→＝λ→，＋＋由条件，得OP|AB|AB→→→→→||AC→|||AC|||AC||AB→平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心． ＋平分∠BAC，即AP→||AC→||AB→AB→AC→的单位向量，故AC6、( )

→→AC→1ACAB→与AC→满足(→＝0，且 (1)在△ABC中，已知向量AB＋)·BC·＝，则△ABC为

→→→→|AB||AC||AB||AC|2

→ABA．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰非等边三角形

D．三边均不相等的三角形

解析 (1)

→，AC→的单位向量，由平行四边形法则可知，分别为平行于AB＋为∠BAC的

→→→→|AB||AC||AB||AC|→AB→AB→AC→AB→AC→AC→＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC. 平分线．因为(＋)·BC→||AC→||AB→AC→AB11π又·＝··cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以

→→→||AC→||AB223|AB||AC|→AC→AB

△ABC为等边三角形．

→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则△ABC的形状一定是( ) 7．在△ABC中，(BCA．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

答案 C

→＋BA→)·AC→＝|AC→|2， 得AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0， 解析 由(BC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝0，2AC→·BA→＝0， 即AC→⊥BA→，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB→|＝|AC→|， ∴AC故△ABC一定是直角三角形．

8、已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a（ ）

+b+c=0，则P点为三角形

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

解在AB，AC上分别取点D，E，使得=，，则=1．

以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则四边形ADFE是菱形，且==．

∴AF为∠BAC的平分线．

∵a+b+c= ∴a+b•（）+c•（）=，

即（a+b+c）+b+c=，

∴==（）=．

∴A，P，F三点共线，即P在∠BAC的平分线上．同理可得P在其他两角的平分线上，

∴P是△ABC的内心．故选：B．