中考数学——锐角三角函数的综合压轴题专题复习附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD//AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQOP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），AB20，cosAOC4．设OPx，CPF的面积为y． 5

（1）求证：APOQ；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE是直角三角形时，求线段OP的长．

3x260x30050【答案】（1）证明见解析；（2）y(x10)；（3）OP8

x13【解析】 【分析】

（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OPDQ，联结

OD后还有OADO，再结合要证明的结论APOQ，则可肯定需证明三角形全等，寻

找已知对应边的夹角，即POAQDO即可；

（2）根据PFC∽PAO，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件cosAOC意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】

（1）联结OD，∵OCOD， ∴OCDODC， ∵CD//AB， ∴OCDCOA， ∴POAQDO． 在AOP和ODQ中，

4、以及（1）（2）中已证的结论，注5OPDQ{POAQDO， OADO∴AOP≌ODQ， ∴APOQ；

（2）作PHOA，交OA于H， ∵cosAOC∴OH4， 5443OPx，PHx， 555∴SAOP1AOPH3x． 2∵CD//AB， ∴PFC∽PAO， ∴

ySAOP(CP210x2)()， OPx3x260x300∴y，当F与点D重合时，

x∵CD2OCcosOCD210∴

416， 5x1050，解得x， 10x16133x260x30050(x10)； ∴y13x（3）①当OPE90时，OPA90， ∴OPOAcosAOC1048； 5②当POE90时，

CQOC101025cosQCOcosAOC42，

52525716， 222∴OPDQCDCQCD∵

50OP10， 137（舍去）； 2∴OP③当PEO90时，∵CD//AB， ∴AOQDQO，

∵AOP≌ODQ， ∴DQOAPO， ∴AOQAPO，

∴AEOAOP90，此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP的长为8．

2．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A，B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为200米，求A，B两点之间的距离（结果保留一位小数）

【答案】215.6米． 【解析】 【分析】

过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，

根据Rt△ACM和三角函数tanBDF求出CM、DN，然后根据MNMDDNAB即可求出A、B两点间的距离. 【详解】

解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点

在Rt△ACM中，∵ACF45， ∴AM=CM=200米，

又∵CD=300米，所以MDCDCM100米， 在Rt△BDN中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴DNBN115.6米，

tan60∴MNMDDNAB215.6米 即A，B两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】

本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.

3．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，

大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．

【答案】故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米． 【解析】

试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案． 试题解析：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m， ∴AE=18米，

在RT△ADE中，AD=DE2AE2=634米 ∵背水坡坡比为1：2， ∴BF=60米，

在RT△BCF中，BC=CF2BF2=305米，

∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=（634+305+98）米， 面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．

故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．

4．如图，已知，在

O中，弦AB与弦CD相交于点E，且ACBD.

（1）求证：ABCD；

（2）如图，若直径FG经过点E，求证：EO平分AED；

（3）如图，在（2）的条件下，点P在CG上，连接FP交AB于点M，连接MG，若

ABCD，MG平分PMB，MG2，FMG的面积为2，求O的半径的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】 【分析】

(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；

O的半径的长为10.

（2）连接AO、DO，过点O作OJAB于点J，OQCD于点Q，证明

AOJDOQ得出OJOQ，根据角平分线的判定定理可得结论；

（3）如图，延长GM交

O于点H，连接HF，求出FH2，在HG上取点L，使

HLFH，延长FL交O于点K，连接KG，求出FL22，设HMn，则有

LKKG22n，FKFLLK22n，再证明22KFGEMGHMF，从而得到tanKFGtanHMF，

LK和FK的值可得n=4,再求得FG的长，最后得到圆的半径为10． 【详解】

解：（1）证明：∵ACBD，∴ACCBBDCB， ∴ABCD， ∴ABCD.

KGHF，再代入FKHM（2）证明：如图，连接AO、DO，过点O作OJAB于点J，OQCD于点Q，

∴AJODQO90，AJ又∵AODO， ∴AOJDOQ， ∴OJOQ，

又∵OJAB，OQCD，

11ABCDDQ， 22∴EO平分AED.

（3）解：∵CDAB，∴AED90，

1AED45， 2如图，延长GM交O于点H，连接HF，

由（2）知，AEF

∵FG为直径，∴H90，SMFG∵MG2，∴FH2，

1MGFH2， 2在HG上取点L，使HLFH，延长FL交∵FG为直径，∴K90，

O于点K，连接KG，

∴HFLHLF45，KLGHLF45， ∴KGL90KLG45KLG，∴LKKG， 在RtFHL中，FL2FH2HL2，FL22， 设HMn，HLMG2，

∴GLLMMGHLLMHMn， 在RtLGK中，LG2LK2KG2，LKKG2n，2FKFLLK222n， 2∵GMPGMB，∵PMGHMF，∴HMFGMB， ∵AEF1AED45， 2∴MGFEMGMEF45，MGFKFGHLF45， ∴KFGEMGHMF， ∴tanKFGtanHMF，

∴

KGHF，∴FKHM2n2222n22，n4， n∴HGHMMG6，

在RtHFG中，FG2FH2HG2，FG210，FO10. 即

O的半径的长为10.

【点睛】

考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．

5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A(1，0)，B(0，2)，C(3，3) (1)当⊙O的半径为1时，

①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是 ； ②已知点M在直线y＝﹣范围；

(2)已知点D(23，0)，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，半径为1，若在△BCD上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．

3x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值3

【答案】(1)①B；②0≤m≤3；(2)﹣4+33≤t＜33． 【解析】 【分析】

(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；

33②设M(m，﹣m+2 )，根据“友好点”的定义，OM＝m2m22，由此32求解即可；

(2)B(0，2)，C(3，3)，D(23，0)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点

2H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝

33HT，直线BD：y＝﹣x+2，可知H(t，﹣231333t+2)，继而可得NT＝﹣t+，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.

232【详解】 (1)①∵r＝1，

∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2， ∴点B是⊙O“友好点”，

∵OC＝3232=32>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”， A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”， 故答案为B； ②如图，

设M(m，﹣3m+2 )，根据“友好点”的定义， 323∴OM＝m2， m222整理，得2m2﹣23m≤0， 解得0≤m≤3；

∴点M的横坐标m的取值范围：0≤m≤3；

(2)∵B(0，2)，C(3，3)，D(23，0)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”， ∴NT≤2r＝2，

∴点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．

∵tan∠BDO＝

OB23， OD233∴∠BDO=30°， ∴∠OBD＝60°， ∴∠THN=∠OBD=60°， ∴NT＝HT•sin∠THN=3HT， 2∵B(0，2)，D(23，0)， ∴直线BD：y＝﹣∵H点BD上， ∵H(t，﹣∴HT＝﹣∴NT＝∴﹣

3x+2， 33t+2)， 333t+2﹣(﹣1)＝﹣t+3， 33133333HT＝(﹣t+3)＝﹣t+，

22232133t+≤2， 22∴t≥﹣4+33，

当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝33， 此时点N不是“友好点”， ∴t＜33，

故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+33≤t＜33． 【点睛】

本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函

数是解题的关键．

6．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．

（1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．

【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】

613 65（1）根据▱ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；

（2）依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出∠ABD的正弦值． 【详解】

（1）证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC， ∴BC＝CE，AC⊥CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE，

∴四边形ACED是平行四边形， ∵AC⊥CE，

∴四边形ACED是矩形．

（2）解：方法一、如图1所示，过点A作AF⊥BD于点F， ∵BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4， ∴在Rt△BDE中，

BDBEDE64213∵S△BDE＝

222211×DE•AD＝AF•BD， 22∴AF＝43613， 13213∵Rt△ABC中，AB＝3242＝5， ∴Rt△ABF中，

AF613613sin∠ABF＝sin∠ABD＝AB1365．

5方法二、如图2所示，过点O作OF⊥AB于点F， 同理可得，OB＝∵S△AOB＝∴OF＝

1BD13， 211OFABOABC， 22236， 55∵在Rt△BOF中，

sin∠FBO＝

0F6613， OB51365613． 65∴sin∠ABD＝

【点睛】

本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin∠ABD．

7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合） （1）如果∠A＝30°，

①如图1，∠DCB等于多少度；

②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）

【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析． 【解析】 【分析】

（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；

②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，

（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可． 【详解】

（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝60°， ∵AD＝DB， ∴CD＝AD＝DB， ∴△CDB是等边三角形， ∴∠DCB＝60°．

②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：

∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°， ∴△CDB为等边三角形. ∴∠CDB＝60°

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF， ∵∠PDF＝60°，DP＝DF， ∴∠FDB＝∠CDP，

在△DCP和△DBF中

DCDBCDPBDF， DPDF∴△DCP≌△DBF， ∴CP＝BF.

（2）结论：BF﹣BP＝2DEtanα．

理由：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α， ∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，

∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α， ∵∠PDF＝2α，

∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，

∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF， ∴DP＝DF， 在△DCP和△DBF中

DCDBCDPBDF， DPDF∴△DCP≌△DBF， ∴CP＝BF， 而 CP＝BC+BP， ∴BF﹣BP＝BC，

在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，

CE， DE∴CE＝DEtanα，

∴tan∠CDE＝

∴BC＝2CE＝2DEtanα， 即BF﹣BP＝2DEtanα． 【点睛】

本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．

8．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，

3≈1.7）

【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米

【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．

试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°， 设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，

ADx = = 3x 0tanACDtan30在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，

在Rt△ACD中，CD=∴325+x= 3x •tan68° 解得：x≈100米，

∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．

视频

9．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F.

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值. 【答案】(1)证明见解析; (2) tan∠BCO=【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．

（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解． 试题解析：证明:连接OD ∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE ∵O为AB中点, D为BC的中点 ∴OD‖AC ∴DE⊥AC

(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD 在Rt△BFO中，∠ABC=30°

3. 913OB, BF=OB 22∵BD=DC, BF=FD，

∴OF=∴FC=3BF=33OB 21OBOF32. 在Rt△OFC中，tan∠BCO=

FC339OB2点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=键．

1333OB，BF=OB，FC=3BF=OB是解题关222

10．如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E． (1)求证：∠EPD=∠EDO； (2)若PC=3，tan∠PDA=

3，求OE的长． 4

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】

5. 2（1）由切线的性质即可得证.（2）连接OC，利用tan∠PDA=OC=

3，可求出CD=2,进而求得43，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长. 2【详解】

（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C， ∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO， ∵DE⊥PO，

∴∠PAO=∠E=90°， ∵∠AOP=∠EOD， ∴∠APO=∠EDO， ∴∠EPD=∠EDO. （2）连接OC， ∴PA=PC=3，

∵tan∠PDA=

3， 4∴在Rt△PAD中，

AD=4，PD=PA2AD2=5， ∴CD=PD-PC=5-3=2， ∵tan∠PDA=

3， 4∴在Rt△OCD中， OC=

3， 2OD=OC2CD2=5， 2∵∠EPD=∠ODE，∠OCP=∠E=90°， ∴△OED∽△DEP，

PDPEDE===2， DODEOE∴DE=2OE,

∴

525，

在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2==

24∴OE=5． 22

【点睛】

本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用tan∠PDA=

3，得线段的长是解题关键. 4