【考情探究】
课标解读
主题
内容
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.能根据两条直线的斜率判定这两条
一、直线的方程
直线平行或垂直.
3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
二、两直线的位置关系
2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程.
三、直线、圆的位置2.能根据给定直线、圆的方程判断直关系
线与圆的位置关系.
3.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.
1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题
四、椭圆、双曲线、中的作用.
抛物线
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质. 【真题探秘】
考情分析
从近几年高考情况来看,直线和圆主要考查方程的求法,常以选择、填空题的形式出现;对于圆锥曲线,根底题目主要考查定义与方程、几何性质,特别是双曲线的几何性质(离心率、渐近线)及抛物线的几何性质.解答题通常以椭圆及抛物线为背景,考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题、证明问题及直线过定点问题.特别注意近两年高考将此综合题前移,难度降低.
备考指导
1.直线与圆的问题求解一定要注意数形结合的方法,充分利用圆的几何性质解题. 2.恰中选择直线和曲线方程形式,简化计算.
3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆锥曲线的交点坐标问题,常常“设而不求〞,利用韦达定理解题.
4.合理运用“同理可得〞进行类比计算.
5.圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧:代点相减法(点差法).
6.直线与椭圆或直线与抛物线为基此题型,考查曲线的弦长,动点的轨迹方程和有关几何量的求解等.掌握根本解题方法:先联立方程(二次方程和一次方程),再几何条件代数化,结合函数、不等式等知识,解决求值、范围、最值等问题.
近几年这类题的呈现形式为:(1)第一问,往往是求曲线的方程(待定系数和求轨迹方程)问题;(2)第二问,往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.常常需要应用韦达定理和判别式,关键词是弦长、最值、定值、定点等.
§9.1 直线方程与圆的方程
根底篇固本夯基
【根底集训】
考点一 直线方程
1.过不重合的A(m+2,m-3),B(3-m-m,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,那么m的值为( ) A.-1 B.-2 C.-1或2 D.1或-2 答案 B
832
2
2
2.角α是第二象限角,直线2x+ytan α+1=0的斜率为,那么cos α等于( )
A. B.- C. D.- 答案 D
3.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 . 答案 4x-3y+9=0
4.A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,那么直线的方程为 . 答案 x+y-5=0或2x-3y=0
35354545
考点二 圆的方程
5.点A(-2,-1),B(1,3),那么以线段AB为直径的圆的方程为( )
A.(𝑥-1)2+(y+1)2
=25 B.(𝑥+1)22
2
+(y-1)2
=25
C.(𝑥-1)2+(y+1)2
=2512252
4
D.(𝑥+2
)+(y-1)2
=4
答案 D
6.假设a∈{-2,0,1,3},那么方程x2
+y2
4
+ax+2ay+2a2
+a-1=0表示的圆的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B
7.假设平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A、B距离之比为√2,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是(A.2√2 B.√2 C.2√2 D.√23
3
答案 A
8.△ABC三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),那么△ABC外接圆的方程为 . 答案 (x+3)2
+(y-1)2
=25
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 求直线的倾斜角和斜率
1.(2021陕西延安期中,5)直线a2
x-b2
y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的倾斜角的取值范围为( )
A.(0,π) B.(π,3π
C.(π,3π
244) ) D.(π242,π)
答案 A
2.(2021湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin θ+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[π,3π
] B.[0,π]∪[
3π
44
4
4
,π) C.[0,π] D.[π,π)∪(π,3π
44224
] 答案 A
)
考法二 求直线的方程
3.(2021江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为( ) A.y=2x或x-y+1=0 B.y=2x或x+y-3=0 C.x+y-3=0或x-y+1=0 D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0 答案 D
4.(2021江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x-2y=0垂直的直线方程为( ) A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-7=0 C.3x-2y-4=0 D.3x+2y-8=0 答案 B
5.(2021四川眉山仁寿一中第一次调研)实数m,n满足2m-n=1,那么直线mx-3y+n=0过定点 . 答案 (-2,-)
13
考法三 对称问题
6.(2021重庆模拟,8)圆C1:(x+1)+(y-1)=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,那么圆C2的方程为( ) A.(x+2)+(y-2)=4 B.(x-2)+(y+2)=4 C.(x+2)+(y+2)=4 D.(x-2)+(y-2)=4 答案 B
7.(2021豫南九校第四次联考,14)△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,那么BC边所在直线的方程为 . 答案 x+7y-6=0
8.(2021豫北六校联考,15)点P在直线l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),那么||PA|-|PB||最大时点P的坐标为 . 答案 (2,5)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
考法四 求圆的方程
9.(2021广东七校联考,7)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为( ) A.(x-1)+(y-1)=5 B.(x+1)+(y+1)=5 C.(x-1)+y=5 D.x+(y-1)=5
2
2
2
2
2
2
2
2
答案 A
10.(2021福建漳州八校期中联考,14)圆心在直线x-2y-3=0上,且圆经过点A(2,-3),B(-2,-5),那么该圆的方程为 .
答案 x+y+2x+4y-5=0(或(x+1)+(y+2)=10)
2
2
2
2
11.(2021湖北1月联考)过点A(0,1)和B(1,2),且与x轴相切的圆的方程为 . 答案 (x-1)+(y-1)=1或(x+3)+(y-5)=25
2
2
2
2
12.(2021四川峨眉山第七教育开展联盟适应性考试(节选))圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方),且|MN|=3.那么圆C的方程为 .
522524
答案 (x-2)+(𝑦-)=
2
【五年高考】
1.(2021课标Ⅱ,4,5分)圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,那么a=( ) A.- B.- C.√3 D.2
34答案 A
2.(2021天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 答案 x+y-2x=0
2
2
2
2
43
3.(2021浙江,10,6分)a∈R,方程ax+(a+2)y+4x+8y+5a=0表示圆,那么圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);5
4.(2021浙江,12,6分)圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.假设直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),那么m= ,r= . 答案 -2;√5
5.(2021北京,11,5分)设抛物线y=4x的焦点为F,准线为l.那么以F为圆心,且与l相切的圆的方程为 . 答案 (x-1)+y=4
2
2
222
2
6.(2021课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程;
2
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0), 设A(x1,y1),B(x2,y2).
𝑦=𝑘(𝑥-1),2222由{2得kx-(2k+4)x+k=0. 𝑦=4x
2𝑘2+4𝑘2Δ=16k+16>0,故x1+x2=
2
. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=
4𝑘2+4𝑘2. 由题设知
4𝑘2+4𝑘2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),那么 {
𝑦0=-𝑥0+5,(𝑥0+1)2=
𝑥=3,𝑥0=11,解得{0或{
𝑦0=2𝑦0=-6.+16.
2
2
2
2
(𝑦0-𝑥0+1)2
2因此所求圆的方程为(x-3)+(y-2)=16或(x-11)+(y+6)=144.
方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.
7.(2021课标Ⅲ,20,12分)抛物线C:y=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程. 解析 此题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 𝑥=𝑚𝑦+2,2
由{2可得y-2my-4=0,那么y1y2=-4. 𝑦=2x
𝑦212
𝑦222
(𝑦1𝑦2)2
4
2
又x1=,x2=,故x1x2=
=4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为1·2==-1,所以OA⊥OB.
𝑥1
𝑦𝑦
-4
𝑥24
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m+4.
2
故圆心M的坐标为(m+2,m),
2
圆M的半径r=√(𝑚2+2)2+𝑚2.
由于圆M过点P(4,-2),因此 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4. 所以2m-m-1=0,解得m=1或m=-. 2
1
2
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为√10,圆M的方程为(x-3)+(y-1)=10.
2
2
当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为(,-),圆M的半径为
129412
√854
,圆M的方程为(𝑥-)+(𝑦+)=.
9241285216
解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
教师专用题组
⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,那么点P的横坐1.(2021江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x+y=50上.假设𝑃𝐴
2
2
标的取值范围是 . 答案 [-5√2,1]
2.(2021江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以M为圆心的圆M:x+y-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4). (1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ (3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得⃗𝑇𝐴𝑇𝑃𝑇𝑄,求实数t的取值范围.
2
2
解析 圆M的标准方程为(x-6)+(y-7)=25,
2
2
所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0). 因为圆N与x轴相切,与圆M外切, 所以0 因此,圆N的标准方程为(x-6)+(y-1)=1. 2 2 (2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为 4-0 =2. 2-0 设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 那么圆心M到直线l的距离 |2×6-7+𝑚||𝑚+5|=. √5√5d=因为BC=OA=√22+42=2√5,而MC=d+(), 2 2 𝐵𝐶2 2 所以25= (𝑚+5)2 +5, 5 解得m=5或m=-15. 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P(x1,y1),Q(x2,y2). ⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 因为A(2,4),T(t,0),⃗𝑇𝐴𝑇𝑃𝑇𝑄, 𝑥=𝑥1+2-t, 所以{2① 𝑦2=𝑦1+4. 因为点Q在圆M上,所以(x2-6)+(y2-7)=25.② 2 2 将①代入②,得(x1-t-4)+(y1-3)=25. 2 2 于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]+(y-3)=25上, 2 2 从而圆(x-6)+(y-7)=25与圆[x-(t+4)]+(y-3)=25有公共点, 2 2 2 2 所以5-5≤√[(𝑡+4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-2√21≤t≤2+2√21. 因此,实数t的取值范围是[2-2√21,2+2√21]. 【三年模拟】 一、单项选择题(每题5分,共45分) 1.(2021湖南衡阳八中10月月考,3)直线l的倾斜角为θ且过点(√3,1),其中sin(𝜃-)=,那么直线l的方程为( ) π212A.√3x-y-2=0 B.√3x+y-4=0 C.x-√3y=0 D.√3x-3y-6=0 答案 B 2.(2021重庆綦江中学模拟,9)圆C:x+y=1,点P为直线x+2y-4=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB且A,B分别为切点,那么直线AB经过定点( ) 1124 1142 √3√32 2 A.(,) B.(,) C.(答案 B 4 ,0) D.(0, 4 ) 3.(2021辽宁丹东模拟,3)圆心为(2,0)的圆C与圆x+y+4x-6y+4=0外切,那么C的方程为( ) A.x+y+4x+2=0 B.x+y-4x+2=0 C.x+y+4x=0 D.x+y-4x=0 答案 D 4.(2021甘肃兰州模拟,7)点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),那么△ABC的外接圆的方程是( ) A.x+(y-3)=5 B.x+(y+3)=5 C.(x-3)+y=5 D.(x+3)+y=5 答案 D 5.(2021湖北四地七校联考,6)函数f(x)=asin x-bcos x(a≠0,b≠0),假设f(-x)=f(+x),那么直线ax-by+c=0的倾斜角为( ) π4 π3 2π3 3π4 π4 π4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 A. B. C. D. 答案 D 6.(2021豫西五校联考,7)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为( ) A.x+(y-1)=4 B.x+(y-1)=2 C.x+(y-1)=8 D.x+(y-1)=16 答案 B 2 2 2 2 2 2 2 2 7.(2021河北九校第二次联考,4)圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,那么圆C的方程为( ) A.x-y-2x-3=0 B.x+y+4x=0 C.x+y-4x=0 D.x+y+2x-3=0 答案 C 8.(2021河南中原名校联盟第三次联考,9)设圆x+y-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,假设|AB|=2√3,那么直线l的方程为( ) A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 C.4x-3y+9=0或x=0 D.3x+4y-12=0或x=0 答案 D 4𝑥2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9.(2021届山东夏季高考模拟,6)点A为曲线y=x+(x>0)上的动点,B为圆(x-2)+y=1上的动点,那么|AB|的最小值是( ) A.3 B.4 C.3√2 D.4√2 答案 A 二、多项选择题(每题5分,共10分) 10.(改编题)过点P(2,4)引圆(x-1)+(y-1)=1的切线,那么切线方程为( ) A.x=-2 B.x=2 C.4x-3y+4=0 D.4x+3y-4=0 答案 BC 11.(改编题)圆M:(x+cos θ)+(y-sin θ)=1,直线l:y=kx,以下命题中为真命题的是( ) A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切 B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点 C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切 D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切 答案 BD 2 2 2 2 三、填空题(每题5分,共10分) 12.(2021豫北名校2月期初调研,14)直线l过点P(6,4),且分别与两坐标轴的正半轴交于A,B两点,当△ABO的面积最小时,直线l的方程为 . 答案 2x+3y-24=0 13.(2021届百师联盟期中联考)圆心在直线x-3y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,且截x轴所得弦长为4√2,那么圆C的方程为 ,点P(6,5)到圆C上动点Q的距离最大值为 . 答案 (x-3)+(y-1)=9;8 2 2 四、解答题(共10分) 14.(2021广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC的顶点A的坐标为(-2,0),直角顶点B的坐标为(0,-2√2),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点. (1)求BC边所在直线的方程; (2)假设M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程; (3)在(2)的条件下,假设动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心的轨迹方程. 解析 (1)易知kAB=-√2,AB⊥BC, √2∴kCB=, 2 ∴BC边所在直线的方程为y=x-2√2. 2√2(2)由(1)及题意得C(4,0), 易知AC为圆M的直径, ∴M(1,0),AM=3, ∴外接圆M的方程为(x-1)+y=9. (3)∵圆N过点P(-1,0), ∴PN是动圆的半径, 又∵动圆N与圆M内切, ∴MN=3-PN,即MN+PN=3, 2 2 ∴点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆. ∵P(-1,0),∴c=1, 32 54 又a=,∴b=√𝑎2-𝑐2=√, ∴所求轨迹方程为 𝑥2𝑦2 94+54=1, 即 4𝑥24𝑦2 +=1. 95 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容