(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、{{B}}第一部分 选择题{{/B}}(总题数：0，分数：0.00) 二、{{B}}单项选择题{{/B}}(总题数：5，分数：10.00)
1.设A、B为n阶方阵，满足A=B，则必有______
2
2
A.A=B B.A=-B C.|A|=|B| D.|A|=|B|
2
2
（分数：2.00） A. B. C. D. √
解析：[解析] ∵A=B，A=AA=BB=B，∴|A|=|B|，|AA|=|BB|． ∵|AA|=|A||A|=|A|，|BB|=|B||B|=|B|，∴|A|=|B|．答案为D． 2.设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是______ A．（分数：2.00） A. B. C. D. √
解析：[解析] ∵A是2阶可逆矩阵，∴A的秩为2，由于两矩阵等价则矩阵的秩相等，由题知D答案中矩阵秩为2，所以选D．答案为D． 3.线性方程组无解，则λ=______
B． C． D． 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A.0 B.1 C.-1 D.任意实数
（分数：2.00） A. √ B. C. D.
解析：[解析] 当λ≠0且λ≠-1时有惟一解，当λ=-1时有无穷多解，当λ=0时无解．答案为A． 4.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C'AC，则下述结论______不成立．
A.A与B相似 B.A与B等价
C.A与B有相同的特征值 D.A与B有相同的特征向量
（分数：2.00） A. B. C. D. √
解析：[解析] ∵C是正交阵，∴C'=C，B=CAC，因此A与B相似．A对C是正交阵|C|≠0，CAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对．两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对．(λI-A)X=0与(λI-B)X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D．答案为D． 5.当t为______，二次型f(x1，x2，x3)=A．|t|＞2 B．|t|＜3 C． A. B. C. √ D.
解析：[解析] 二次型的矩阵[*]各阶顺序主子式为2＞0， [*]， 即[*]，[*]，即[*]． 因为[*]，故当[*]时，f正定．答案为C．
D．|t|＞1
+2tx1x2+2x1x3是正定的．
-1
-1
T
（分数：2.00）
三、{{B}}第二部分 非选择题{{/B}}(总题数：0，分数：0.00) 四、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：10，分数：20.00)
6.函数中，x的系数为 1．
3
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：2）
解析：[解析] 只有主对角线上都含有x项，由行列式的性质得2x×(-x)×(-x)=2x，x的系数为2． 7.设，则A=______．
-1
3
3
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
解析：[解析] |A|=1利用公式[*]， 由[*]知[*]|A|=1×1×1×1=1 故[*]． 8.设矩阵，则AB______．
T
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]） 解析：[解析] ∵[*] ∴[*]．
9.设向量组Ⅰ的秩为r1，向量组Ⅱ的秩为r2，且Ⅰ可由Ⅱ表出，则r1、r2的关系为 1． （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：r1≤r2）
解析：[解析] 向量组Ⅰ可由Ⅱ表出，故向量组Ⅰ的秩≤向量组Ⅱ的秩，即r1≤r2．
10.设矩阵，则齐次线性方程组AX=0的基础解系含有解向量个数为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：2）
解析：[解析] [*]由此得r(A)=2，所以AX=0的自由未知量有4-2=2个，基础解系中含有2个解向量． 11.三元非齐次线性方程组Ax=b的r(A)=2，且α1=(1，2，2)，α2=(3，2，1)是Ax=b的两个解，则Ax=b的通解为 1． （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*](c为任意常数)）
解析：[解析] r(A)=2知三元非齐次方程Ax=b的基础解系只有一个解向量，α1=(1，2，2)，α2=(3，2，1)是Ax=6的两个解，故α1-α2=(-2，0，1)是Ax=0的一个解向量，故Ax=b的通解为[*](c为任意常数)． 12.已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A|=______． （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：36） 解析：[解析] ∵[*]而λ1=1，λ2=2，λ3=3
∴|A|=1×2×3-6∵AA=|A|E∴AA=6E两边同时求行列式有，|AA|=|6E|=6[*]|A||A'|=6∴|A|=36． 13.若，则|A|= 1．
*
*
*
3
3
*
*
T
T
T
T
T
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：72） 解析：[解析] [*]，故[*]．
14.设向量α=(1，1，1)，则它的单位化向量为______． （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
解析：[解析] [*] [*]， 根据单位向量定义可知：||α||=1为单位向量． ∴α=(1，1，1)的单位化向量为[*]．答案为[*]． 15.f(x1，x2，x3)=（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：k＞2）
解析：[解析] 它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是正数． ∴k＞2．
为正定二次型，则k______．
五、{{B}}计算题{{/B}}(总题数：7，分数：63.00)
16.计算n+1阶行列式（分数：9.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]) 解析：
17.设方阵A、B满足AB+E=A+B，且
，求B． （分数：9.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于AB-B=A-E，(A-E)B=(A-E)(A+E)， 又|A-E|=[*]=-1≠0
即A-E可逆，所以B=(A-E)[(A-E)(A+E)]=A+E=[*]．) 解析：
18.设A为n阶方阵(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴随矩阵A的秩． （分数：9.00）
*
-12
2
．
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当r(A)=n时，A可逆，则A也可逆，因此r(A)=n；
当r(A)=n-1时，|A|=0，因此AA=|A|·E=0，即A的n个列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解向量，由于r(A)=n-1，AX=0的基础解系仅含一个解向量，所以A的列向量的秩≤1；又r(A)=n-1，A中存在一个不为0的n-1阶子式，故A的n个列向量中至少有一个不为零向量，所以A的列向量的秩≥1，由以上讨论可知，r(A)=1．
当r(A)＜n-1时，A的每一个n-1阶子式均为零，即A是零矩阵，所以r(A)=0． 所以[*]) 解析：
19.设3维列向量α1，α2，α3，β1，β2，β3，满足：α1+α3+2β1-β2=0，3α1-α2+β1-β2=0，-α2+α3-β2+β3=0，且|α1，α2，α3|=4，求|β1，β2，β3|． （分数：9.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由条件可知 [*] 而[*]， [*]， 所以[*]， 两边取行列试，得 [*]
即|β1，β2，β3|=-4|α1，α2，α3|=-16) 解析：
20.设α1，α2，α3是4元非齐线性方程组AX=B的三个解向量，并且r(A)=3，通解．
（分数：9.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于r(A)=3，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有一个解向量，又A[2α1-(α2+α3)]=2Aα1-Aα2-Aα3=2B-B-B=0， 因此[*]是AX=0的一个非零解向量．
是AX=0的基础解系，所以AX=B的通解为[*](k为任意实数)．) 解析：
21.设三阶实对称矩阵A的特征值为1，2，3，的特征向量，并求A． （分数：9.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设属于3的特征向量为ξ3=(x1，x2，x3)，由(ξ1，ξ2)=0，(ξ2，ξ3)=0 得[*]
所以[*]即ξ3=k(1，0，1)．
又因为A的特征值为1，2，3，所以[*]． 即PAP=A．于是 [*]) 解析：
22.设二次型f(x1，x2，x3)=T
T
-1
T
T*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
，求方程组AX=B的
，ξ2=是分别属于1和2的特征向量，求属于3
+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=，其中x=(x1，x2，
x3)，y=(y1，y2，y3)是三维列向量，P是三阶正交矩阵，求常数a，b的值． （分数：9.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(根据假设条件知，变换后二次型f(x1，x2，x3)的矩阵分别为 [*]，
二次型f可以写成f=XAX，f=YBY．
由于PAP=B，且P为正交矩阵，故P=P，于是有PAP=B，即A～B，所以有|λI-A|=|λI-B|，即 [*]
由此可得方程λ-3λ+(2-a-b)A+(a-b)=λ-3λ+2λ，从而有方程组[*] 解之得a-b=0，为所求的常数．) 解析：
3
2
2
2
2
3
2
T
T
-1
-1
T
T
六、{{B}}证明题{{/B}}(总题数：1，分数：7.00)
23.设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr，是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关． （分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([证明] 证一：因为ξ1，ξ2，…，ξr，是Ax=0的基础解系， 所以ξ1，ξ2，…，ξr线性无关， 若η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关， 则η必可由ξ1，ξ2，…，ξr线性表出，
从而η为Ax=0的解，这与η为Ax=b的解矛盾，故η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关 证二(反正法)：若η，ξ1，ξ2，…，ξr线性相关，则存在不全为零的数l，k1，k2，…，kr使lη+k1ξ1+k2ξ2+…+krξr=0． 若l≠0，则[*]
即η可以由ξ1，ξ2，…，ξr线性表出，由此可得η为Ax=0的解，与已知矛盾，故l=0．
从而k1，k2，…，kr不全为零，使k1ξ1+k2ξ2+…+krξr=0，这表明ξ1，ξ2，…，ξr线性相关，与ξ1，ξ2，…，ξr为Ax=0的基础解系矛盾．
所以η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关．) 解析：
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