现代微分几何:切向量
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在高等数学学习过程中，我们已经接触过曲线的切线和曲面的切平面概念。让我们深入探索这个领域，通过现代微分几何的视角来理解这些概念。
以二维欧式空间中的单位圆为例，其方程为 \(x^2 + y^2 = 1\)。假设圆上一点为 \((x_0, y_0)\)，我们可以构造一个向量函数 \(f(t) = (x_0\cos(t), y_0\sin(t))\)，其图像恰好位于单位圆上。计算该向量函数在点 \((x_0, y_0)\) 的导数，即得到单位圆在该点的切线方向向量，该向量与 \((x_0, y_0)\) 的连线垂直，并且长度为 \(f'(t)|_{t=0} = (x_0, y_0)\)，因此单位圆在点 \((x_0, y_0)\) 处的切线方程为 \(x_0(x - x_0) + y_0(y - y_0) = 0\)。
现在，考虑三维欧式空间中的单位球面，其方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)。选取球面上一点 \((x_0, y_0, z_0)\)，构造一个向量函数 \(g(t) = (x_0\cos(t), y_0\sin(t), z_0)\)，其图像位于单位球面上。通过对 \(g(t)\) 求导得到其在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 的方向向量，即单位球面在该点的切平面的法向量，从而得到单位球面在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处的切平面方程。
接下来，引入光滑流形的概念。一个光滑流形是局部上与欧几里得空间同胚的光滑空间。设 \(M\) 是 \(n\) 维光滑流形，\(x\) 是 \(M\) 的容许坐标卡，使得 \(x\) 将 \(M\) 中的点 \(p\) 映射到欧几里得空间的坐标。在 \(p\) 处，定义流形的切向量集合为 \(T_pM\)，它是 \(M\) 在点 \(p\) 处的线性空间，满足一些特定的性质，类似于函数的求导法则。
对于单位圆和单位球面，我们可以将其视为一维和二维的光滑流形。通过构造相应的向量函数，并利用求导法则验证，可以证明单位圆和单位球面上的特定映射在相应点处确实满足切向量的定义。这不仅展示了微分几何中切线和切平面的直观意义，还揭示了它们与函数导数之间的内在联系。
通过上述分析，我们可以发现，单位圆和单位球面上的切线和切平面，本质上是流形在某点处的线性化表示，其导数性质与函数求导法则相呼应，为理解更复杂的几何结构提供了坚实的基础。
